新教材适用2023-2024学年高中数学第6章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理正弦定理第1课时余弦定理课件新人教A版必修第二册

第六章

平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基素养目标•定方向素养目标•定方向1．掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法．2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，体会逻辑推理及数学运算素养.必备知识•探新知

余弦定理

知识点

1文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和_______这两边与它们的夹角的余弦的积的_____倍符号语言在△ABC中，a2＝______________________，b2＝______________________，c2＝______________________推论

在△ABC中，cosA＝____________，cosB＝____________，

cosC＝____________减去两b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC[提醒]

(1)利用余弦定理可以解两类有关三角形的问题①已知两边及其夹角，解三角形；②已知三边，解三角形．(2)余弦定理和勾股定理的关系在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．练一练：在△ABC中，符合余弦定理的是(

)A．c2＝a2＋b2－2abcosCB．c2＝a2－b2－2bccosAC．b2＝a2－c2－2bccosA[解析]

由余弦定理及其推论知只有A正确．故选A．A解三角形

知识点

2一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的_______.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做___________.元素解三角形想一想：已知三角形内角的余弦值求角时，是否存在多解的情况？提示：在已知三角形内角的余弦值求角时，由于函数y＝cosx在(0，π)上单调递减，所以角的余弦值与角一一对应，故不存在多解的情况．D150°关键能力•攻重难[分析]

(1)由余弦定理可直接求第三边；(2)先由余弦定理建立方程，从中解出a的长．题|型|探|究题型一已知两边及一角解三角形典例1604或5[归纳提升]

已知两边及一角解三角形的两种情况(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．对点练习❶B整理得AC2＋3·AC－40＝0，解得AC＝5或AC＝－8(不合题意，舍去)，所以AC＝5.题型二已知三边解三角形(2)在△ABC中，a2－(b－c)2＝bc，则A＝(

)A．30° B．60°C．120° D．150°典例2B[归纳提升]

已知三角形三边求角，可先用余弦定理求一个角，继续用余弦定理求另一个角，进而求出第三个角．

(1)在△ABC中，AB＝3，BC＝5，AC＝7，则角B的余弦值是________.(2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于(

)A．90° B．60°C．120° D．150°对点练习❷B[解析]

(1)在△ABC中，AB＝3，BC＝5，AC＝7，(2)因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，所以b2＋c2－a2＝bc，因为A∈(0°，180°)，所以A＝60°.题型三判断三角形的形状

在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状．[分析]

利用余弦定理将已知等式化为边的关系．[解析]

已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC，∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosB·cosC，∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC＝(bcosC＋ccosB)2＝a2，∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．典例3[归纳提升]

利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．

在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断△ABC的形状．对点练习❸通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．易|错|警|示忽略三角形三边关系导致出错

设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．典例4[错解]

∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边，∴2a＋1是三边长中最长的边，设其所对角为θ，∵2a＋1，a,2a－1是钝角三角形的三边，[正解]

∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边，要使2a＋1，a,2a－1表示三角形的三边，还需a＋(2a－1)>2a＋1，解得a>2.设最长边2a＋1所对的角为θ，∴a的取值范围是(2,8)．[误区警示]

由于余弦定理及公式的变形较多，且涉及平方和开方等运算，可能会因不细心而导致错误．在利用余弦定理求出三角形的三边时，还要判断一下三边能否构成三角形．

在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，c＝t，且C是最大角，求t的取值范围．对点练习❹[解析]

因为a，b，c是△ABC的三边，所以b－a<c<a＋b，所以2－1<t<1＋2＝3，所以1<t<3.又△ABC是钝角三角形，且C是最大角，所以90°<C<180°.课堂检测•固双基1．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于(

)A．60° B．45°C．120° D．30°CBA．一定是锐角三角形

B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形

D．是锐角或直角三角形C[解析]

设BC＝4t，则AB＝5t(t>0)，由