勾股定理全章分类练习题及答案

勾股定理

测试1勾股定理(一)

学习要求

掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条

边长求出第三条边长.

课堂学习检测

一、填空题

1.如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么=小这一定理在

我国被称为.

2.△力比1中，ZC=90°,a、b、c分别是//、/氏NC的对边.

⑴若a=5,8=12,贝!]c=；

(2)若c=41,a=40,则b=；

(3)若N/=30°,a=l,则c=,b=__；

(4)若N4=45°,a—1,贝!|6=,c=.

3.如图是由边长为Im的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从

所走的路程为.

4.等腰直角三角形的斜边为10,则腰长为，斜边上的高为

5.在直角三角形中，一条直角边为11cm,另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周

长为.

二、选择题

6.口△/外中，斜边比'=2,则右+初的值为().

(A)8(B)4(06(D)无法计算

7.如图，△4?。中，四=〃=10,劭是熊边上的高线，DC=2,则劭等于().

(A)4(B)6(C)8(D)2V10

8.如图，RtZX45C中，NC=90°,若4?=15cm,则正方形4?欧和正方形磨国的面积和为

().

(A)150cm2(B)200cm2

(C)225cm"(D)无法计算

三、解答题

9.在RtZX/8；中，ZC^90°,//、NB、NC的对边分别为a、b、c.

⑴若a：6=3：4,c=75cm,求a、b；

⑵若a：c=15：17,6=24,求的面积;

(3)若c—a=4,8=16,求a、c；

⑷若N4=30°,c=24,求c边上的高儿;

(5)若a、b、c为连续整数，求a+6+c.

综合、运用、诊断

一、选择题

10.若直角三角形的三边长分别为2,4,X，则X的值可能有（）.

（A）l个（B）2个

（03个（D）4个

二、填空题

11.如图，直线/经过正方形/腼的顶点昆点/、C到直线，的距离分别是1、2,则正方

形的边长是.

12.在直线上依次摆着7个正方形（如图），已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1,2,

3,水平放置的4个正方形的面积是S,Si,Si,S\,则S+S+S+Si=.

三、解答题

13.如图，RtZX/SC中，NC=90°,ZJ=30°,如是。的平分线，相=20,求比1的

长.

拓展、探究、思考

14.如图，中，ZC=90°.

（1）以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形（如图①），探究S+S与W的关系;

图①

（2）以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形（如图②），探究S+S与5的

关系；

图②

（3）以直角三角形的三边为直径向形外作半圆（如图③），探究S+S与£的关系.

图③

测试2勾股定理（二）

学习要求

掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题.

课堂学习检测

一、填空题

1.若一个直角三角形的两边长分别为12和5,则此三角形的第三边长为____.

2.甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km,乙往南走了3km,此时甲、乙两

人相距km.

3.如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”,

他们仅仅少走了m路，却踩伤了花草.

3题图

4.如图，有两棵树，一棵高8m,另一棵高2m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的树梢飞

到另一棵树的树梢，至少要飞m.

4题图

二、选择题

5.如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则

树折断之前高().

(A)5m(B)7m(C)8m(D)10m

6.如图，从台阶的下端点8到上端点/的直线距离为().

(A)1272(B)l(x/3

(0675(D)8A/5

三、解答题

7.在一棵树的10米高6处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的4处；

另一只爬到树顶〃后直接跃到力处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等,

则这棵树高多少米？

8.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及

水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米？

综合、运用、诊断

一、填空题

9.如图，一电线杆力6的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长/C为—

一米.

10.如图，有一个圆柱体，它的高为20,底面半径为5.如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的

力点，沿圆柱表面爬到与4相对的上底面6点，则蚂蚁爬的最短路线长约为(

取3)

二、解答题：

11.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子

的顶端沿墙面升高了m.

12.如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?

若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元？

拓展、探究、思考

13.如图，两个村庄力、6在河切的同侧，4、6两村到河的距离分别为千米，劭=3

千米，5=3千米.现要在河边"上建造一水厂，向/、6两村送自来水.铺设水管的

工程费用为每千米20000元，请你在切上选择水厂位置0,使铺设水管的费用最省，

并求出铺设水管的总费用仅

测试3勾股定理(三)

学习要求

熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题.

课堂学习检测

一、填空题

1.在中，若N4+N8=90°,4。=5,及7=3,则4?=4?边上的高但

2.在△46(7中,若说AC=2Q,6c=24,则比边上的高g,然边上的高BE=

3.在中，若AC=BC,ZACB=90°,18=10,则AC=,45边上的高CD=

4.在△/a'中，若AB=BC=CA=a,则的面积为.

5.在△48C中，若N4Q?=120°,AC=BC,46边上的高69=3,贝U4C=,AB=

8c边上的高AE=.

二、选择题

6.己知直角三角形的周长为2+J&,斜边为2,则该三角形的面积是().

131

(A)-(B)-(0-(D)l

442

7.若等腰三角形两边长分别为4和6,则底边上的高等于().

(A)V7(B)近或痴(C)472⑴).或#/

三、解答题

8.如图，在Rt△丸K中，NO=90°,D、£分别为6C和然的中点,AD=5,跖=2jT3求

46的长.

9.在数轴上画出表示-JT5及屈的点.

综合、运用、诊断

10.如图，中，ZJ=90°,1420,45=10,延长到〃使切+仍=47+四，求

功的长.

11.如图，将矩形沿功折叠，使点〃与点8重合，已知四=3,AP=9,求跖的长.

12.如图，折叠矩形的一边力〃，使点。落在需边的点尸处，已知/6=8cm,6c=10cm,求

定1的长.

13.已知：如图，中，NC=90°,。为47的中点，E、尸分别在4GBC上,且应LL

DF.求证：A^^BFL=EFi.

拓展、探究、思考

14.如图，已知△力8c中，N46c=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线/”

12,A上，且八，4之间的距离为2,12,4之间的距离为3,求/C的长是多少？

A

B

I,

15.如图，如果以正方形46切的对角线47为边作第二个正方形/郎再以对角线在■为边

作第三个正方形如•掰如此下去，……己知正方形4?切的面积S为1,按上述方法所

作的正方形的面积依次为S,W,…，£5为正整数)，那么第8个正方形的面积w=

,第"个正方形的面积S,=.

测试4勾股定理的逆定理

学习要求

掌握勾股定理的逆定理及其应用.理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及

它们之间的关系.

课堂学习检测

一、填空题

1.如果三角形的三边长a、Ac满足22+6=自那么这个三角形是—三角形，我们把

这个定理叫做勾股定理的.

2.在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第

二个命题的题设，那么这两个命题叫做；如果把其中一个命题叫做原命题,

那么另一个命题叫做它的.

3.分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10,(2)5、12、13,(3)8、15、17,

(4)4、5、6,其中能构成直角三角形的有.(填序号)

4.在中，a、b、c分别是N/l、ZB、NC的对边，

①若才+4>/,则/c为一___；

②若，+炉=/,则/c为；

③若a'+4<c”,则Zc为.

5.若△极?中，(b-a)(6+a)=c,则N5=；

6.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,则网格上的△/!勿是____三角形.

7.若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a—2、a、a+2为边的

三角形的面积为.

8.的两边a,6分别为5,12,另一边c为奇数，且a+6+c是3的倍数，则c应为

,此三角形为.

二、选择题

9.下列线段不能组成直角三角形的是().

(A)a=6,6=8,c=10(B)a=1,b=后,c=百

(C)a=—,b=\,c=—(D)a=2,Z?=3,c=V6

44

10.下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是().

(A)1：1：2(B)1：3：4

(09：25：26(D)25：144：169

11.已知三角形的三边长为"、〃+1、加其中尤=2"+1),则此三角形().

(A)一定是等边三角形(B)一定是等腰三角形

(0一定是直角三角形(D)形状无法确定

综合、运用、诊断

一、解答题

12.如图，在中，〃为8C边上的一点，已知/8=13,/〃=12,AC=15,BD=5,求5

的长.

13.已知I：如图，四边形力谶中，ABVBC,45=1,Bg2,CD=2,4?=3,求四边形4%力

的面积.

14.已知：如图，在正方形力及力中，尸为小的中点，£为Q7的四等分点且g’CB,求

证：AFLFE.

拓展、探究、思考

16.已知中，a2+A2+c=10a+24/7+26c—338,试判定△力笈的形状，并说明你的理

由.

17.已知a、b、c是△?!a'的三边，且才1—炉02=］一凡试判断三角形的形状.

18.观察下列各式：32+42=52,82+62=102,152+82=172,242+102=26\你有没有

发现其中的规律?请用含〃的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子.

参考答案

第十八章勾股定理

测试1勾股定理(一)

1.a+b\勾股定理.2.(1)13；(2)9；(3)2,；(4)1,41.

3.275.4.5A/2,5.5.132cm.6.A.7.B.8.C.

9.(l)a=45cm,b=60cm；(2)540；(3)5=30,c=34；

(4)6V3；(5)12.

10.B.11.75.12.4.13.10x/3.

14.⑴S+S=W；(2)S+$=S；(3)S+£=&.

测试2勾股定理(二)

1.13或JTT3.2.5.3.2.4.10.

3

5.C.6.A.7.15米.8.一米.

2

9.10.25.11.2V3-2V2.12.7米，420元.

13.10万元.提示：作力点关于0的对称点片,连结4B,与切交点为0.

测试3勾股定理(三)

____1cn

1.J34,—J34;2.16,19.2.3.5A/2,5.4.—i-.

344

5.6,673,373.6.C.7.D

8.2V13.提示：设BD=DC=m,CE=EA=k,贝1<+4zz?2=40,4A2+®2=25.AB=

74m2+4k2=2713.

9.VTb=Ji2+32,7^=)22+32,图略.

10.初=5.提示：设眼=x,则缪=30一工在Rt△力G9中根据勾股定理列出(30—X)2=(X

+10)2+202,解得X=5.

11.BE=5.提示：设BE=x,则应=8£=x,AE=AD-DE=9—x.在RtA4跖中，A^+A^

=函，，32+(9—X)2=X2.解得X=5.

12.员'=3cm.提示：设&7=x,则〃£'=/=8一人力尸=4=10,BF=不AF?-A4=6,

CF=4.在RtA恸中(8—02=f+42,解得入=3.

13.提示：延长必到必使〃"=加；连结4肌EM.

14.提示：过A,C分别作A的垂线，垂足分别为M,N,则易得△力监0△曲&则

Afi=V34,：.AC=2y/V7.

15.128,2"-'.

测试4勾股定理的逆定理

1.直角，逆定理.2.互逆命题，逆命题.3.(1)(2)(3).

4.①锐角；②直角；③钝角.5.900.6.直角.

7.24.提示：7ca<9,，a=8.8.13,直角三角形.提示：7<c<17.

9.D.10.C.11.C.

12.CD=9.13.1+75.

14.提示：连结]反设正方形的边长为4a,计算得出4凡EF,4?的长，由力行+度=力片

得结论.

15.南偏东30°.

16.直角三角形.提示：原式变为(a—5产+(6—12)?+(。-13尸=0.

17.等腰三角形或直角三角形.提示：原式可变形为(/一炉)心2+〃—。2)=0.

18.352+122=37Z,[U+l)z-l]2+[2U+l)]2=[U+1)2+1]2.且〃为整数)

第十八章勾股定理全章测试

一、填空题

1.若一个三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角形中最短边上的高为.

2.若等边三角形的边长为2,则它的面积为.

3.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑

的四个小正方形的面积的和是10cm2,则其中最大的正方形的边长为cm.

3题图

4.如图，B,。是河岸边两点，/是对岸岸边一点，测得//优=45°,ZJG?=45°,BC=

60米，则点4到岸边比■的距离是一_米.

4题图

5.已知：如图，中，ZC=90°,点。为回的三条角平分线的交点，ODVBC,OE

LAC,OFLAB,悬D,E,尸分别是垂足，且加=8cm,G4=6cm,则点。到三边4?,AC

和6c的距离分别等于cm.

5题图

6.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边48=6,6c=8,将直角边48折叠使它落

在斜边4c上，折痕为则祈.

BD

6题图

7.△力比1中，AB=AC=\3,,若48边上的高必=5,则%=.

8.如图，48=5,4c=3,外边上的中线4/2,则比•的面积为

B

8题图

二、选择题

9.下列三角形中，是直角三角形的是(

(A)三角形的三边满足关系a+b=c(B)三角形的三边比为1：2：3

(C)三角形的一边等于另一边的一半(D)三角形的三边为9,40,41

10.某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，己

知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要().

10题图

(A)450a元(B)225a元

(C)150a元(D)300a元

11.如图，四边形/及笫中，AB=BC,//a%=90°,跖〃于点£,且四边形4腼

的面积为8,则跖=().

(A)2(B)3

(C)2V2(D)2V3

12.如图，RtZUSC中，NC=90°,5于点。，4?=13,CD=6,则4C+6c等于().

C

ADB

(A)5⑻5VB

(C)13>/13(D)975

三、解答题

13.已知：如图，△49。中，/。8=120°,48=4,/C=2,ADVBC,〃是垂足，求4〃的长.

14.如图，已知一块四边形草地ABCD,其中/4=45°,N8=N，=90°,45=20m,CD=

10m,求这块草地的面积.

A

15.△48C中,四=4?=4,点尸在8c边上运动，猜想炉+阳•PC的值是否随点P位置的

变化而变化，并证明你的猜想.

16.己知：△ABC中,47=15,AC=13,比1边上的高49=12,求.BC.

17.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用--根细线从点力开始经

过四个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个

侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要多长？

18.如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长都

为3,另一种纸片的两条直角边长分别为1和3.图1、图2、图3是三张形状、大小完

全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1.

图1图2