高中数学：6-2平面向量的数乘运算学案

第03讲平面向量的数乘运算

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课程标准课标解读

1.掌握向量数乘的定义.

通过本节课的学习要求熟练地进行实数与向量的积的

2.了解向量数乘的运算律.

运算，利用向量数乘的几何意义判断两向量共线，能在

3.理解向量数乘的几何意义.

深刻理解向量数乘运算的基础上综合运用.

4掌.握向量的共线定理.

微知识精讲

1.向量的数乘

一般地，我们规定实数几与向量。的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作

Aa.它的长度和方向规定如下：

(1)加|=|用；

(2)4>0时，〃的方向与。的方向相同；当;IvO时，与a的方向相反；4=0时,

Au=0.

【微点拨】

(1)对于脑：①从代数角度看，2是实数，。是向量，它们的积仍然是向量.々=0的条

件是a=0或；1=0.②从几何的角度看，对于长度来说，当囚>1时，意味着表示向量。的

有向线段在原方向(4>0)或相反方向(2<0)上伸长了|川倍；当0<囚<1时，意味着表示向

量a的有向线段在原方向(0<兀<1)或反方向(-1<2<0)上缩短了闪倍.

(2)实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如2+a,2-a都无意义.

2.向量数乘的运算律

实数与向量的积满足下面的运算律：设2、〃是实数，a、b是向量，则：

①结合律：(///)«；

②第一分配律：(2+〃)a=+；

③第二分配律：2(a+Z>)=；M+Ab.

3.向量共线定理

（1）内容：

向量5与非零向量a共线，则有且只有一个实数X,使6=痴.

（2）向量共线定理的注意问题：

①定理的运用过程中要特别注意a.

特别地，若a=b=O,实数2仍存在，但不唯一.

②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数2沟通了两个向量。

与a的关系.

③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法.要证三点共线或两直线平行，任

取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数2使向量相等即可.

【即学即练1】化简・[2（2a+8））—4（4”一2劝]的结果是（）

A.2zz—bB.2b-a

C.a-bD.b-a

【答案】B

【解析】

g[2（2a+8》）-4（4a-2a]=g（4a+16b-16a+8b）=f（24b-12a）=2b-a.

本题正确选项为B.

【名师点睛】本题考查向量数乘运算的运算法则的应用，根据向量数乘运算法则直接化简即

可得到结果.属于基础题.

【即学即练2]已知A。、8E分别是△ABC的边BC,AC上的中线，且AD=a，BE=b，

则8C=（）

12,21,

A.-a+—bB.—a+-b

3333

2442,

C.—a+—btD.—a+—b

3333

【答案】C

_____________1___1

【解析】•/BC=b+EC，AC^a+DC，EC=-AC,DC=-BC.

a124

BC=-+b+-BC,解得BC=—a+—b.故选C.

2433

【即学即练3】设a是非零向量，/I是非零实数，则下列结论中正确的是（）

A.a与Za的方向相同B.a与一面的方向相反

C.a与/Pa的方向相同D.\Aa\=A\a\

【答案】C

【解析】只有当2>0时，才有。与履的方向相同，a与一九I的方向相反，且|A«|=/l|a|.

因为外>0，所以a与丸，的方向相同.故选C.

【名师点睛】本题主要考查向量的数乘，熟记概念即可，属于基础题型.根据向量的数乘运

算，可直接得出结果.

［即学即练4】已知平行四边形ABC。的对角线AC与BD交于点。，设AB=a，3C=6，

则g(a_5)=()

A.OAB.OB

c.ocD.OD

【答案】B

【解析】如图，a_b=AB_BC=AB_AD=DB；(a_b)=；DB=OB.

本题正确选项为B.

【名师点睛】本题考查向量的线性运算问题，涉及到向量的减法和数乘运算的应用，属于基

础题.根据向量减法的三角形法则和数乘运算宜接可得结果.

【即学即练5】在梯形ABC。中，A8=3OC，则8c等于()

224

A.--AB+B.——AB+-AD

AD33

C.--AB+-ADD.--AB-AD

333

【答案】A

【解析】V在梯形ABCD中，AB=3DC

.1.2--

BC=BA+AD+DC=-AB+AD+-AB=——AB+AD,故选A.

33

【即学即练6】已知M为△48。的边43的中点，△A3C所在平面内有一个点P,满足

PC=PA+PB，若|PC|二HPM|,则2的值为()

A.2B.1

C.-D.4

2

【答案】A

【解析】由题意满足PC=PA+PB，可得四边形尸是平行四边形，又M为aABC的边

AB的中点，.,.PC=2PM,|PC|=；1|PM，.•J=2.故选A.

【即学即练7】已知实数机，〃和向量。，b,有下列说法：

①m（a—b）="ia—nib；ri）a=ma-na；

③若“7"=/泌，则a=〃；④若n7a=”a（aH0）,则加=".

其中，正确的说法是（）

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

【答案】B

【解析】①和②属于向量数乘运算的分配律，正确；

③中，当加=0时，ma=m&=0,但。与b不一定相等，故③不正确；

④正确，因为由加得（加一〃）。=0,乂因为所以加一〃=0,即机=〃.

故选B.

【名师点睛】本题主要考查向量的数乘，熟记向量数乘运算的法则即可，属于常考题型.求

解时，根据向量数乘运算判断①②；根据特殊值m=0,判断③；根据向量数乘运算，可判

断④.

【即学即练8】设4,02是两个不共线的向量，若向量根=-4+仁（keR）与向量

〃=02-26］共线，则（）

A.k-QB.k—\

C.k=2D.k=-

2

【答案】D

【解析】因为向量皿=一勺+履2(ZeR)与向量〃=02—2弓共线，所以存在实数2,使

得m=An,

k=A1

所以有—q+Ze?=4(e2—2eJ,因此，,一，解得左=一.故选D.

-1=-222

【名师点睛】本题主要考查由向量共线求参数的问题，熟记向量的共线定理即可，属于常考

题型.求解时，根据向量的共线定理，结合题意得到，存在实数;I,使得加=2”，根据题

中数据，列出方程组求解，即可得出结果.

1(212、

【即学即练9】化简：5(°+26—3c)+51J—3(a—2/?—c)=.

【答案】59/+29

626

【分析】

通过合并同类项将式子化简即可.

【详解】

原式=(万+5*1—3/+—x2+5x(——)—3x(—2)h+—x(—3)+5x——3x(—1)c

=—a+—b+—c.

626

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.

【即学即练10］若向量a=3i-4/,〃=5i+4/J"(ga-b)-3(a+g/，+(26-a)=.

【答案】-16/+—y

【分析】

+(2b-a)=-^a-b再代入计算可得.

首先计算出紧炉0+加

【详解】

解：++=；〃一匕一3〃-2/?+2Z?-a=-^-a-b

,a=3i-4j,b=5i+4j

.•.-y«-/?=-y(3z-4jj-(5j+4jj=-ll/+yJ-5/-4J=-16/+yj

32

故答案为：-16i+方/

【点睛】

本题考查向量的线性运算，属于基础题.

u能力拓展

考法01

1.向量的数乘运算

【典例1】；3（2。+昉）-卜“一26）］等于（）

A.2a-bB.2b-a

C.b-aD.a-b

【答案】B

【分析】

利用平面向量的线性运算化简可得结果.

【详解】

原式=^—3a+6bj=2b—a.

故选：B.

考法02

用向量证明三线共点与三点共线问题

实数与向量的积的定义我们可以看作是数与数的积的推广，学习实数与向量的积及运算

律时，应联想数与数的积的定义及运算律，加深理解，并注意到实数与向量的积仍是一个向

量，化简向量代数式时可类比多项式的合并同类项.

【典例2】设P是△ABC所在平面内的一点，BC+BA=2BP，贝U（）

A.P、A、C三点共线

B.P、A、B三点共线

C.P、B、C三点共线

D.以上均不正确

【答案】A

【解析】如图，取4c中点。，则BC+8A=28。，23O=23P，和尸重合，；/，A,

C三点共线.故选A.

A

【典例3】如图所示，在平行四边形ABC。中，点M是A3的中点，点N是3。上一点,

BN=-BD,求证：M,N,C三点共线.

3

【答案】证明详见解析.

【解析】设AB=a，AD=b,

MN-MB+BN=—AB+—Bl)=—a+—(AD—Afi\=—a+—(b—a\=—a+—b,

2323、,23、’63

MC=MB+BC=-AB+AD=-a+b=3MN,

22

MNMC,

又MN,MC有公共点M,

：.M,N,C三点共线.

【名师点睛】两向量共线是我们研究向量间一种比较重要的位置关系，应掌握常见的向量共

线的判定方法.用A8//C。解释A8〃8；用AB//CQ解释或A5与CD共线.证明

三点共线，可先在三点中选择起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数4使两向量

相等.把向量共线问题转化为寻求实数4使向量相等的问题.

【即学即练II】已知向量”6-/，方=-31e2-2eJ.求证：消了是共线向量.

【答案】证明见解析

【分析】

由平面向量共线定理即可证明问题.

【详解】

由题意，a=et-^e2,b=-3\e2-2eA,则b=6口斗卜6。，由向量共线定理知消］是

共线向量.

考法03

3.“姐妹式”巧解向量问题

我们经常会遇到这样一些基本图形：两条相交直线及两条直线外的点（作为多条向量的

起点）（如下例1中的图）.解与此相关的向量分解、计算、证明等问题的核心往往是抓住

交点分其所在线段（直线）被从同一起点出发的向量所截得两线段的比.两次应用上述结论

得到一对“姐妹式”，“殊途同归''后利用共线向量定理得到一个方程组，最后或解方程组或设

而不求整体消元，则问题可迎刃而解.

【典例4】如图，在△AOB的边。4,上分别有P,Q,已知OP:E4=1:2,OQ:QB=3:2,

连接42,BP,设它们交点为若。4=a，OB=b.试用。，力表示OR.

【答案】OR=-a+-b

62

【解析】不妨设AR=fR。，BR=sRP,

3/,.s

Q4---bCDb4—a

则小不।

且。R==

]+t1+s1+s

-L=_3_

t=5..11

故1+r1+s,解得,所rr以OR=—a+—).

3s=162

工，

J+r1+s

【名师点睛】“姐妹式”在处理两直线相交且与这两条直线外点有关的向量分解、计算、证明

等问题时有着广泛的应用.

21

【即学即练12】在△ABC中，点尸是A8上一点，且CP=（C4+：CB,。是8C中点，AQ

与CP交点为M,又CM=tCP，贝”的值为（）

1243

A.-B.-C.-D.-

【答案】D

【详解】因为A,M,Q三点共线，所以可设AM=2AQ,又

CM=C（|cA+gc8）=|心+5CB,所以AM=CM_C4=（gl）CA+?C8,

一——.1—»

AQ=CQ-CA=-CB-CA,将它们代入AM=ZA。，即有

2।/

z、—f_1=­A

|r-l+=由于CA,C8不共线，从而有｛:,解得

[3J32-t=-^

32

31

/=—,/1=—,故选择D.

42

【考点】向量的基本运算及向量共线基本定理.

M分层提分

题组A基础过关练

1.下列运算正确的个数是（）

①（-3>2。=-6a；②2（a+b）-（2/2-a）=3a；

③（a+2。）-（2b+a）=0.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

利用平面向量的加法，减法，数乘运算及其运算律判断.

【详解】

①（-3>2a=-6a,由数乘运算知正确；

②2.+。）-（26-4）=3a,由向量的运算律知正确；

,+2））-（28+力=0,向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误.

故选：C

2.设q,e2是两个不共线的向量，若向量a=-q+处2（keR）与向量〃=e2-2q共线，则

（）

A.k=0B.k=1C.k=2D.k=不

2

【答案】D

【分析】

根据向量〃?=一耳+小（keR）与向量"=e?-2q共线，由帆=求解.

【详解】

因为q,02是两个不共线的向量，且向量旭=-4+谿2（%eR）与向量"=e2-24共线，

所以机=力7，即-4+妫=丸（。2-%），

f—1=—2Z1

所以，，，解得

[攵一/t2

故选：D

3.已知q,e?是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（）

（£）4=5。],b=7et；②a=；g-g&2，b=3et-2e2；

@a=et+e2,b=3e、—3e,.

A.①@B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】

根据平面向量共线定理得到，对于①a=故两向量共线；对于②故两向量共

线；对于③不存在实数2满足〃=肪，故不共线.

【详解】

5

对于①。=5。，b=le],a=b,故两向量共线；

II1

对于②”=彳乌_彳@2，b=3e}-2e2,a=-h,故两向量共线；

对于③“=4+e?,b=3e1-3e2,

假设存在A,a=Ab=>q+e2=X（3g_3eJ

=>（3几-1"]=（32+1”2,因为q,e?是不共线向量，

故得到34-1=32+1无解.

故选：A.

4.如图所示，在.ABC中，BD=2DC.若AB=a,AC=b，则A£>=（）

c

D

AB

【答案】c

【分析】

根据比>=2£>C.且A8="，AC=b.利用平面向量的加法，减法和数乘运算求解.

【详解】

因为8£>=2£>C.且AB=a,AC=b，

所以AO=AC+C3

=AC+-CB

3

=AC+g（AB-AC）

1?12

=-AB+-AC=-a+-b.^C

3333:

5.在.A8c中，点。在CB的延长线上，且C£>=4BD="B+sAC，贝V一$等于（）

48

A.0B.-C.-D.3

53

【答案】C

【分析】

根据C£>=4BD=rAB+sAC，利用平面向量的基本定理求解.

【详解】

因为点D在CB的延长线上，且CD=4BD，

444

所以CD=—CB=—AB——AC,

333

又因为CD=rAB+sAC，

44

所以r=-,s=~-,

33

Q

所以r-s=g,

故选：C

2

6.若A3=-§BC,则下列各式中不正确的是（）.

3.11

A.CB=-ABB.BA^2ACC.CA=——BCD.AC=-AB

232

【答案】D

【分析】

根据向量的数乘的定义判断.

【详解】

如图，由A8=—知C在84延长线上，且

因此由向量数乘定义知ABC三个选项均正确，D错误.

CAB

故选：D.

4—.

7.已知PA=-5AB,设BPmi，贝ij/l=().

4433

A.—B.——C.—D.—

3344

【答案】D

【分析】

根据向量的数乘定义求解.

【详解】

44

由=得P是线段AB上的点，且=如图，

433

因此=BP=^PA,2=-J.

故选：D.

ApB

8.已知向量a,3S.AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=la-2b,则一定共线的三点是()

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

【答案】A

【分析】

根据三点共线的知识确定正确选项.

【详解】

依题意AB=a+24BC=-5a+66,CO=7a-26,

AD=AB+BC+CD=3a+6b=3ABr所以AB,AO共线，即AB,£＞三点共线,A正确.

4C=A8+BC=-4a+8〃，则4B,AC不共线、AC,CQ不共线，BD错误.

BD=BC+CD=2a+4b，则8c,3。不共线，C错误.

故选：A

9.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人

称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如

图所示.在“赵爽弦图"中，若BC=a,BA=b,BE=3EF,贝ij8尸=(

A.3+JB.九+幼-129,D.3。+空b

C.—a+—b

455525252525

【答案】D

【分析】

利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可:

【详解】

由题意8/=8。+(7/=80+："=80+1(E8+班)=80+(1—(8/+84

253

:.-BF=BC+-BA,/.BF=—BC+—BA

1642525

BF=—a+—b

2525

故选：D

7

10.已知向量a=-2e,〃=]C,(e为单位向量)，则向量a与向量b()

A.不共线B.方向相反

C.方向相同D.\a\>\b\

【答案】B

【分析】

根据两者之间的数乘关系可判断两者之间的关系.

【详解】

因为a=2,b--e,所以a=-9〃，

37

故向量a与向量b共线反向.

故选：B.

11.设向量。4=q,OB=e2,若4与与不共线，且点P在线段A8上，网：网=2,则。尸=

)

B

A12n21「12n21

A.—q—e,B.-4+-%C.—c,H—e、D.一，—e?

3333-3132332

【答案】c

【分析】

根据向量线性关系的几何意义得到OP,OA,O月的线性关系，即可知正确选项.

【详解】

2

由0P=0A+AP,AP=-A8,A8=08-0A,

3

2212

OP=OA+-(OB-OA)=e)+-(e2-el)=-el+-e2.

故选：C

12.已知A8=a，AC=b，BD=3DC，用a，b表示AD，则A£>=()

31,n3,c11,rL+射

A.一〃H—bB.ci-\—bC.-ciH—hD.

4444444

【答案】D

【分析】

结合平面图形的几何性质以及平面向量的线性运算即可求出结果.

【详解】

因为BO=3OC，

aa〔a

所以40=AB+8D=A8+=8C=A8+-(-A8+AC)=-A8+-AC,

44、744

又因为A8=a，AC=b^

13

所以AO=上〃+

44

故选：D.

13.一ABC的三边BC,CA,A3的中点分别是O,E,尸，则3E+CF=()

A.BCB.—ADC.-ADD.BC

22

【答案】c

【分析】

运用向量加法法则及数乘法的法则计算.

【详解】

如图，

A8C的三边BC,CA,AB的中点分别是3，E,F；

BE+CF=(BC+CE)+(CB+BF)

=CE+BF

=-CA+-BA

22

=-g(AB+AC)

=-AD-

14.如图，AB是。。的直径，点C、。是半圆弧力上的两个三等分点，AB=a，AC=b，

2222

【答案】D

【分析】连接CD、OD、0C,分析出四边形A8C为平行四边形，利用平面向量加法的

平行四边形法则可得出结果.

【详解】

连接C£＞、OD、0C.如图.

由于点C、。是半圆弧a上的两个三等分点，则/80。=/(70。=446^=60,

OA=OC=OD,则△AOC、△(%>£>均为等边三角形，・•.NOAC=NOCO=60,

..ZOAC=ZBOD,OD//AC,同理可知CD〃A3,

]

所以，四边形AODC为平行四边形，所以，AD^AO+AC=-a+b,

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：解本题的关键在于分析出四边形4ODC为平行四边形，进而利用平面向量加

法的平行四边形法则求解.

15.如图，设P为AA3C内一点，且AP=：AB+!AC,则A物与A4BC的面积之比为

34

【答案】A

【分析】

作PD//AC交AB于点根据向量比例，利用三角形面积公式，得出SM〃与的比例,

再由SAADP与s^PB的比例，可得到结果.

【详解】

如图，作H)//4c交48于点力,

p

3

则AP=A£)+OP，由题意，AD=^AB,=且NADP+NCAB=180，

又AO=〈AB,所以，SMPB=3SMW=1SMBC,即2=J,

所以本题答案为A.

【点睛】

本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的

关键.

_?1___

16.如图，在AABC中，AD=-AC,BP=-PD,若AP=2AB+〃AC,则几+〃的值为

【答案】A

【分析】

根据向量线性运算，可利用48和AC表示出AP，从而可根据对应关系求得结果.

【详解】

由题意得：AP^AB+BP^AB+-BD^AB+-(AD-AB\=-AB+-AD

44、744

31231

=-AB+-x-AC=-AB+-AC

44346

3111

又AP=+//AC,可知：A+//=—+—=~^2

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查向量的线性运算问题，涉及到向量的数乘运算、加法运算、减法运算，属于常规题

型.

题组B能力提升练

1.已知。是△A8C所在平面上的一点，若。4+08+00=3，则点。是△ABC的（）

A.夕卜心B.内心C.重心D.垂心

【答案】C

【分析】

作BD//OC、CD//OB,连接0。，。。与8C相交于点G,可得0B+0C=0。，

乂OB+OC=-OA，则有。力=-。4，即AG是BC边上的中线，同理，BO,C。也在

的中线上，即可得出结果.

【详解】

作8D〃0C,CD//OB,连接0。，与8c相交于点G,则8G=CG（平行四边形对角线互

相平分），

OB+OC=OD，

又04+08+00=3，可得08+0C=-0A，-,-OD=OA，

：.A,O,G在一条直线上，可得4G是BC边上的中线，同理，BO,C0也在△A8C的中线

上.，点0为三角形ABC的重心.

故选：C.

2.已知。是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个动点，若动点尸满足

OP=OA+A（AB+AJC）>2e（O,+°°）,则点P的轨迹一定通过A8C的（）

A.内心B.外心

C.重心D.垂心

【答案】c

【分析】

取8C的中点O,由已知条件可知动点P满足苏=5U>1（6+A3），2e（O，*«），易得

AP=2AAD'则点A。，尸三点共线，进而得到点尸的轨迹一定通过A8C的重心•

【详解】

解：设。为BC的中点，则。3=0%+〃A5+A3）=&+224b，

则OP-OA=2AAD'i!|iAP=2/1AD'

•・ARP三点共线，

又因为。为BC的中点，所以A3是边BC的中线，

所以点尸的轨迹一定通过./WC的重心.

故选：C.

3.如图，已知四边形ABC。是梯形，AB//CD,E,F,G,H分别是AO,BC,AB,

8的中点，则EF等于（）

A.AD+BCB.AB+DC

C.AG+DHD.BG+GH

【答案】C

【分析】

利用向量的线性运算直接计算.

【详解】

如图，连接30交EF于连接MH,MG,则四边形AEMG和四边形都是平行

四边形，

所以EM=AG，DH=HC=MF，

则EF=EM+MF=AG+。”，

故选：C.

4.已知。是.A3C所在平面内的一定点，动点P满足

OP=OA+X—+"e(0,+8),则动点P的轨迹一定通过,ABC的()

1|A8|\AC\J

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【答案】A

【分析】

占表示的是“方向上的单位向量，画图象，根据图象可知点P在々AC的角平分线上，故动

点尸必过三角形的内心.

【详解】

ABAC_

如图，设网"，国=醒,

已知AF,4E均为单位向量，

故四边形AEDF为菱形，所以AO平分ZBAC,

‘ARAC'

由OP=OA+/l-^-+—,Ae(0,+oo)

1|A8|\AC\)

得AP=/IAQ，又AP与AD有公共点A,

故A,£>,尸三点共线，

所以点尸在NBAC的角平分线上，故动点P的轨迹经过二ABC的内心.

故选：A.

5.已知点。是ABC所在平面上的一点，ABC的三边为4。,。，若=

则点。是,加?。的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

【分析】

在AB,AC上分别取单位向量篇），&，作A%=Ab+A%，则A尸平分々AC,用&，赢/表

不出加A代入条件式，用^，元表示出N，则可证明A，F,。三点共线，即A。平

AO

分ZBAC.

【详解】

—>

AB

在A8,AC上分别取点D，E，使得北＞=AE=—

b

贝111Abiq&'|=1•

以AO,AE为邻边作平行四边形/WFE,如图,

则四边形AO/石是菱形，且=

cb

・•.AF为ZBAC的平分线.

—>—>—>—>

aOA+bOB+cOC=0

—>—>

/.a•04+b•(0A+AB)+c•(OA+AC)=0»

^{a+b+c)OA+bAB+cAC=^，

—»—>

•b工、c3be.ABAC

••AO=AB+------------AC=------------(——+之——一后.

a+b+ca+b+ca+b+ccba+b+c

;.A，O,F三点共线，即。在NBAC的平分线上.

同理可得。在其他两角的平分线上,

是ABC的内心.

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题.

6.已知。为，A8C所在平面内的一点，且满足OA+O8=CO，则一08c的面积与,ABC的

面积的比值为（）

1123

A.3-B.-23-D.4-

【答案】A

【分析】

根据题意，可得。为AABC内部一点，取BC中点。，连接并延长至E,使DE=OD于

是四边形30CE是平行四边形，由条件和共线向量定理，即可得到AD为中线，同理延长50

交ACTF,则下也为中点，即可得到。是重心.

【详解】

解：由OA+O8=C。得Q4+O8+OC=0，故。在△内部，

如图，取3c中点。，连接。。并延长至E,使得。E=OD，

则四边形B0CE为平行四边形.

则OB+OC=OE，又因为OB+OC=AO，

所以A、0、E三点共线且|A0|=|0E|=2|0D|,

即。为的重心.

故选：A.

【点睛】

本题考查平面向量的运用，考查向量加法的平行四边形法则，同时考查三角形的重心定义,

属于中档题.

7.（多选）已知向量a,6不共线，若A3=4a+匕，AC^a+^b,且A,B,C三点共线,

则关于实数4，4的值可以是（）

A.2,gB.-3,—

C.2）—D.-3,—

23

【答案】AB

【分析】

利用平面向量共线基本定理即可求解.

【详解】

因为A,B,C三点共线，

则存在实数2，使得AB=AAC>

即\a+b=2（a+4》）,

即4a+6=Aci+»

所以（4Y）a+（T4W=0，

乂因为向量“，匕不共线，

f2,—2=0

所以；门A-解得44=1，

[1-44=U

所以实数4，%的值互为倒数即可求解.

故选：AB

8.（多选）己知4A8-3AO=AC,则下列结论正确的是（）

A.A,B,C,。四点共线B.C,B,。三点共线

C.\AC\=\DB\D.\BC\=3\DB\

【答案】BD

【分析】

由448-3AD=AC可得3Z）3=BC，从而可对ABD进行判断，再对4A8-3AD=AC变形化

简可对C进行判断

【详解】

因为4A3-3A£）=AC，所以3AB-3AO=AC-4B，

所以3O8=8C，

因为O8,BC有公共端点B,所以C,B,。三点共线，且18cl=3|。例，所以BD正确，A

错误，

由4A8-3AO=AC，WAC=3AB-3AD+AB=3DB+AB,所以|AC国。8|,所以C错误,

故选：BD

9.（多选题）等边三角形ABC中，=DC,EC=2AE'A£）与BE交于F,则下列结论正

确的是（）

T21T

A.AD=-\AB+AC\B.BE=-BC+-BA

33

-1fT1-1-

C.AF=-ADD.BF=-BA+-BC

223

【答案】AC

【分析】

可画出图形，根据条件可得出。为边3c的中点，从而得出选项A正确;

..T1T—]—2T

山丘'=2怠可得出的二：4^?，进而可得出BE=WBC+£B4，从而得出选择B错误;

。DD

T'1TT4T4夕T1

可设A尸=：AD,进而得出A尸=5AB+《AE,从而得出；1=:,进而得出选项C正确;

2222

由A尸=：A。即可得出B尸=：BA+；BC,从而得出选项D错误.

224

【详解】

如图，

访="","为8C的中点，.•・筋=；便+回，r.A正确；

-1T1TT

EC=2AE<-AE=-AC=-(BC-BA),

—>—>—>—>i—>—>1f2f

/.BE=BA+AE=BA+-(<BC-BA)=-BC-}--BA,/.B错误；

设/1>=；16=(6+(正=(屹+日/，且8,F,E三点共线，

•••1+y=l.解得人；，

AF=-AD,•,(正确；

2

->Tf->1->->f1fl—11

BF=BA+AF=BA+-AD=BA+-(BD-BA)=BA+-BC一一BA=-BA+-BC,；.D错误.

224224

故选：AC

DAPRPC

10.(多选题)放△ABC中，ZABC=9O°,AB=BBC=\,国+网+网巴以下正确

的是（）

A.ZAPB=\20°B.ZBPC=\20°

C.2BP