高二数学寒假作业（一）

清华中学高二寒假作业（一）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.若直线，的一个方向向量为（-1,遍），则它的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.若:=（2,—3,1）,方=（2,0,3），4=（022）,则小@+口的值为（）

A.4B.15C.7D.3

3.空间四边形。4BC中，a=五，丽=石，灵=3点M在线段4c上，且AM=2MC,

点N是。8的中点，则而=（）

A2一，1工2Tn2Tir.2T

A.-a+--cB.-a--b+-c

323323

C.--a+-b--cD.-a+-b--c

323323

4.如图在四面体。力BC中，M,N分别在棱04,BC上且满足丽=2而，丽=近,

点G是线段MN的中点，用向量次，OB，死作为空间的一组基底表示向量而应为

()

A.而制耐+，赤+：历B.0G=iM+i^+i0C

C.OG=-OA+-~OB+-OCD.OG=lOA+lOB^OC

336

5.与直线％+y+3=0平行，且它们之间的距离为3四的直线方程为（）

A.%—y+8=0或％—y—1=0B.%+y+8=0或％+y—1=0

C.x+y-3=。或％+y+3=0D.%+y-3=0或％+y+9=0

6.在正方体4BCD-&B1C1&中，M、N分别为棱儿&和BB】的

中点，那么异面直线4M和CN所成角的余弦值是（）

7AA

8

B考

7.已知三角形的三个顶点4(4,3),B(—1,2),C(l,-3),则△.ABC的高CD所在的直线

方程是()

A.5x+y—2=0B.x—5y-16=0

C.5x-y-8=0D.%+5y+14=0

8.已知OM：x2+y2-2x-2y-2=0,直线心2x+y+2=0,P为/上的动点.过

点P作OM的切线P4,PB,切点为4B,当|PM|•|4B|最小时，直线4B的方程为

()

A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x—y+1=0D.2x+y+1=0

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是()

A.两条不重合直线"，"的方向向量分别是1=(2,3,-1),b=(-2,-3,1)，则，［〃%

B.直线/的方向向量为=(1,一1,2),平面a的法向量是m=(6,4,—1),则Z_La

C.两个不同的平面a,0的法向量分别是记=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则a10

D.直线I的方向向量五=(0,3,0),平面a的法向量是过=(0,—5,0),则〃/a

10.下列说法正确的是()

A.直线xsina-y+1=0的倾斜角的取值范围为［0币U百，兀)

B.“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0距离为3”的充要条件

C.直线/：Ax+y-3A=0(2GR)恒过定点(3,0)

D.直线y=-2.x+5与直线2x+y+1=0平行，且与圆/+y2=5相切

11.在正方体ABCO—&B1C15中，点。是底面4BC。的中心，则()

A.4。〃平面昂。道B.aO与CD1所成角为30。

C.&。1B［D1D.4。J_平面BDQ

12.已知圆O:/+y2=4和圆M:/+y2一以一2丫+4=0交于「，Q两点，则()

A.两圆有两条公切线B.PQ垂直平分线段OM

C.直线PQ的方程为2x+y-4=0D.线段PQ的长为产

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三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.过点4（2,3）且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为.

14.在长方体ABCO中，AB=BC=2,AA'=1,D'C'

则BC'与平面BB'D'D所成角的正弦值为.

AB

15.如图所示，已知空间四边形。4BC,其对角线为OB,AC,M,N分别为04,BC的

中点，点G在线段MN上，且诟=2前，若就-XOTI+yOS4-zO?1则

16.如图，正方形4BCD的边长为20米，圆。的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、

Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆。有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中,

已知点P以1.5米/秒的速度从4出发向0移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发

向B移动，则在点P从4移动到。的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约秒（精

确到0.1).

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.如图所示，在平行六面体ABC。中，AB=4,AD=3,AA'=5,^BAD=

90°,ABAA'=Z.DAA'=60°.

(1)求AC'的长；

(2)求衲与前的夹角的余弦值.

18.已知△ABC的三个顶点4(-1,0),8(5,-4),1(1,2).

(1)求BC边上的中线所在直线的方程；

(2)求48边上的高线所在直线的方程.

22

19.已知圆C：x+lz-2x-4y-2()=0.

(1))当k取何值时，直线如一y+超+1-0与圆C相交的弦长最短.

(2)求圆C关于直线l-2“-2()对称的圆D的标准方程；

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20.截止2021年9月13日08时，第14号台风位于距离浙江省象山县正东方向约160公里

的位置，中心附近最大风力14级，中心最低气压950百帕。预计，台风灿都将以每

小时20公里的速度向北偏西60。方向移动，台风影响范围为100公里。那么，象山

县是否会受到台风的影响?如果受到影响，儿时会受到影响，持续多长时间？

21.如图，AEL^^ABCD,CF//AE,AD//BC,AD1AB,AB=AD=1,AE=BC=2.

(I)求证:BF〃平面ADE；

(II)求直线CE与平面BOE所成角的正弦值；

(HI)若二面角E-BD-F的余弦值为求线段CF的长.

22.古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262〜公元前190年)的著作他I锥曲线论》

是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为

常数k(k>0且kKl)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平

面直角系xOy中的点0)/(2企,0),则满足|PF|=a|PE|的动点P的轨迹记为

圆E.

(1)求圆E的方程；

(2)若点4(—2,2),B(—2,6),<7(4,-2),当P在E上运动时，^\PA\2+\PB\2+\PC\2

的最大值和最小值分别为M和求M+m的值；

(3)过点Q(3,3)向圆E作切线QS,QT,切点分别是S,T,求直线S7的方程.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查了直线的方向向量(平面)，直线的斜率和倾斜角，属于基础题.

由题意，求出直线的斜率，从而得出结果.

【解答】

解：依题意，(1,-b)是直线，的一个方向向量，

所以直线，的斜率k=-V5，

所以直线/的倾斜角为120。.

故选C.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的坐标运算以及空间向量的数量积，属于基础题.

先计算方+乙然后与日进行数量积运算.

【解答】

解：b=(2,0,3)>c=(0,2,2),

.-.K+c=(2,2,5)，

•••a=(2,-3,1).

•••a•(h+c)=4—6+5=3-

故选D.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的线性运算问题，属于中档题.

根据题意画出图形，结合图形利用空间向量的线性运算用耐、而和正表示出所即可.

【解答】

解：如图所示,

则而=OJV-OM

1—，—,—,

=]0B-(。4+4M)

1—,一2一

=-0B—0A——AC

23

1__2

=-OB-OA--(OC-OA)

1一1―»2一

=--0/1+-0F--0C

323

——-a+-6--c.

323

故选C.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了空间向量的基本定理及其应用，向量的加法、数乘运算，考查学生的计

算能力，属于基础题.

根据题意连接0G,因为G为MN的中点，=2M~A，BN=/VC，从而由而=之而+

，而即可得.

【解答】

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解：连接。G,因为G为MN的中点，0M=2MA，BN=NC，

所以记=[而+3丽=gx|R+2x|（赤+就），

化简得到次=\0A+-OB+-0C,

344

故选8.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题.

设所求直线方程为x+y+m=O,运用两平行直线的距离公式，解关于m的方程，即可

得到所求方程.

【解答】

解：设所求直线方程为x+y+m=O,

则由两平行直线的距离公式可得d=嗯胃=3V2,

vlz+lz

解得m=9或一3.

则所求直线方程为x+y-3=0或％+y+9=0,

故选D

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式，两条异面直线所成的角的定义，求出

cos<AM>匕讨>是解题的关键.

由祠•CN=（AA[+A^M）-（CB+丽）求出前•CN的值，利用两个向量的数量积的定

义求出宿•丽，由此解出cos<ZM，CN>=|,结论可得.

【解答】

解：设正方体棱长为1,

由题意可得宿=彳否+硒，CW=CS+BN-

AM-CN=(AA[+A^M)-(CB+BN)

=AA^-CB+AA^■~BN+ArM-~CB+AXM-~BN

=O+lxi+O+O=i.

22

又丽7•丽=Jl+：xJl+jcosV而7，CN>=|cos<丽〉，

,・48SV殖,CA?>=PCOS<AM，标>=1，

故选：c.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了直线方程问题，考查斜率公式，是基础题.

由斜率公式可得力B的斜率，由垂直关系可得CD的斜率，可得点斜式方程，化为一般式

即可.

【解答】

解：由斜率公式可得心B=詈=，

因为。_L4B,

所以kcD=-5,

所以直线CD的方程为：y+3=-5(x-1),

化为一般式可得5x+y-2=0.

故选A.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的切线方程，考查过圆两切点的直线方程的

求法，属于拔高题.

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由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得S四边形抬MB=：|PM|-|AB|=

2j|PM|2_4,说明要使|PM|•|4B|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线1垂直.写出PM

所在直线方程，与直线，的方程联立，求得P点坐标，然后写出以PM为直径的圆的方程，

再与圆M的方程联立可得AB所在直线方程.

【解答】

解：化圆M为(％-1)2+(y-1)2=4,

圆心半径r=2.

•••S四边物MMB=\\PM\•|4B|=2S“AM=\PA\-\AM\=2\PA\=2y/\PM\^-4,

•••要使山M|•|4B|最小,则需|PM|最小,此时PM与直线2垂直.

直线PM的方程为y—11),即y=+a

1,1

丫=/+]

联立，,解得P(—1,0).

2%+y+2=0

则以PM为直径的圆的方程为%2+8_今2='.

可得直线AB的方程为2x+y+1=0.

故选：D.

9.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题考查了利用空间向量判断直线与平面以及平面与平面的位置关系应用问题，属于中

档题.

a中，根据两条不重合直线方向向量共线，判断两直线平行；

B中，根据直线的方向向量与平面的法向量垂直，判断直线与平面平行或在平面内；

c中，根据两个不同的平面法向量垂直，判断两平面垂直；

。中，根据直线的方向向量与平面的法向量共线，判断直线与平面垂直.

【解答】

解：对于4两条不重合直线%的方向向量分别是乙=(23-1),了=(一2,-3,1)，

且｝=—所以匕〃。，选项A正确；

对于B,直线，的方向向量五=(1,—1,2),平面a的法向量是正=(6,4,-1),

且2•3=1x6-1x4+2x(-1)=0，所以l〃a或，ua,判断选项B错误;

对于C,两个不同的平面a,4的法向量分别是五=(2,2,—1),v=(-3,4,2),

且五・万=2x(-3)+2x4—1x2=0,所以a1.0,选项C正确；

对于。，直线，的方向向量五=(0,3,0),平面a的法向量是过=(0,—5,0),

且丘=一|方，所以，la,选项。错误.

故选：AC.

10.【答案】ACD

【解析】

【分析】

利用直线斜率与倾斜角的关系判断4利用点到直线的距离判断B；利用直线系恒过的

点判断C；利用直线的平行和直线与圆的位置关系判断D；

本题考查命题的真假的判断，考查直线斜率与倾斜角的关系，点到直线距离公式，直线

过定点问题，直线与直线的位置关系以及直线与圆的位置关系的应用，充分、必要条件

的判断.

【解答】

解：直线％sina—y+1=0的倾斜角8,可得tan。=sinaW[-1,1],

所以。的取值范围为[0,£u百,兀)，所以A正确；

“点(2,1)到直线3x+4y+c=0距离为3”，可得=3.解得c=5,c=-25,

所以“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0距离为3”的充分不必要条件，所以B

不正确；

直线，：Ax+y-3A=0(Ae7?),即(x—3)4+y=0(46R),恒过定点(3,0),所以C

正确；

直线y=-2x+5即2x+y-5=0与直线2x+y+1=0平行，^===V5,

所以直线y=-2x+5与圆/+y2=5相切，

所以。正确；

故选：ACD.

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11.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,

考查空间想象能力等核心素养，是中档题.

以。为原点，04为x轴，0C为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体-

力i&GDi中棱长为2,利用向量法能求出结果.

【解答】

解：在正方体4BCC-4B1GD1中，点。是底面4BC0的中心，

5G

\---〜

/FZy＞y

b...

Zs

X

对于4,以。为原点，ZM为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系,

设正方体ABCD-中棱长为2,

则4(2,0,2),0(1,1,0),(2,2,2),(0,0,2),C(0,2,0),

A^O=(-1,1,-2).西=(2,0,2)，和=(0,-2,2),

设平面的法向量元=(x,y,z),

则『-£^=2x+2z=0,取“I,得元=(-I

），

In-CD】=-2y+2z=0

•••硒•元=-1-1+2=0，且4。C平面&D1C,

.••40〃平面BiDiC,故A正确；

对于8,A^O=(-1,1,-2)，可=(0,-2,2),

••9＜和西＞=舒=福=-今

.••&。与。。1所成角为30。，故8正确;

对于C,中=(-1,1,-2)，瓦仄=(-2,—2,0)，

硒・瓦E=0，*4。，故C正确：

对于D,,・・41。181。1，ArO1BD,

•••Cl(0,2,2),西=(0,2,2),

.•.卡•斯=0+2-4=一2,二&O与。I不垂直,

4。_L平面BOG不成立，故。错误.

故选：ABC.

12.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查圆与圆的位置关系，涉及两圆相交的性质，属于中档题.

根据圆。和圆M的位置关系判断4数形结合可知PQ垂直线段OM但不平分线段OM判断

B；圆O:/+y2=4和圆时:一+、2一4%—2丫+4=0的方程相减判断。；先求得圆心。

到直线PQ的距离，再利用弦长公式求解判断D.

【解答】

解：对于4：因为圆0:/+y2=4和圆M：/+丫2—4%—2y+4=0交于P,Q两点，

所以两圆有两条公切线，故正确；

对于8：数形结合可知PQ垂直线段0M但不平分线段OM,故错误；

对于C：圆。“2+y2=4和圆M:/+y2-4x-2y+4=0的方程相减得：2x+y-4=

0,所以直线PQ的方程为2x+y-4=0,故正确；

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对于D:圆心。到直线PQ的距离为：d=」一=七班，

V4+15

所以线段PQ的长为|PQ|=2尸』=212_(d)2=产，故正确;

故选ACD.

13.【答案】x-2y+4=0

【解析】

【分析】

本题考查直线的一般式方程与垂直关系，属基础题.

由垂直关系可得所求直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可.

【解答】

解：•••直线2x+y-5=0的斜率为一2,

••・由垂直关系可得所求直线的斜率为：，

•••所求直线的方程为y-3=i(x-2),

化为一般式可得x-2y+4=0

故答案为：%-2y4-4=0

14.【答案】眄

5

【解析】

【分析】

本题考查了向量法求线面角，涉及到线面垂直的判定，属于中档题.

由题意建立空间直角坐标系，求出Q=(—2,0,1)，AC=(-2,2,0).由线面垂直的判定

定理得就为平面BB'D'D的一个法向量，即可求解线面角的正弦值.

【解答】

解：以。点为坐标原点，以DA、DC、CD'所在的直线为其轴、y轴、z轴，建立空间直角

坐标系，

X

则4(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),50,2,1)

AQ=(-2,0,1)-AC=(-2,2,0).

•••0。'，平面ABC。，4Cu平面4BC0,DD'1AC,

又•••AC1BD,BDCDD'=D,BD、DC'u平面BB'C'D,

.-.AC1平面BB'D'D,

而为平面BB'D'D的一个法向量.

cos<BC',^4C>=J伯=等'

BC'与平面BB'D'D所成角的正弦值为唱.

故答案为：喝.

15.【答案】1

O

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的加减运算以及空间向量基本定理，属于基础题.

将前用函，0B,正表示出来，再把系数相加即可.

【解答】

解：•••布=而+诟，OM=10A,而爸而，

'MN=0N-0M，ON=1（0B+0C）,

.■.OG=-OA+-OB+-OC.

633

故答案为日

o

第16页，共23页

16.【答案】4.4

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查坐标法与一元二次不等

式的解法.

以点。为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出点P、Q的坐标和直线PQ的方程以及圆。

的方程，利用点到直线的距离公式，以及直线和圆相交的条件下，解不等式即可得出所

求时长.

【解答】

解：以点。为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系:

可设点+Q(10,10-t),

可得出直线PQ的方程为y—10+t=色券0一10),圆。的方程为/+*=1,

I中-t+10|

由直线PQ与圆。有公共点，可得蓝3彳41，化为3产+16t-1284o,

解得OWtS而也2£仪4.4，

一_33

因此，点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒.

故答案为:4.4.

17.【答案】解⑴♦••Z=^+南+启，

：.\AC\2=(AB+AD+硒2

=\AB\2+\AD\2+|ZT|2+2(AB-AD+AB-A^+AD-ZF)

=42+32+52+2x(0+10+7.5)=85.

•••|Z|=V85;

(2)设Z与旅的夹角为。，

设荏=五，AD=b>ZT=c,

依题意得石•=(a+b+c)-(a+K)

=a2+2a-b+b2+a-c+b-c

=16+0+9+4x5xcos6004-3x5xcos60°

=16+9+10+-=-,

22

国I=J(五+犷=5,

cAC；ACTV85

"C°S-\AC<\\AC\-V85XS-10"

【解析】本题考查空间向量的线性运算，向量加法的三角形法则，以及向量的夹角的计

算，属中档题.

(1)由向量加法的三角形法则得不=南+而+/，再根据向量的求模公式求得AC'

的长；

(2)求得向量初与前的数量积和模，根据向量夹角公式求得两向量的夹角余弦值.

18.【答案】解：(1)由题意得边BC的中点。的坐标为

所以直线ZD的斜率为七°=匕与=-i,

所以BC边上的中线AD所在的直线方程为y-0=-J(x+1),

即x+4y+1=0.

(2)由题意得到直线AB的斜率为%8=上冲=一|,

所以4B边上的高所在直线的斜率为|,

所以4B边上的高所在的直线为y-2=|(x-1),

第18页，共23页

即3x-2y+1=0.

【解析】本题主要考查了中点坐标公式、直线的斜率、点斜式直线方程、两直线互相垂

直的运用，属于基础题.

(1)先求出BC的中点。的坐标，再求出直线4。的斜率，最后由点斜式求出直线方程并化

为一般式即可；

(2)先求直线AB的斜率，再由两直线垂直时它们的斜率互为负倒数求得AB边上高的斜率,

最后由点斜式求出直线方程并化为一般式即可；

19.【答案】(1)由题意，圆C：%2+y2-2%-4y-20=0,

可化为：(%-l)2+(y-2)2=25；

即圆心C(l,2),半径为r=5,

由直线心kx-y+3k+1=0,化为y-1=+3),

得直线，过定点M(—3,1),

当CMJ.Z时，弦长最短，

又由kcM=1，可得k=-4；

(2)由题意，圆C：/+y2-2工一4y-20=0的圆心C(l,2),半径为7=5,

设。(科九)，因为圆心C与。关于直线/对称，

f--2x--2=0

所以2，解得m=3,n=—2,

扃=-2

则。(3,-2),半径r=5,

所以圆D标准方程为：(x—3>+(y+2)2=25.

【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，圆关于直线的对称问题，注意利用圆的几何

性质解决问题更方便，属于中档题.

(1)由直线八kx-y+3k+l=0,可化为y-1=+3),可得直线/过定点M(-3,l),

当CM1，时，弦长最短，又由kcM=%可得k=-4；

(2)由题意，圆C：/+丫2—2x—4y-20=0的圆心C(l,2),半径为r=5,求出圆心C

关于直线］对称的对称点D,即可写出圆。的标准方程.

20.【答案】解：根据题意画出图形，如图所示，则圆的方程为/+y21002,

设过点4(160,0)的直线I的方程为y=-y(x-160)，即x+Wy—160=0,

则圆心0(0,0)到直线Z的距离d=黑=80,80<100,

所以象山县会受到影响，

设直线，与圆交于B、C两点，则|BC|=2,父。2一802=120,

所以受影响的时间为鬻=6小时，

\AB\=V1602-802-60=80>/3-60-

所以在4百-3小时后，即4g+5时开始受到影响，受影响时间为6个小时.

【解析】本题考查圆的性质、直线与圆的位置关系在生产生活中的实际应用，是中档题,

解题时要认真审题，注意挖掘题意中的隐含条件，合理地建立方程.

21.【答案】(I)证明：因为力E_L平面ABC。，AD,48在平面力BCZ)内，

则AE_L/W,AE1AB,又4DJ.4B,

故以4为坐标原点，分别以荏，AD,而所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

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可得4(0,0,0),B(l,0,0),C(l,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).

设CF=h(/i>0),则F(l,2,/i).

则荏=(1,0,0)是平面40E的法向量，又丽=(0,2,/i),可得加•荏=0.

又•••直线BFC平面4DE,

BF〃平面ADE；

(n)解：依题意，RD=(-1,1,0).=(-1,0,2).CE=(-1,-2,2).

设记=(x,y,z)为平面BDE的法向量，

则仔•吧=f+y=。，

In-BE=—x+2z=0

令z=1,得五=(2,2,1).

.-.cos<CF,n>=^=-1.

二直线CE与平面BOE所成角的正弦值为士

(见)解：设沅