福建省宁德市福安第六中学2024届数学高一下期末质量跟踪监视试题含解析

福建省宁德市福安第六中学2024届数学高一下期末质量跟踪监视试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的单调减区间为()A．(kπ﹣，kπ]，(k∈Z) B．(kπ﹣，kπ]，(k∈Z)C．(kπ﹣，kπ+]，(k∈Z) D．(kπ+，kπ+]，(k∈Z)2．计算的值等于（）A． B． C． D．3．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．34．执行下图所示的程序框图，若输出的，则输入的x为（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或e5．若是2与8的等比中项，则等于()A． B． C． D．326．将正整数按第组含个数分组：那么所在的组数为（）A． B． C． D．7．已知函数，若方程在上有且只有三个实数根，则实数的取值范围为()A． B． C． D．8．同时具有性质：“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是单调递增函数”的一个函数可以是（）A． B．C． D．9．同时具有性质：①图象的相邻两条对称轴间的距离是；②在上是增函数的一个函数为（）A． B． C． D．10．已知在等差数列中，的等差中项为，的等差中项为,则数列的通项公式（）A． B．-1 C．+1 D．-3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．一个等腰三角形的顶点，一底角顶点，另一顶点的轨迹方程是___12．若的两边长分别为和，其夹角的余弦为，则其外接圆的面积为______________；13．在中，已知，则下列四个不等式中，正确的不等式的序号为____________①②③④14．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，点M为△ABC内切圆的圆心，过点M作动直线l与线段AB，AC都相交，将△ABC沿动直线l翻折，使翻折后的点A在平面BCM上的射影P落在直线BC上，点A在直线l上的射影为Q，则的最小值为_____．15．函数在的值域是__________________.16．记为数列的前项和.若，则_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(1)已知，且为第三象限角，求的值(2)已知，计算的值.18．已知的三个顶点，，.（1）求边所在直线的方程；（2）求边上中线所在直线的方程.19．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图：分组频数频率2440.120.05合计1（1）求出表中，及图中的值；（2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率．20．已知定义域为的函数是奇函数.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）判断函数的单调性，并用定义加以证明.21．已知为数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

根据复合函数的单调性，得到函数的减区间，即为的增区间，且，根据三角函数的图象与性质，即可求解.【题目详解】由题意，函数在定义域上是减函数，根据复合函数的单调性，可得函数的减区间，即的增区间，且，则，得，则函数的单调递减区间为，故选C.【题目点拨】本题主要考查了对数函数及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的性质，以及三角函数的图象与性质，根据复合函数的单调性进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2、C【解题分析】

由三角正弦的倍角公式计算即可．【题目详解】原式．故选C【题目点拨】本题属于基础题，考查三角特殊值的正弦公式的计算．3、B【解题分析】

先由三视图判断该几何体为底面是直角三角形的直三棱柱，由棱柱的体积公式即可求出结果.【题目详解】据三视图分析知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，且三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1和，三棱柱的高为，所以该几何体的体积.【题目点拨】本题主要考查几何体的三视图，由三视图求几何体的体积，属于基础题型.4、C【解题分析】

根据程序框图,分两种情况讨论,即可求得对应的的值.【题目详解】当输出结果为时.当,则,解得当,则,解得综上可知,输入的或故选:C【题目点拨】本题考查了程序框图的简单应用,指数方程与对数方程的解法,属于基础题.5、B【解题分析】

利用等比中项性质列出等式，解出即可。【题目详解】由题意知，，∴．故选B【题目点拨】本题考查等比中项，属于基础题。6、B【解题分析】

观察规律，看每一组的最后一个数与组数的关系，可知第n组最后一个数是2+3+4+…..+n+1=，然后再验证求解.【题目详解】观察规律，第一组最后一个数是2=2，第二组最后一个数是5=2+3，第三组最后一个数是9=2+3+4，……，依此，第n组最后一个数是2+3+4+…..+n+1=.当时，，所以所在的组数为63.故选：B【题目点拨】本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题.7、A【解题分析】

先辅助角公式化简,先求解方程的根的表达式,再根据在上有且只有三个实数根列出对应的不等式求解即可.【题目详解】.又在上有且只有三个实数根,故,解得或,即或,.设直线与在上从做到右的第三个交点为,第四个交点为.则,.故.故实数的取值范围为.故选：A【题目点拨】本题主要考查了根据三角函数的根求解参数范围的问题,需要根据题意先求解根的解析式,进而根据区间中的零点个数列出区间端点满足的关系式求解即可.属于中档题.8、D【解题分析】

利用正弦函数、余弦函数的图象和性质，逐一检验，可得结论．【题目详解】A,对于y＝cos（），它的周期为4π，故不满足条件．B,对于y＝sin（2x），在区间上，2x∈[，]，故该函数在区间上不是单调递增函数，故不满足条件．C,对于y＝cos（2x），当x时，函数y，不是最值，故不满足②它的图象关于直线x对称，故不满足条件．D,对于y＝sin（2x），它的周期为π，当x时，函数y＝1，是函数的最大值，满足它的图象关于直线x对称；且在区间上，2x∈[，]，故该函数在区间上是单调递增函数，满足条件．故选：D．【题目点拨】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于中档题．9、C【解题分析】由①得函数的最小正周期是，排除．对于B:，当时，，此时B选项对应函数是减函数，C选项对应函数是增函数，满足②，故选C．10、D【解题分析】试题分析：由于数列是等差数列，所以的等差中项是，故有，又有的等差中项是，所以，从而等差数列的公差，因此其通项公式为，故选Ｄ．考点：等差数列．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

设出点C的坐标，利用|AB|＝|AC|，建立方程，根据A，B，C三点构成三角形，则三点不共线且B，C不重合，即可求得结论．【题目详解】设点的坐标为，则由得，化简得.∵A，B，C三点构成三角形∴三点不共线且B，C不重合因此顶点的轨迹方程为.故答案为【题目点拨】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题．12、【解题分析】

首先根据余弦定理求第三边，再求其对边的正弦值，最后根据正弦定理求半径和面积.【题目详解】设第三边为，，解得：，设已知两边的夹角为，，那么，根据正弦定理可知，,外接圆的面积.故填：.【题目点拨】本题简单考查了正余弦定理，考查计算能力，属于基础题型.13、②③【解题分析】

根据，分当和两种情况分类讨论，每一类中利用正、余弦函数的单调性判断，特别注意，当时，.【题目详解】当时，在上是增函数，因为，所以，因为在上是减函数，且，所以，当时，且，因为在上是减函数，所以，而，所以.故答案为：②③【题目点拨】本题主要考查了正弦函数与余弦函数的单调性在三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14、825【解题分析】

以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设直线l的斜率为k，用k表示出|PQ|，|AQ|，利用基本不等式得出答案．【题目详解】过点M作△ABC的三边的垂线，设⊙M的半径为r，则r2，以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则M（2，2），A（0，8），因为A在平面BCM的射影在直线BC上，所以直线l必存在斜率，过A作AQ⊥l，垂足为Q，交直线BC于P，设直线l的方程为：y＝k（x﹣2）+2，则|AQ|，又直线AQ的方程为：yx+8，则P（8k，0），所以|AP|8，所以|PQ|＝|AP|﹣|AQ|＝8，所以，①当k＞﹣3时，4（k+3）25≥825，当且仅当4（k+3），即k3时取等号；②当k＜﹣3时，则4（k+3）23≥823，当且仅当﹣4（k+3），即k3时取等号.故答案为：825【题目点拨】本题考查了考查空间距离的计算，考查基本不等式的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15、【解题分析】

利用反三角函数的性质及，可得答案.【题目详解】解：，且，，∴，故答案为：【题目点拨】本题主要考查反三角函数的性质，相对简单.16、【解题分析】

由和的关系，结合等比数列的定义，即可得出通项公式.【题目详解】当时，当时，即则数列是首项为，公比为的等比数列故答案为：【题目点拨】本题主要考查了已知求，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）由，结合为第三象限角，即可得解；（2）由，代入求解即可.【题目详解】（1）,∴,又∵是第三象限.∴（2）.【题目点拨】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于基础题.18、（1）（2）【解题分析】

（1）由直线的两点式方程求解即可；（2）先由中点坐标公式求出中点的坐标，再结合直线的两点式方程求解即可.【题目详解】（1）因为，，由直线的两点式方程可得：边所在直线的方程，化简可得；（2）由，，则中点，即，则边上中线所在直线的方程为，化简可得.【题目点拨】本题考查了中点坐标公式，重点考查了直线的两点式方程，属基础题.19、(1)；；；(2)60人．(3)【解题分析】

（1）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值；（2）该校高三学生有240人，分组内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人；（3）设在区间内的人为，，，，在区间内的人为，，写出任选2人的所有基本事件，利用对立事件求得答案.【题目详解】（1）由分组内的频数是10，频率是0.25知，，∴．∵频数之和为40，∴，，．∵是对应分组的频率与组距的商，∴；（2）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是0.25，∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，设在区间内的人为，，，，在区间内的人为，．则任选2人共有，，，，，，，，，，，，，，15种情况，而两人都在内只能是一种，∴所求概率为．【题目点拨】本题以图表为背景，考查从图表中提取信息，同时在统计的基础上，考查古典概型的计算，考查基本数据处理能力.20、（Ⅰ）（Ⅱ）在上单调递增，证明见解析【解题分析】

（1）函数的定义域为，利用奇函数的必要条件，，求出，再用奇函数的定义证明；（2）判断在上单调递增，用单调性的定义证明，任取，求出函数值，用作差法，证明即可.【题目详解】解：（Ⅰ）∵函数是奇函数，定义域为，∴，即，解之得，此时，为奇函数，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设，且，∵，∴，∴，即故在上单调递增.【题目点拨】本题考查函数奇偶性的应用，注