有趣的几何分解

以上现象显示出几何图形的一类新的几何性质。这类性质与几何图形的大小、形状以及所含线段的曲直等等都无关，他们不能用欧氏几何的方法来处理，它们的特点是：在“弹性变形”下保持不变，研究这类新问题的几何学，欧拉称之为“位置几何学”，人们通俗地把它叫做“橡皮几何学”。后来，这门数学分支被正式命名为“拓扑学”第一页第二页，共64页。拓扑［topology］，原意暗指和地形、地势相类似或有关的学科，曾译为形势几何学、连续几何学。1956年《数学名词》确定译为拓扑学，是按音直译的。第二页第三页，共64页。一、拓扑学的早期发展第三页第四页，共64页。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。多面体的欧拉定理四色问题哥尼斯堡七桥问题第四页第五页，共64页。著名的七桥问题对拓扑学的产生和发展曾起了一定的作用，实质上它是一个一笔画问题．七桥问题是这样的：流经哥尼斯堡的普雷格河的河湾处有两个小岛，七座桥连结了两岸和小岛(左图)．当地流传一个游戏：要求在一次散步中恰好通过每座桥一次．很长时间里没有人能做到．后来大数学家Euler研究了这个游戏．他用点代表陆地(两岸和岛)，用连结各点的线代表桥，得到上面的图形．于是上述游戏变成这个图形能不能一笔画成的问题了．Euler证明它是不能一笔画成的．哥尼斯堡七桥问题第五页第六页，共64页。哥尼斯堡七桥问题第六页第七页，共64页。“讨论长短大小的几何学分支，一直被人们热心的研究着，但是还有一个至今几乎完全没有探索过的分支，莱布尼兹最先提到它，称之‘位置几何学’，这个几何学分支讨论只与位置有关的关系，研究位置的性质。它不考虑长短大小，也不牵涉量的计算。但至今未有过令人满意的定义，来刻画位置几何学的课题和方法。”这一数学分支现代称为“拓扑学”第七页第八页，共64页。对七桥问题的反思七桥问题是一个几何问题，然而，它却是一个以前欧氏几何学里没有研究过的几何问题。在以前的几何学里，不论怎样移动图形，它的大小和形状都是不变的；而欧拉在解决七桥问题时，把陆地变成了点，桥梁变成了线，而且线段的长短曲直，交点的准确方位、面积、体积等概念，都变得没有意义了。不妨把七桥画成别的什么类似的形状，照样可以得出与欧拉一样的结论。

很清楚，图中什么都可以变，唯独点线之间的相关喂置，或相互连结的情况不能变。

欧拉对“哥尼斯堡七桥”问题的研究，是拓扑学研究的先声。第八页第九页，共64页。在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。有人说这是拓扑学的第一个定理。多面体的欧拉定理第九页第十页，共64页。著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”四色问题第十页第十一页，共64页。四色问题第十一页第十二页，共64页。凯利1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。第十二页第十三页，共64页。1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰特两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰特的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。第十三页第十四页，共64页。进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。

第十四页第十五页，共64页。上面的三个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些都是“拓扑学”的先声。第十五页第十六页，共64页。1895年庞加莱（Poincaré,1854〜1912）的著作《位置分析》开始了对拓扑学的系统研究，由于他奠基性的工作，拓扑学走上了宽广的道路，众多的数学家进入了这个领域，使得拓扑学称为本世纪最丰富多彩的一个数学分支，并成为近代数学的“新三高”（即抽象代数、拓扑学和泛函分析）第十六页第十七页，共64页。二、拓扑学的基本研究对象第十七页第十八页，共64页。第十八页第十九页，共64页。第十九页第二十页，共64页。第二十页第二十一页，共64页。拓扑学是研究图形经过拓扑变换后的不变性质的学科。这里的拓扑变换形象的说就是一种既不撕破、也不黏合、但允许将图形伸缩和弯曲的变换。上面三组图形从拓扑变换角度来看，它们分别是“等价”的。然而，在初等几何学中，这些图形的形状、面积、周长等都是不相同的。第二十一页第二十二页，共64页。如果图形X通过弯曲、伸缩，而没有撕裂也没有黏合变形为Y，则称两个图X和Y是拓扑等价或同胚。通常互相同胚的图形被看做同一种图形。第二十二页第二十三页，共64页。第二十三页第二十四页，共64页。简单曲面上的任一闭曲线总把它分割成两部分.简单闭曲面把空间分成两部分即内部和外部，且以该曲面为这两部分的公共边界。另外这些曲面中的每一个都有两侧：外侧和内侧，这种双侧性在同胚下也是不变的。第二十四页第二十五页，共64页。单侧曲面——莫比乌斯带1858年德国数学家莫比乌斯（1790-1868）有一个惊人的发现：存在只有一侧的曲面。第二十五页第二十六页，共64页。第二十六页第二十七页，共64页。第二十七页第二十八页，共64页。是否存在单侧闭曲面呢？思考第二十八页第二十九页，共64页。单侧闭曲面菲利克斯·克莱因(1849年4月25日—1925年6月22日)第二十九页第三十页，共64页。在1882年，著名德国数学家菲立克斯·克莱因(FelixKlein)发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个象球面那样封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面。第三十页第三十一页，共64页。第三十一页第三十二页，共64页。第三十二页第三十三页，共64页。三、拓扑性质与拓扑不变量第三十三页第三十四页，共64页。如果几何图形A某些性质或量在每一个拓扑变换下都保持不变，就称之为拓扑性质（即拓扑不变性）或拓扑不变量。例如单侧性、双侧性都是最简单的拓扑性质，而欧拉多面体公式中的数（欧拉示性数）则是拓扑不变量。这里列举一些最基本而又重要的拓扑性质和拓扑不变量。第三十四页第三十五页，共64页。1、连通性及其重数如果图形X中任意两点p与q，都能用X中一条道路连接，则称X是联通的（更确切的说是道路联通）。第三十五页第三十六页，共64页。图形中任一条封闭曲线都能连续的“收缩”成图形中一点，具有这种性质的图形称为单连通区域。不是单连通的区域称为多连通区域。第三十六页第三十七页，共64页。如果图形必须做n-1次彼此不交的、从边界到边界的切割，才能把给定的多连通区域D化为单连通区域，则称D为n重连通的。平面上一个区域的连通性重数是这个区域的一个重要的拓扑不变量。第三十七页第三十八页，共64页。对空间区域C

，如果C内任一闭曲面所围成的区域全属于C，则称C是空间二维单连通区域；如果C

内任一闭曲线总可以张一片完全属于C

的曲面，则称C为空间一维单连通区域。第三十八页第三十九页，共64页。第三十九页第四十页，共64页。第四十页第四十一页，共64页。第四十一页第四十二页，共64页。2、亏格定义：若曲面中最多可画出n条闭和曲线同时不将曲面分开，则称该曲面亏格为n。亏格是二维曲面最典型的拓扑不变量。以实的闭曲面为例，亏格g就是曲面上洞眼的个数.比如球面没有洞，故g=0;环面有一个洞，故g=1。

第四十二页第四十三页，共64页。如果两个闭曲面有相同的亏格，则可以把其中一个连续的变为另一个，所以从拓扑的观点来看，一个闭曲面的亏格完全刻画了这个闭曲面的特征。第四十三页第四十四页，共64页。3、何为不动点张景中院士曾通俗的讲：设想把一根橡皮条拉长，拉长到1米，两端固定在一根米尺的两端。米尺上是有刻度的：1厘米，2厘米，……于是，可以在橡皮条上也画上记号。橡皮条上的每个点对应一个数x。X在0和100之间。手一松，橡皮条自然会缩短，把缩短了的橡皮条仍然放在尺子上，在按照尺子上的刻度在每个点做记号y，y与原来的x就对应起来，记缩短变幻为f,y=f(x).从拉长到缩短，橡皮条上的每个点的位置都经历了一次变化，一个运动，从x变到y。这个运动可能很不规则，很难掌握。但是，数学家知道有一件事是确凿无疑的——橡皮条上至少有一个点，它的位置没有变化！这就是线段上的不定点定理。第四十四页第四十五页，共64页。平面上的不动点数学家进一步研究，发现平面上也有不动点定理。比如，一幅画在绷紧了的橡胶薄膜上的中国地图。把周围的木框去掉，地图不再绷紧，它收缩变形。再在原来的中国地图上，地图上的每一个点都有了新位置，北京也许到了兰州，上海说不定挪到了西安，海南岛爬上大陆。但是，不动点定理告诉我们，有一个地方肯定没有动。至于这个地方是哪里，那就不知道了，这要根据变动的具体情形而定。第四十五页第四十六页，共64页。第四十六页第四十七页，共64页。根据球面上的不动点定理，数学家断言，任何时候，地球上总有一个地方不刮风！同理知：每个人头发上至少有一个漩涡。第四十七页第四十八页，共64页。法国著名数学家庞加莱（Poincaré,1854〜1912）以他丰富的想象力及抽象的思维能力，提出下图中的两个物体是等价（同胚）的，也就是说，您可以从其中一个开始，经由拓扑变换得出另一个，您认为可能吗？庞加莱（Poincaré,1854〜1912）第四十八页第四十九页，共64页。过程第四十九页第五十页，共64页。四、拓扑学取得的成就长期以来，拓扑学一直都是数学研究的最前沿领域之一。国际数学界的最高奖项菲尔兹奖的历年获奖者中，很多人的获奖原因都跟拓扑学的研究有关。

第五十页第五十一页，共64页。菲尔兹奖菲尔兹奖（FieldsMedal，全名TheInternationalMedalsforOutstandingDiscoveriesinMathematics）是一个在国际数学联盟的国际数学家大会上颁发的奖项。它每四年颁奖一次，颁给二至四名有卓越贡献的年轻数学家。得奖者须在该年元旦前未满四十岁。菲尔兹奖是据加拿大数学家约翰·查尔斯·菲尔兹的要求设立的，被视为数学界的诺贝尔奖(诺贝尔奖未设数学奖)。第五十一页第五十二页，共64页。R．托姆法国数学家，法国科学院院士。突变论的创始人。1958年的菲尔兹奖获得者R．托姆因为创立了拓扑学协边理论而获奖；第五十二页第五十三页，共64页。1962年，瑞典数学家J．W．米尔诺凭借证明微分拓扑中七维球面上存在不同微分结构，否定庞加莱主猜想而受奖第五十三页第五十四页，共64页。

斯梅（Smale），美国数学家，1966年获奖。他对微分拓扑中广义庞加莱猜想有重要建树，证明了四维以上的庞加莱猜想。创立了现代抽象微分动力系统理论。第五十四页第五十五页，共64页。1972年在法国尼斯，前苏联数学家S．P．诺维科夫因微分拓扑学配边理论和叶状