黑龙江省绥化市绥棱县2023-2024学年九年级（五四学制）上学期期末数学试题（含解析）

2023—2024学年度第一学期期末统一测试初四数学试题考试时间120分钟，总分120分．考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员

管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、选择题．（每小题3分共30分）1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．下列运算正确的（）A．（b2）3=b5 B．x3÷x3=x C．5y3•3y2=15y5 D．a+a2=a33．一元二次方程的根的情况是（

）A．无实数根 B．有一个实根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根4．设方程的两个根为α，β，那么的值等于（

）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．35．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．

C．

D．

6．下列等式成立的是（

）A． B． C． D．7．如图，点A，B，P是上的三点，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．8．将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（

）A． B． C． D．9．在某班初三学生毕业20年的联谊会上，每两名学生握手一次，统计共握手630次．若设参加此会的学生为x名，根据题意可列方程为（

）A． B．C． D．10．已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列四个结论：①b<0；②c>1；③b²−4ac>0；④a−b+c<0；⑤a+b+1<0．其中正确的个数有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二、填空题．（每题3分，共30分）11．根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为人，这个数用科学记数法表示为．12．现有一个不透明的袋子，装有2个红球、5个白球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出1个球，摸出球的颜色是白色的概率是．13．分解因式：．14．如图，在中，，将绕点O顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为cm．15．在，，，，这五个数中，有理数有个16．等腰三角形的一个角为，则它另外两个角的度数为．17．二次函数，当时，有最小值．18．如图，在中，点A在弧上，，则度．19．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为cm.20．如图，有一系列有规律的点，它们分别是以O为顶点，边长为正整数的正方形的顶点，，依此规律，点的坐标为．三、解答题：（满分共60分）21．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°(1)作边AB的垂直平分线MN(保留作图痕迹，不写作法)(2)在已知的图中，若MN交AC于点D，连结BD，求∠DBC的度数．22．小明为了了解本校学生的假期活动方式，随机对本校的部分学生进行了调查．收集整理数据后，小明将假期活动方式分为五类：A．读书看报；B．健身活动；C．做家务；D．外出游玩；E．其他方式，并绘制了不完整的统计图如图．统计后发现“做家务”的学生人数占调查总人数的．请根据图中的信息解答下列问题：（1）本次调查的总人数是人；（2）补全条形统计图；（3）根据调查结果，估计本校名学生中“假期活动方式”是“读书看报”的有多少人？23．已知关于的方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值．24．如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E.(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．25．已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．（1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；（2）画出将绕点按顺时针旋转所得的．26．如图，在正方形中，，M为对角线上任意一点（不与B、D重合），连接，过点M作，交线段于点N．(1)求证：；(2)若，求证：．27．甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数（个）与甲加工时间之间的函数图象为折线，如图所示．（1）这批零件一共有个，甲机器每小时加工个零件，乙机器排除故障后每小时加工个零件；（2）当时，求与之间的函数解析式；（3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？28．如图，抛物线与直线相交于两点，且抛物线经过点．

(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求P点坐标；(3)如图2所示，设抛物线与y轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点Q，使得四边形的面积最大？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

参考答案与解析

1．B【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选B．2．C【详解】分析：直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、单项式乘以单项式和合并同类项法则．详解：A、（b2）3=b6，故此选项错误；B、x3÷x3=1，故此选项错误；C、5y3•3y2=15y5，正确；D、a+a2，无法计算，故此选项错误．故选C．点睛：此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算、单项式乘以单项式和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．A【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】∵，，，∴，∴方程无实数根．故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()的根与有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．4．C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，因为二次项系数为：1，一次项系数为：1，常数项为：-2，所以可得出和的值，再代入求值即可．【详解】解：∵α，β是方程的两个根，，，∴，，∴原式＝．故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，关键是找到一元二次方程的系数，然后根据“”，然后代值即可．5．B【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后确定公共部分，最后在数轴上表示出来即可得答案.【详解】由，得：，由，得：，所以，不等式组的解集为：，在数轴上表示解集如图所示：

，故选：B.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是正确把握解题方法以及注意事项.6．D【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的化简等概念分别判断．【详解】解：A.,本选项不成立；B.，本选项不成立；C.=，本选项不成立；D.，本选项成立.故选：D.【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键．7．C【分析】直接利用圆周角定理求解即可．【详解】解：．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．C【分析】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可．【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到，再向下平移2个单位长度，得到，整理得，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键．9．D【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，即等量关系为：学生数×（学生数-1）=总握手次数×2．【详解】设参加此会的学生为x名，每个学生都要握手（x-1）次，可列方程为．故选：D．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是“找出等量关系”，然后根据题意设出未知数，再列方程即可．10．B【分析】根据二次函数图象与系数之间的关系逐项判断即可．【详解】由图可得：，，，，故①②③正确；令，则，从图象上观察得出，，故④错误；令，则，即：，由，可得：，即：，故⑤正确；故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，准确根据图象判断出基本信息，再灵活运用特殊值对应的函数值比较大小是解题关键．11．【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【详解】解：，故答案为：．12．【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用白球的个数除以球的总数即可得到答案．【详解】解：∵一个不透明的袋子，装有2个红球、5个白球，且每个球被摸到的概率相同，∴从袋子中随机摸出1个球，摸出球的颜色是白色的概率是，故答案为：．13．【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解，即可求解．【详解】解：，故答案为：．14．【分析】本题考查了旋转的性质，以及扇形的面积，掌握“旋转前后的两个图形全等，旋转前后的对应边相等”，以及扇形的面积公式是解题的关键．根据题意可知边在旋转过程中所扫过的图形是一个扇形，根据扇形的面积公式进行计算即可．【详解】边在旋转过程中所扫过的图形是一个扇形，面积为：，故答案为：．15．3【分析】根据有理数和无理数的定义进行判断即可得.【详解】根据题意可得有理数有，，，，为无理数，所以有理数有3个，故答案为3．【点睛】本题考查了实数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数与无理数的定义.16．，或，【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两个底角相等．分两种情况：角为顶角和角为底角，分别计算另外两个角即可．熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．注意：遇到求等腰三角形的角时，常常要进行分类讨论．【详解】若角为顶角，则另外两个底角为：；若角为底角，则另外一个底角也为，则顶角为：．故答案为：，或，．17．1【分析】根据二次函数的最值问题解答即可．【详解】∵a=1>0，∴当x=1时，y有最小值2.故答案为1.【点睛】考查二次函数的最值问题，二次函数y=a(x-h)2+k的图象的顶点是（h，k），最值在顶点处取得.18．130【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．作所对的圆周角，如图，利用圆周角定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求的度数．【详解】解：作所对的圆周角，如图，，，，故答案为：130．19．【分析】过点A作AH⊥DE，垂足为H，由旋转的性质可得AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠HAE=45°，AH=3，进而得∠HAF=30°，继而求出AF长即可求得答案.【详解】过点A作AH⊥DE，垂足为H，∵∠BAC=90°，AB=AC，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，∴AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，∴DE=，∠HAE=∠DAE=45°，∴AH=DE=3，∠HAF=∠HAE-∠CAE=30°，∴AF=，∴CF=AC-AF=，故答案为.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，正确添加辅助线构建直角三角形、灵活运用相关知识是解题的关键.20．【分析】本题考查了规律型-点的坐标：通过特殊到一般解决此类问题，利用前面正方形的边长与字母A的脚标数之间的联系寻找规律．根据已知条件得出坐标之间每三个增加一次，找出第20个所在位置即可得出答案．【详解】解：数据每隔三个增加一次，得6余2，故第20个数据坐标一定有7，且正好是3个数据中中间那一个，依此规律，点的坐标为，故答案为：．21．（1）见解析；（2）30°【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长的一半为半径画弧，交于点M、N，然后连接MN，则MN即为所求；（2）由（1）可得AD=BD，则有∠A=∠ABD=40°，∠ABC=70°，进而根据角的和差关系可求解．【详解】解：（1）如图：（2）解：如图所示：∵AB的垂直平分线MN交AC于D，∴AD=BD，∵∠A=40°，∴∠ABD=∠A=40°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=70°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质是解题的关键．22．（1）40；（2）见解析；（3）354.【分析】(1)由“做家务”的学生数以及所占的百分比即可求出调查的总人数；(2)求出D类的人数，据此补全条形统计图即可；(3)用2360乘以“读书看报”所占的比例即可.【详解】(1)本次调查的总人数为8÷20%=40人，故答案为40；(2)40-6-12-8-4=10，补全条形统计图如图所示：=354(人)，答：根据调查结果，本校假期活动方式是“读书看报”的人数有人.【点睛】本题考查了条形统计图，用样本估计总体，弄清题意，找到必要的信息是解题的关键.23．（1）；（1）1.【分析】(1)根据方程有实数根，可分为k=0与k≠0两种情况分别进行讨论即可得；(2)根据一元二次方程根与系数的关系可得，，由此可得关于k的方程，解方程即可得.【详解】(1)当时，方程是一元一次方程，有实根符合题意，当时，方程是一元二次方程，由题意得，解得：，综上，的取值范围是；(2)和是方程的两根，，，，，解得，经检验：是分式方程的解，且，答：的值为.【点睛】本题考查了方程有实数根的条件，一元二次方程根与系数的关系，正确把握相关知识是解题的关键.24．（1）证明见解析；（2）4．【详解】试题分析：(1)、连接DO，根据平行线的性质得出∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，结合OA=OD得出∠COD=∠COB，从而得出△COD和△COB全等，从而得出切线；(2)、设⊙O的半径为R，则OD=R，OE=R+1，根据Rt△ODE的勾股定理求出R的值得出答案．试题解析：（1）证明：连结DO．

∵AD∥OC，

∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．又∵OA=OD，

∴∠DAO=∠ADO，

∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中∵OD=OB，OC=OC，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO=∠CBO．

∵BC是⊙O的切线，

∴∠CBO=90°，

∴∠CDO=90°，又∵点D在⊙O上，

∴CD是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为R，则OD=R，OE=R+1，

∵CD是⊙O的切线，∴∠EDO=90°，∴ED2+OD2=OE2，

∴32+R2=（R+1）2，

解得R=4，

∴⊙O的半径为4．25．（1）如图所示，即为所求，见解析，点的坐标为；（2）如图所示，即为所求．见解析.【分析】分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；分别作出点、绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得．【详解】解：（1）如图所示，即为所求，其中点的坐标为．（2）如图所示，即为所求．【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．26．(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】本题考查了正方形的性质和判定，三角形全等的性质和判定，平行线分线段成比例，解题的关键是掌握正方形的判定与性质及全等三角形的判定与性质等知识点．（1）作、，证四边形是正方形得，再证，从而得，据此可得证；（2）由（1）得，则有，即可求出，根据，可得，即可求解．【详解】（1）证明：如图，过M分别作交于E，交于F，则四边形是平行四边形，四边形是正方形，，，平行四边形是正方形，，，，，，，，；（2）证明：由（1）得，，，，．27．（1）；（2）；（3）甲加工或时，甲与乙加工的零件个数相等.【分析】(1)观