高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题

高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习

题

第一章解三角形

1、正弦定理：

在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外

接圆的半径，则有：abc2R.sinsinsinC

2、正弦定理的变形公式：

①a2Rsin,b2Rsin,c2RsinC；abc,sin，sinC；

2R2R2R

③a:b:csin:sin:sinC；

abcabc④.sinsinsinCsinsinsinC②sin注

意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，

求其余的量。

2、已知两角和一边，求其余的量。

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、

两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求

Bo具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所

得轨迹以AD

A

D

当无交点则B无解、

当有一个交点则B有一解、

当有两个交点则B有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：

当a<bsinA,则B无解

当bsinA〈aWb,则B有两解当a=bsinA或a>b时,B有一解

注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。

3、三角形面积公式：

111SCbcsinabsinCacsin-222

4、余弦定理：

在C中，有abc2bccos,bac2accos,222222

c2a2b22abcosC.

5、余弦定理的推论：

b2c2a2

cos,2bc

a2c2b2

cos，2ac

a2b2c2

cosC.2ab

（余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已

知三边求角）1

6、如何判断三角形的形状:

设a、b、c是C的角、、C的对边，贝！J：

①若abc,则C90；

②若abc,则C90；

③若abc,则C90.

7、正余弦定理的综合应用：

如图所示：隔河看两目标A、B,

C、D两点，

并测得NACB=75,NBCD=45,ZADC=30,

0NADB=45（A、B、C、D在同一平面内），求两目标A、B

5

附：三角形的五个“心”；

重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.

内心：三角形三内角的平分线相交于一点.

垂心：三角形三边上的高相交于一点.

练习题

一、选择题

1、在AABC中，a=10,B=60°,C=45°,则c等于(B)

A.10B.1000022222222231C.1D.103

2、三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程5x27x60

的根，则三角形的另一边长为

A.52B.C.16D.4

3、在AABC中，若(ac)(ac)b(bc),贝A(C)

A90B60C120D1500000

4、在AABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是

(D)

A.b=10,A=45°,B=70°B.a=60,c=48,B=100°

C.a=7,b=5,A=80°D.a=14,b=16,A=45°

5、已知AABC中，a：b：c=l：：2,则A：B：C等于(A)

A.1：2：3

C.1：3：2B.2：3：1D.3：1：2

6、若aABC的周长等于20,面积是10,A=60°,则BC边的长是

(C)

A.5B.6

二、填空题(每题5分，共25分)C.7D.8

2

7、在ABC中，已知sinA:sinB:sinC6:5:4,则cosA

abc8、在AABC中，A=60°,b=l,面积为，则=

sinAsinBsinC

9、在AABC中，已知AB=4,AC=7,BC边的中线AD7,那么2

7，且C60,又AABC的

210、在AABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c,1:c

ab三.解答题（2小题，共40分）

13、在ABC中，sin（CA）1,sinB=l.（I）求sinA的值；(H)设

,求ABC的面积.3

知识点巩固练习（一）

一、选择题

1.在aABC中，若C90,a6,B30,则cb等于（）

A.1B.1C.2D.2

2.若A为AABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）

A.sinAB.cosAC.tanAD.001tanA

3.在AABC中，角A,B均为锐角，且cosAsinB,

则AABC的形状是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

04.等腰三角形一腰上的高是3,这条高与底边的夹角为60,

则底边长为（）A.2B.3c.3D.22

5.在AABC中，若b2asinB,则A等于（）

A.30或60B.45或60C.120或60D.30或150

6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）

300000000

A.90B.120C.135D.150

二、填空题

1.在RtZiABC中，C90,则sinAsinB的最大值是

2.在AABC中，若abbec,则A

3.在AABC中，若b2,B30,C135,则a

4.在AABC中，若sinA：sinB：sinC7：8：13,贝U

C

三、解答题

1.在aABC中，若acosAbcosBccosC,则4ABC的形状是什么？

2.在aABC中，求证：0022200000abcosBcosAc()baba

3.在锐角△ABC中，求证：sinAsinBsinCcosAcosBcosCo

4

知识点巩固练习（二）

一、选择题

1.在AABC中，A:B:C1:2:3,则a:b:c等于（）

A.1:2:3B.3:2:1C

出

.2D

6

.2

2.在AABC中，若角B为钝角，则sinBsinA的值()

A.大于零B.小于零C.等于零D.不能确定

3.在4ABC中，若A2B,则a等于()

A.2bsinAB.2bcosAC.2bsinBD.2bcosB

4.在AABC中，若IgsinAIgcosBIgsinClg2,则AABC的形状是

()

A.直角三角形B.等边三角形C.不能确定D.等腰三角形

5.在aABC中，若(abc)(bca)3bc,则A()

A.90B.60C.135D.150

6.在AABC中，若a7,b8,cosC000013,则最大角的余弦是（）

14

1111A.B.C.D.5678

0二、填空题1.若在AABC

中，A60,b1,SABC则abc=。sinAsinBsinC

2.若A,B是锐角三角形的两内角，则tanAtanB1（填＞或。。

3.在aABC中，若sinA2cosBcosC,则tanBtanC。

4.在aABC中，若a9,b10,c12,则AABC的形状是。

5.在4ABC中，若a

三、解答题3,b2,c62,则Ao2

1.在4ABC

中，A120,cb,aSABCb,c。

50

2.在锐角AABC中，求证：tanAtanBtanC1。

3.在△ABC中，求证：sinAsinBsinC4cos

4.在aABC中，若AB120,则求证:

5.在△ABC中，若acos

62ABCcoscoSo2220ab1。bcacCA3b,则求证：ac2b

ccos2222

知识点巩固练习（三）

一、选择题

1.A为△ABC的内角，则sinAcosA的取值范围是（）

A.（2,2）B.（2,2）C.（1,2]D.[2,2]

ab等于（）c

ABABABABA.2cosB.2cosC.2sinD.2sin22222.在4ABC

中，若C90,则三边的比0

3.在AABC中，若a7,b3,c8,则其面积等于（）

A.12B.21C.28D.62

04.在AABC中，C90,0A45,则下列各式中正确的是（）

00

A.sinAcosAB.sinBcosAC.sinAcosBD.sinBcosB

5.在AABC中，若（ac）（ac）b（bc）,贝ijA（）

A.90B.60C.120D.1500000

tanAa2

6.在aABC中，若，则AABC的形状是()tanBb2

A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形

二、填空题

1.在aABC中，若sinAsinB,则A一定大于B,对吗？填

(对或错)

2.在aABC中，若cosAcosBcosC1,则4ABC的形状是

O

3.在AABC中，NC是钝角，设

xsinC,ysinAsinB,zcosAcosB,则x,y,z的大小关系是

4.在AABC中，若ac2b,则

cosAcosCcosAcosC2221sinAsinC。3

5.在aABC中，若21gtanBIgtanAIgtanC,则B的取值范围是

6.在aABC中，若bac,则cos(AC)cosBcos2B的值是

o2

三、解答题

7

22221.在AABC中，若(ab)sin(AB)(ab)sin(AB),请判断

三角形的形状。

2.如果aABC内接于半径为R的圆，且

2R(sinAsinC)(2ab)sinB,

求AABC的面积的最大值。

3.已知4ABC的三边abc且ac2b,AC

222,求a:b:c

34.在aABC中，若(abc)(abc)

3ac,且tanAtanC

为A,B,C的大小与边a,b,c的长，AB边上的高

答案

知识点巩固练习（一）

一、选择题

1.Cbtan300,batan300c2bcba

2.A0A,sinA03.CcosAsin(

4.D作出图形5.D

b2asinB,sinB2sinAsinB,sinA2A)sinB,2A,B都是锐角,

则2AB,AB2,C21,A300或15002

52827216.B设中间角为，则

cos,600所求2582

二、填空题1.IllsinAsinBsinAcosAsin2A222

0b2c2a212.120cosA,A12002bc2

3.6

瓜

2A15,

00abbsinA2,a4sinA4sinl504sinAsinBsinB44.120

a：b：csinA：sinB：sinC7：8：13,

a2b2c21,C1200令a7k,b8k,c13kcosC2ab2

三、解答题

1.解：acosAbcosBccosC,sinAcosAsinBcosBsinCcosC

sin2Asin2Bsin2C,2sin(AB)cos(AB)2sinCcosC

cos(AB)cos(AB),2cosAcosB0

cosA0或cosB0,得A所以△ABC是直角三角形。2或B2

a2c2b2b2c2a2

2.证明：将cosB,cosA代入右边2ac2bc

a2c2b2b2c2a22a22b2

)得右边c(2abc2abc2ab

9

a2b2ab左边，abba

abcosBcosAc()baba

3.证明：•.'△ABC是锐角三角形，.'ABAsinAsin(2,即

2A2B0B),EPsinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA

2

/.sinAsinBsinCcosAcosBcosC

知识点巩固练习(二)

一、选择题

/

l.CA

6,B

3,C

2,a:b:csinA:sinB:sinC12::1:2222

2.AAB,AB,且A,B都是锐角，

sinAsin(B)sinB

3.DsinAsin2B2sinBcosB,a2bcosB4.D

IgsinAsinAlg2,2,sinA2cosBsinCcosBsinCcosBsinC

sin(BC)2cosBsinC,sinBcosCcosBsinC0,

sin(BC)0,BC,等腰三角形

5.B(abc)(bca)3bc,(bc)a3bc,22

b2c2a21,A600bca3bc,cosA2bc2222

6.Ccab2abcosC9,c3,B为最大角，cosB

二、填空题1.222172

R

V13

11c4,a213,a

近

2回

SABCbcsinAc322abcasinAsinBsinCsinA10

sin(B)2.AB,AB,即tanAtan(B)

222cos(B)2

cosBll,tanA,tanAtanB1sinBtanBtanB

sinBsinC3.2tanBtanCcosBcosC

sinBcosCcosBsinCsin(BC)2sinAlcosBcosCsinAsinA2

4.锐角三角形C为最大角，cosC0,C为锐角

3bcal05.60

8+4x/3

2&叵叵

VTxV?x(/+1)

cosA2bc22222三、解答题

1.

解：SABC

221bcsinAbe4,22abc2bccosA,bc5,而cb

所以bl,c4

2.证明：,:△ABC是锐角三角形，.'.ABAsinAsin(2,即

2A2B0

2B),即sinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA

sinAsinBsinCcosAcosBcosC,

tanAtanBtanC1sinAsinBsinC1cosAcosBcosC

ABABcossin(AB)22

ABABABAB2sincos2sincos2222

ABABAB2sin(coscos)222

CAB2cos2coscos222

ABC4coscoscos222

ABCAsinAsinBsinC4coscoscos2223.证明：

VsinAsinBsinC2sin

11

a2acb2bcab4.证明：要证L1,只要证

2abbeaccbcac

即abcab

而二飞B120,AC6002220

a2b2c2

2cosC,ab2c22abcos600ab2ab

二原式成立。

CA3bccos2222

1cosClcosA3sinBsinAsinC222

即sinAsinAcosCsinCsinCcosA3sinB5.证明:acos2

/.sinAsinCsin(AC)3sinB

即sinAsinC2sinB,.".ac2b

知识点巩固练习(三)

一、选择题

忘

1.CsinAcosAA),

后

4

而0A

2.B4A45sin(A)1

424absinAsinBsinAsinB

csinC

ABABAB2sin

耳

cos222

1103.DcosA,A60,SABCbcsinA22

4.DAB90则sinAcosB,sinBcosA,0A45,sinAcosA,

45B90,sinBcosB5.Cacbbe,bcabe,cosA,A120

222222000001

20

sinAcosBsin2AcosBsinA,,sinAcosAsinBeosB6.B

2cosAsinBsinBcosAsinB

sin2Asin2B,2A2B或2A2B

二、填空题

12

1.对sinAsinB,则

2.直角三角形ababAB

2R2R1(1cos2A1cos2B)cos2(AB)1,2

1(cos2Acos2B)cos2(AB)0,2

cos(AB)cos(AB)cos2(AB)0

cosAcosBcosC0

3.xyzAB

2,A

2B,sinAcosB,sinBcosA,yz

cab,sinCsinAsinB,xy,xyz

ACACACACcos4sincos2222

ACACACACcos2cos,coscos3sinsin222222

1C2A则sinAsinC4sinsin2322

IcosAcosCcosAcosCsinAsinC3

AC(1cosA)(1cosC)14sin2sin222

ACAC2sin22sin24sin2sin2112222

tanAtanC25.[,)tanBtanAtanC,tanBtan(AC)

32tanAtanC1

tanAtanCtanBtan(AC)tan2B

\ltanAtanC

14.1sinAsinC2sinB,2sin

tan3BtanBtanAtanC

2tanB

tan3B3tanB,tanB0tanBB

2236.1bac,sinBsinAsinC,cos(AC)cosBcos2B

cosAcosCsinAsinCcosB12sin2B

cosAcosCsinAsinCcosB12sinAsinC

cosAcosCsinAsinCcosB1

cos(AC)cosB11

三、解答题

a2b2sin(AB)a2sinAcosBsin2A,21.解：2

22absin(AB)bcosAsinBsinB

13

cosBsinA,sin2Asin2B,2A2B或2A2BcosAsinB

等腰或直角三角形

解：2RsinAsinA2RsinCsinC

b)sinB,

asinAcsinCb)sinB,a2c2

叵

b2,

a2b2c2abc,cosCC

450

2ab222

c2R,c2RsinC,a2b22R2

2—

,sinC

2

2Rab2ab,ab

2->/2

222

12

SabsinCabSmax244另法：S212R

点

V2

21absinCab2RsinA

V2

2RsinB244

2RsinA2RsinB

£

2sinAsinB4

12[cos(AB)cos(A

◎

在

y/2R2

在

B)]2

12[cos(AB)2(1

V2

Smax12R此时AB取得等号2

3.解：sinAsinC2sinB,2sinACACACACcos

V2

V14

4sincos2222

sinBlACBBBcos,cos,sinB2sincos222424224AC

2,ACB,A3BB,C

4242

sinAsin(3331B)sincosBcossinB4444

14

sinCsin(B)sincosBcossinB44414

a:b:csinA:sinB:sinC(77):7:(77)

4.解：(abc)(abc)3ac,a2c2b2ac,cosB1,B600

G

3+6

2tan(AC)tanAtanC,

6

1tanAtanCtanAtanC2

4

tanAtanC300tanA2tanA1A75A45或

得，即OOtanCItanC2C45C75

当A75,C

4

V2

而

45时.，b00cl),a8sinA

cl),a8sinA当A45,C

G

瓜

75时,b

00000.•.当A75,B60,C

72

而

45时，a8,bc1),

当A45,B60,C

瓜

75时，a8,bc1)。

解三角形单元测试题

一、选择题：

1、在aABC中，a=3,b=7,c=2,那么B等于()

A.30°B.45°C.60°D.120°

2、在aABC中,a=10,B=60°,C=45°，则c等于()

A.10B.100001C.3ID.10

)3、在aABC中，a=2,b=22,B=45°,则A等于(

A.30°B.60°C.30°或120°D.30°或150°

4、在AABC中，a=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情况是

()

A.无解B.一解C.二解D.不能确定

5、在aABC中，已知abcbe,则角A为()

A.2223B.6C.23D.2或33

6

15

6、在AABC中，若acosAbcosB,则4ABC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三

角形7、已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的范围是（）

A.8,10

B.

C.

,10

D.

,8

8、在AABC中，已知2sinAcosBsinC,那么AABC一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形9、

△ABC中，已知ax.b2,B60°,如果AABC两组解，则x的取值范围

（）

4

3

10>在ZXABC中,周长为7.5cm,且sinA：sinB：sinC=4：5：6,下列

结论：①a:b:c4:5:6

A.x2

B.x2

C.2x

D.2x

②a:b:c2:5:6③a2cm,b2.5cm,c3cm（4）A:B:C4:5:6其中成

立的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个H、在AABC中，AB

4

33

3,AC1,ZA=30°,则aABC面积为（）

4

C.

A.

2

B.

或32

D.

3或42

12、已知4ABC的面积为

A.30°

3

，且b2,c,则NA等于（）2

D.60°或120°

B.30°或150°C.60°

13、已知AABC的三边长a3,b5,c6,则4ABC的面积为（）

A.

B.2

C.

D.2

A

14、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空

2015030米地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，

则

购买这种草皮至少要（）A.450a元B.225a元C.150a元

D.300a元C15、甲船在岛B的正南方A处，AB=10千米，甲船以每小

时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度

向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间

是（）

A.

150

分钟7

B.

15

分钟7

C.21.5分钟D.2.15分钟

16、飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为

30°,向前飞行10000

米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°,这时飞机与地面目标

的水平距离为（）

A.5000米

B.50002米C.4000米

D.40002米

17、在aABC中，asinl0°,bsin50°,ZC=70°,那么aABC的

面积为（）

A.

1

64

B.

132

C.

116

D.

18

18、若AABC的周长等于20,面积是10,A=60°,则BC边的长是

()A.5B.6C.7D.8

19、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x,则x的取值范围是()

A.1x5B.xC.0x20、在aABC中，若

D.x5

cosAcosBsinC

,则AABC是()

abc

B.等腰直角三角形

D.等边三角形

A.有一内角为30°的直角三角形C.有一内角为30°的等腰三角形

二、填空题

21、在AABC中，若NA:NB:NC=1:2:3,则a:b:c22、在AABC中，

a33,c2,B150°,贝！Jb=

23、在AABC中，A=60°,B=45°,ab12,则a=；b=24、已

知aABC中，a181,b209,A121°,则此三角形解的情况是25、已知

三角形两边长分别为1和，第三边上的中线长为1,则三角形的外接圆半径

为.

26、在AABC中，bc:ca:ab4:5:6,则△ABC的最

大内角的度数是三、解答题

27、在AABC中，已知AB102,A=45°,在BC边的长分别为20,

下，求相应角C。

28、在AABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程x2x20的两个根,

且2cosABlo

2

20

3,5的情况3

求：（D角C的度数；（2）AB的长度。

29、在aABC中，证明：

cos2Acos2Bl1

O

a2b2a2b2

30、在aABC中，ab10,cosC是方程2x3x20的一个根，求

△ABC周长的最小值。

解三角形单元测试答案

一、选择题

1-5.CBCBC6-10.DBBCC11-15.BDBDA16-20.ACCBB二、填空题

21、1:3:222、723、36126,1262424^无解25、126、120°

三、解答题

2

ABsinAlO

BCBC1

(1)当BC=20时，sinC=；BCABACC30°

2

27、解：由正弦定理得sinC(2)当BC=

320

3时，sinC=；

23

ABsin45BCABC有两解C60或120°

(3)当BC=5时，sinC=2>l；C不存在