高二数学选修1、3-2-1几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式

3.2.1一、选择题1.eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f((1＋Δx)2－1,Δx)表示()A．曲线y＝x2的斜率B．曲线y＝x2在点(1,1)处的斜率C．曲线y＝－x2的斜率D．曲线y＝－x2在(1，－1)处的斜率[答案]B[解析]由导数的意义可知，eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f((1＋Δx)2－1,Δx)表示曲线y＝x2在点(1,1)处的斜率．2．若y＝coseq\f(2π,3)，则y′＝()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C．0 D.eq\f(1,2)[答案]C[解析]常数函数的导数为0.3．下列命题中正确的是()①若f′(x)＝cosx，则f(x)＝sinx②若f′(x)＝0，则f(x)＝1③若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosxA．① B．②C．③ D．①②③[答案]C[解析]当f(x)＝sinx＋1时，f′(x)＝cosx，当f(x)＝2时，f′(x)＝0.4．若y＝lnx，则其图象在x＝2处的切线斜率是()A．1 B．0C．2 D.eq\f(1,2)[答案]D[解析]∵y′＝eq\f(1,x)，∴y′|x＝2＝eq\f(1,2)，故图象在x＝2处的切线斜率为eq\f(1,2).5．已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,e) D．－eq\f(1,e)[答案]C[解析]y′＝eq\f(1,x)＝k，∴x＝eq\f(1,k)，切点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)，1))，又切点在曲线y＝lnx上，∴lneq\f(1,k)＝1，∴eq\f(1,k)＝e，k＝eq\f(1,e).6．已知函数f(x)＝xeq\f(1,2)，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))′＝()A．0 B.eq\f(\r(2),2)C．1 D．－eq\f(\r(2),2)[答案]A[解析]∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\r(\f(1,2))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,2))))′＝0.7．y＝eq\f(1,x)在点A(1,1)处的切线方程是()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y＋2＝0 D．x－y－2＝0[答案]A[解析]∵y′＝－eq\f(1,x2)，∴y′|x＝1＝－1.∴y－1＝－1(x－1)，即x＋y－2＝0.8．下列结论中正确的个数为()①y＝ln2，则y′＝eq\f(1,2)②y＝eq\f(1,x2)，则y′|x＝3＝－eq\f(2,27)③y＝2x，则y′＝2xln2④y＝log2x，则y′＝eq\f(1,xln2)A．0 B．1C．2 D．3[答案]D[解析]①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错．9．下列结论中不正确的是()A．若y＝0，则y′＝0B．若y＝eq\f(3,\r(3,x))，则y′＝－eq\f(1,x\r(3,x))C．若y＝－eq\r(x)，则y′＝－eq\f(1,2\r(x))D．若y＝3x3，则y′＝3x2[答案]D[解析]y′＝(3x3)′＝3×3·x3－1＝9x2.10．若y＝sinx，则y′|x＝eq\f(π,3)＝()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)[答案]A二、填空题11．曲线y＝lnx与x轴交点处的切线方程是__________．[答案]y＝x－1[解析]∵曲线y＝lnx与x轴的交点为(1,0)∴y′|x＝1＝1，切线的斜率为1，所求切线方程为：y＝x－1.12．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s＝eq\r(5,t)，则质点在t＝32时的速度等于____________．[答案]eq\f(1,80)13．在曲线y＝eq\f(4,x2)上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．[答案](2,1)[解析]设P(x0，y0)，y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x2)))′＝(4x－2)′＝－8x－3，∴tan135°＝－1＝－8xeq\o\al(－3,0).∴x0＝2，y0＝1.14．y＝10x在(1,10)处切线的斜率为________．[答案]10ln10[解析]y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.三、解答题15．已知曲线C：y＝x3(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其它公共点？[解析](1)∵y′＝3x2∴切线斜率k＝3∴切线方程y－1＝3(x－1)即3x－y－2＝0(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－2＝0,y＝x3))∴(x－1)(x2＋x－2)＝0∴x1＝1x2＝－2∴公共点为(1,1)及(－2，－8)16．求下列函数的导数(1)y＝lnx(2)y＝eq\f(1,x4)(3)y＝eq\r(5,x3)[答案](1)y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)(2)y′＝(x－4)′＝－4·x－4－1＝－4·x－5＝－eq\f(4,x5)17．已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．[解析]∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)则y′|x＝x0＝2x0，又∵PQ的斜率为k＝eq\f(4－1,2＋1)＝1，而切线平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝eq\f(1,2).所以切点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))).∴所求切线方程为y－eq\f(1,4)＝x－eq\f(1,2)，即4x－4y－1＝0.18．求过曲线y＝sinx上的点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(\r(2),2)))且与在这点处的切线垂直的直线方程．[解析]∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.∴经过这点