湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2024届数学高一第二学期期末学业质量监测试题含解析

湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2024届数学高一第二学期期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布.A． B． C． D．2．中，下列结论：①若，则，②，③，④若是锐角三角形，则，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．在平行四边形中，为一条对角线，，，则＝（）A．（2,4） B．（3,5） C．（1，1） D．（－1，－1）4．已知全集，集合，，则为()A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}5．三边，满足，则三角形是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形6．已知等比数列an的公比为q，且q<1，数列bn满足bn=anA．-23 B．23 C．7．若函数和在区间D上都是增函数，则区间D可以是（）A． B． C． D．8．的内角的对边分别为，面积为，若，则外接圆的半径为（）A． B． C． D．9．如图，设是正六边形的中心，则与相等的向量为（）A． B． C． D．10．《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，其中平面，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则该球的体积是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________________．12．等差数列的前项和为，，，等比数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前15项和.13．公比为的无穷等比数列满足：，，则实数的取值范围为________.14．把函数的图象向左平移个单位长度，所得图象正好关于原点对称，则的最小值为________.15．若是方程的解，其中，则______.16．已知数列满足：，，则数列的前项的和_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列满足：，，数列满足：（）．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和，并比较与的大小.18．已知，，求的值．19．已知正方形的中心为,一条边所在直线的方程是.(1)求该正方形中与直线平行的另一边所在直线的方程;(2)求该正方形中与直线垂直的一边所在直线的方程.20．已知的三个内角，，的对边分别为，，，函数，且当时，取最大值.（1）若关于的方程，有解，求实数的取值范围；（2）若，且，求的面积.21．在锐角中，，，分别为内角，，所对的边，且满足．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】由题可知每天织的布的多少构成等差数列,其中第一天为首项,一月按30天计可得,从第2天起每天比前一天多织的即为公差.又,解得.故本题选B.2、C【解题分析】

根据正弦定理与诱导公式，以及正弦函数的性质，逐项判断，即可得出结果.【题目详解】①在中，因为，所以，所以，故①正确；②，故②正确；③，故③错误；④若是锐角三角形，则，均为锐角，因为正弦函数在上单调递增，所以，故④正确；故选C【题目点拨】本题主要考查命题真假的判定，熟记正弦定理，诱导公式等即可，属于常考题型.3、C【解题分析】试题分析：,故选C.考点：平面向量的线性运算．4、C【解题分析】

先根据全集U求出集合A的补集，再求与集合B的并集．【题目详解】由题得，故选C.【题目点拨】本题考查集合的运算，属于基础题．5、C【解题分析】

由基本不等式得出，将三个不等式相加得出，由等号成立的条件可判断出的形状．【题目详解】为三边，，由基本不等式可得，将上述三个不等式相加得，当且仅当时取等号，所以，是等边三角形，故选C．【题目点拨】本题考查三角形形状的判断，考查基本不等式的应用，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”条件的应用，考查推理能力，属于中等题．6、A【解题分析】

由题可知数列{an}【题目详解】因为数列{bn}有连续四项在集合{-28,-19,-13,7,17,23}中，bn=an-1，所以数列{an}有连续四项在集合{-27,-18,-12,8,18,24}中，所以数列{an}的连续四项不同号，即【题目点拨】本题主要考查等比数列的综合应用，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力，分类讨论能力，难度较大.7、D【解题分析】

依次判断每个选项，排除错误选项得到答案.【题目详解】时，单调递减，A错误时，单调递减，B错误时，单调递减，C错误时，函数和都是增函数，D正确故答案选D【题目点拨】本题考查了三角函数的单调性，意在考查学生对于三角函数性质的理解应用，也可以通过图像得到答案.8、A【解题分析】

出现面积，可转化为观察，和余弦定理很相似，但是有差别，差别就是条件是形式，而余弦定理中是形式，但是我们可以注意到：,所以可以完成本题.【题目详解】由，所以在三角形中,再由正弦定理所以答案选择A.【题目点拨】本题很灵活，在常数4的处理问题上有点巧妙，然后再借助余弦定理及正弦定理，难度较大.9、D【解题分析】

容易看出，四边形是平行四边形，从而得出.【题目详解】根据图形看出，四边形是平行四边形故选：【题目点拨】本题考查相等向量概念辨析，属于基础题.10、A【解题分析】

根据三棱锥的结构特征和线面位置关系，得到中点为三棱锥的外接球的球心，求得球的半径，利用球的体积公式，即可求解.【题目详解】由题意，如图所示，因为，且为直角三角形，所以，又因为平面，所以，则平面，得.又由，所以中点为三棱锥的外接球的球心，则外接球的半径.所以该球的体积是.故选A.【题目点拨】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】分析：分类讨论截距为0和截距不为零两种情况求解直线方程即可.详解：当截距为0时,直线的方程为，满足题意；当截距不为0时,设直线的方程为,把点代入直线方程可得，此时直线方程为.故答案为.点睛：求解直线方程时应该注意以下问题：一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围；二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论；三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.12、（1），；（2）125.【解题分析】

（1）直接利用等差数列，等比数列的公式得到答案.（2），前5项为正，后面为负，再计算数列的前15项和.【题目详解】解：（1）联立，解得，，故，，联立，解得，故.（2）.【题目点拨】本题考查了等差数列，等比数列，绝对值和，判断数列的正负分界处是解题的关键.13、【解题分析】

依据等比数列的定义以及无穷等比数列求和公式，列出方程，即可求出的表达式，再利用求值域的方法求出其范围。【题目详解】由题意有，即，因为，所以。【题目点拨】本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用以及基本函数求值域的方法。14、【解题分析】

根据条件先求出平移后的函数表达式为，令即可得解.【题目详解】由题意可得平移后的函数表达式为，图象正好关于原点对称，即，又，的最小值为.故答案为：.【题目点拨】本题考查了函数图像的平移以及三角函数的图像与性质，属于基础题.15、【解题分析】

把代入方程2cos（x+α）＝1，化简根据α∈（0，2π），确定函数值的范围，求出α即可．【题目详解】∵是方程2cos（x+α）＝1的解，∴2cos（+α）＝1，即cos（+α）＝．又α∈（0，2π），∴+α∈（，）．∴+α＝．∴α＝．故答案为【题目点拨】本题考查三角函数值的符号，三角函数的定义域，考查逻辑思维能力，属于基础题．16、【解题分析】

通过令求出数列的前几项，猜测是以为周期的周期数列，且每个周期内都是以为首项，2为公比的等比数列．然后根据递推式给予证明，最后由等比数列的前项和公式计算．【题目详解】当时，，，，，，，当时，，，，，，，当时，，，，，，，猜测，是以为周期的周期数列，且每个周期内都是以为首项，2为公比的等比数列．设中，即，∴，由于都是正整数，所以，所以数列中第项开始大于3，前项是以为首项，2为公比的等比数列．，所以是以为周期的周期数列，所以．故答案为：．【题目点拨】本题考查等比数列的前项和，考查数列的周期性．解题关键是确定数列的周期性．方法采取的是从特殊到一般，猜想与证明．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见证明；（2）见解析【解题分析】

(1)将原式变形为，进而得到结果；（2）根据第一问得到，错位相减得到结果.【题目详解】（1）由条件得，易知，两边同除以得，又，故数列是等比数列，其公比为.（2）由（1）知，则……①……②两式相减得即.【题目点拨】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．18、【解题分析】

∵，且，∴，则，∴＝＝＝－．考点：本题考查了三角恒等变换19、(1);(2)或.【解题分析】

（1）由直线平行则斜率相等，设出所求直线方程，利用M点到两直线距离相等求解；（2）由直线垂直则斜率乘积为-1，设出所求直线，利用M点到两直线距离相等求解.【题目详解】（1）设与直线平行的另一边所在直线方程为，则，解得，或(舍).所以与直线平行的正方形的另一边所在直线的方程为.（2）设与直线垂直的正方形的边所在直线方程为，则，解得，或.所以与直线垂直的正方形的边所在的直线方程为或.【题目点拨】本题考查直线平行或垂直与斜率的关系，以及点到直线的距离公式，属直线方程求解基础题.20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用两角和差的正弦公式整理可得：，再利用已知可得：（），结合已知可得：，求得：时，，问题得解.（2）利用正弦定理可得：，结合可得：，对边利用余弦定理可得：，结合已知整理得：，再利用三角形面积公式计算得解.【题目详解】解：（1）.因为在处取得最大值，所以，,即.因为，所以，所以.因为，所以所以，因为关于的方程有解，所以的取值范围为．（2）因为，，由正弦定理，于是．又，所以.由余弦定理得：，整理得：，即，所以，所以.【题目点拨】本题主要考查了两角和、差的正弦公式应用，还考查了三角函数的性质及方程与函数的关系，还考查了正弦定理、余弦定理的应用及三角形面积公式，考查计算能力及转化能力，属于中档题．21、(1)；（2）.【解题分析】