永州市2023届高三三模数学试题含答案

试卷第=page44页，共=sectionpages55页试卷第=page44页，共=sectionpages44页永州市2023年高考第三次适应性考试试卷数学注意事项：1.本试卷共150分，考试时量120分钟.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.3.考试结束后，只交答题卡.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z满足，则复数的虚部为（

）A． B． C． D．2．设集合，，则的元素个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．已知，，则（

）A． B． C．0 D．14．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心О，圆О的半径为1，点P在圆О上运动，则的最小值为（

）A．-1 B．-2 C．1 D．25．在二项式的展开式中，把所有的项进行排列，有理项都互不相邻，则不同的排列方案为（

）A．种 B．种 C．种 D．种6．若函数和在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的可能取值是（

）A． B． C． D．7．已知正项数列满足，，其前200项和为，则（

）A． B．C． D．8．已知函数，对于定义域内的任意恒有，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知，下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点，点G为线段MN上的动点，则（

）A．线段MN的长度为1 B．周长的最小值为C．的余弦值的取值范围为 D．直线FG与直线CD互为异面直线11．已知抛物线：的焦点为F，直线与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，MN垂直准线于N，则下列结论正确的是（

）A．若，则直线的倾斜角为B．点M到准线距离为C．若直线经过焦点F且，则D．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为12．若，时，函数（是实常数）有奇数个零点，记为，且，则（

）A．的最小正周期是B．的对称轴方程为C．D．对任意的，使得三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知等比数列，其前项和为，若，，则________.14．现有四家工厂生产同一产品，已知它们生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%，20%，30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，现从四家工厂一天生产的所有产品中任取一件，则抽到不合格品的概率是________.15．已知双曲线：，圆：与x轴交于两点，是圆О与双曲线在x轴上方的两个交点，点在y轴的同侧，且交于点C.若，则双曲线的离心率为_________.16．在棱长为的正方体中，动点在平面上运动，且，三棱锥外接球球面上任意一点到点到的距离记为，当平面与平面夹角的正切值为时，则的最大值为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．记正项数列的前项积为，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)记，求数列的前项和.18．在中，的对边分别为且.(1)求C的值；(2)若边上的点M满足，，，求的周长.19．已知底面为菱形的平行六面体中，，四边形为正方形，交于点M.(1)证明：；(2)若，求直线与平面所成角的余弦值.20．为了精准地找到目标人群，更好地销售新能源汽车，某4S店对近期购车的男性与女性各100位进行问卷调查，并作为样本进行统计分析，得到如下列联表：购买新能源汽车（人数）购买传统燃油车（人数）男性女性(1)当时，将样本中购买传统燃油车的购车者按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调查购买传统燃油车的原因，记这3人中女性的人数为X，求X的分布列与数学期望；(2)定义，其中为列联表中第i行第j列的实际数据，为列联表中第i行与第j列的总频率之积再乘以列联表的总频数得到的理论频数.基于小概率值的检验规则：首先提出零假设（变量X，Y相互独立〉，然后计算的值，当时，我们推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断不成立，可以认为X和Y独立.根据的计算公式，求解下面问题：（i）当时，依据小概率值的独立性检验，请分析性别与是否喜爱购买新能源汽车有关；（ⅱ）当时，依据小概率值的独立性检验，若认为性别与是否喜爱购买新能源汽车有关，则至少有多少名男性喜爱购买新能源汽车?附：0.10.0250.0052.7065.0247.87921．已知椭圆：，其右焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，与轴交于点，，.(1)求证：为定值.(2)若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求面积的最小值.22．已知函数，.(1)若是函数的极小值点，讨论在区间上的零点个数.(2)英国数学家泰勒发现了如下公式：这个公式被编入计算工具，计算足够多的项时就可以确保显示值的精确性.现已知，利用上述知识，试求的值.答案第=page2424页，共=sectionpages2424页答案第=page1616页，共=sectionpages1616页答案部分1．B设，则，因为，则，所以，，解得，因此，复数的虚部为.故选：B.2．C由于，为点集，故求的元素个数即为求的解的个数，解方程，可得或或，故的元素个数是3个，故选：C3．B因为，可得，因为，可得，所以.故选：B.4．D如图以为坐标原点，所在直线为轴，的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设点，由题意知，，，则，，所以，当，即时取最小值，故选：D.5．A解：因为二项展开式的通项为，又因为，所以当或时，为有理项，所以有理项共有2项，其余5项为无理项，先排5项为无理项，共有种排法，再排2项有理项，共有种排法，所以有理项互不相邻的排法总数为：种.故选：A.6．B因为，则，由题意得与在区间上同增或同减.若两函数同增，则在区间上恒成立，即，所以.若两函数同减，则在区间上恒成立，即，无解，综上，实数的取值范围是，对照选项中的a值，所以只有B选项符合题意.故选：B.7．C令，则可得，故，将两边倒数得，则，由正项数列，所以，可知为递减数列.

所以.可得，所以，所以，所以，根据等比数列求和公式得，综上，.故选：C8．A不等式可化为，因为，将不等式两边同时除以得，令，原不等式等价于：，设，，对求导可得，则函数单调递减且下凸，要使恒成立，则直线与曲线相切时取最值，如图，当直线与曲线相切时，设切点为，则，且，整理可得，，解得：，此时，故选：A.9．BD对于A项，，因为，所以，所以，所以，即：，故A项错误；对于B项，，因为，所以，，所以，即：，故B项正确；对于C项，，因为，所以，，，所以，即：，故C项错误；对于D项，因为，又因为，所以，，所以，即：，故D项正确.故选：BD10．AB因为四面体ABCD的所有棱长均为，所以四面体ABCD为正四面体，将四面体ABCD放置在正方体中，则正方体的棱长为，由，M，N分别为棱AD，BC的中点，得是正方体两个对面的中心，则，故A正确；对于D，当为的中点，为的中点时，设为的中点，由正方体的结构特征可知三点共线，此时直线与直线交于点，故D错误；对于B，将等边和等边沿展开成平面图形，如图所示，则，当且仅当三点共线，此时，所以的最小值为，即周长的最小值为，故B正确；对于C，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，设，则，则，令，则，则，当，即时，，当，即时，，由，得，则，所以，所以，综上所述，即，故C错误.故选：AB.11．ACD对于A选项，因为，所以三点共线，即直线经过抛物线焦点.当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，故设直线，与联立得：，故，因为，所以，因为点A在第一象限，所以，故，即，，解得：故直线的斜率为，设直线l的倾斜角为，则，解得：，A正确；对于B选项，当直线不经过焦点时，设，，由三角形三边关系可知：，由抛物线定义可知：，即，B不正确；对于C选项，由题意得：，准线方程为，当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，故设直线，与联立得：，故，则，所以，解得：，C正确；对于D选项，设，过点作准线于点，过点作准线于点P，因为以AB为直径的圆M经过焦点F，所以，则，由抛物线定义可知：，由基本不等式得：，则，当且仅当时，等号成立，故，即，D正确；故答案选：ACD12．BC由题设，所以，故，对于选项A，由的最小正周期为，知的最小正周期为，同理的最小正周期为，则的最小正周期为，故A不正确；对于选项B，对于，令，则对称轴方程为且，故选项B正确；对于选项C，由可转化为与交点横坐标，而上图象如下：函数有奇数个零点，由图知：，此时共有9个零点，、、、、、、、、，，，，故选项C正确.对于选项D，对任意有，，且满足且，而的图象如下：所以，，即不成立，故选项D错误；故选：BC.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．13．4或16设等比数列的首项为，公比为，由题意可知，，解得：或，所以或故答案为：4或1614．因为生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%，20%，30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，所以抽到不合格品的概率为：.故答案为：.15．##由题意可知，故不妨设，即为双曲线的焦点，，因为可得，即，故M点为的中点，根据双曲线的对称性可知N为的中点，又因为，故，同理，即为正三角形，故，由点M在双曲线左支上，故，则，故答案为：16．设，连接，，且，在正方体中，，，平面，且平面，所以平面，因为平面，所以，同理，，所以平面，设正方体的棱长为，则可知为棱长为的正四面体，所以为等边三角形的中心，由题可得，得，因为，所以，所以，因为，所以，因为平面，即平面，且，又与平面所成角的正弦为，所以与平面所成角为，则，可求得，即在以为圆心，半径的圆上，且圆在平面内，由平面，又平面，所以平面平面，且两个平面的交线为，把两个平面抽象出来，如图：作于点，过点作交于点，连接，因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，平面，所以，又，与为平面中两相交直线，故平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，即为角，设，当与点不重合时，在中，可得，若与点重合时，即当时，可求得，也符合上式，故，因为，，所以，所以，所以，所以解得，，再取的中点，因为三棱锥外接球即是正方体外接球，则点为外接球球心，连接，在中，，，所以，所以的最大值为.故答案为：17．（1）证明：由题意得，当时，可得，可得，因为，所以，即，即，当时，可得，所以，解得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．（2）解：由（1）可得，所以，所以.18．（1）由正弦定理得：,在三角形中,故，即，因为，所以，即，而，，，；（2）因为，，，由余弦定理得则①，又，由于，故，则②，①×7=②即，即，亦即，则或，当时，代入①得，，周长；当时，代入①得，，周长.19．（1）连接交于点O，连接OM四边形为菱形，为中点，四边形为正方形，，，平面，平面

平面（2）以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，得，，，由（1）知，平面平面，，是等边三角形点M作MH垂直OC于点H，在中，，，可得CM边上的高为，由等面积法可得OC边上的高，由勾股定理可得，故，，,,,设平面的法向量为，则，即，令，，所以平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，，直线与平面所成角的余弦值20．（1）当m=0时，用分层抽样的方法抽取购买传统燃油车的6人中，男性有2人，女性有4人.由题意可知，X的可能取值为1，2，3.X的分布列如下表X123.（2）（i）零假设为：性别与是否购买新能源汽车独立，即性别与是否购买新能源汽车无关联.当m=0时，，，∴根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与是否购买新能源汽车有关联，此推断犯错误的概率不超过0.005.（ⅱ）由题意可知，整理得，，所以的最大值为4，又，至少有76名男性购买新能源汽车.21．（1）证明：如图所示，设，，，因为椭圆方程：，所以，由，得，，又点在椭圆上，故整理得由，同理可得由于，不重合，即，因此，是方程的两个根，所以为定值.（2）解：直线的方程为，即，将代入，得，于是，，从而，若点不在椭圆的内部，则，即，所以，当时，有最小值为，故面积的最小值为.22．（1）由题意得：，因为为函数的极值点，所以