黑龙江哈尔滨市第九中学2024届数学高一第二学期期末调研试题含解析

黑龙江哈尔滨市第九中学2024届数学高一第二学期期末调研试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．己知向量，.若，则m的值为()A． B．4 C．- D．-42．下列函数中最小值为4的是()A． B．C． D．3．函数的图象（）A．关于点（－，0）对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．关于直线x=对称4．如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（）A． B．3 C．1 D．5．若点共线,则的值为（）A． B． C． D．6．一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为：A．100 B．80 C．60 D．407．若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则（）A． B． C． D．8．角的终边经过点且，则的值为()A．-3 B．3 C．±3 D．59．如图所示，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A． B． C． D．10．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对称轴为x=1，已知当x∈[0,1]时，f(x)=121-x，则有下列结论：①2是函数fx的周期；②函数fx在1,2上递减，在2,3上递增；③函数f12．方程的解=__________．13．已知正方体中,，分别为,的中点,那么异面直线与所成角的余弦值为______.14．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积(弦矢矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为米，半径等于米的弧田，则弧所对的弦的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.15．已知数列满足则的最小值为__________.16．如图是甲、乙两人在10天中每天加工零件个数的茎叶图，若这10天甲加工零件个数的中位数为，乙加工零件个数的平均数为，则______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．2019年是中华人民共和国成立70周年，某校党支部举办了一场“我和我的祖国”知识竞赛，满分100分，回收40份答卷，成绩均落在区间内，将成绩绘制成如下的频率分布直方图.（1）估计知识竞赛成绩的中位数和平均数；（2）从，分数段中，按分层抽样随机抽取5份答卷，再从对应的党员中选出3位党员参加县级交流会，求选出的3位党员中有2位成绩来自于分数段的概率.18．某企业2015年的纯利润为500万元,因为企业的设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造,预测从2015年开始,此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造,2016年初该企业需一次性投入资金600万元,在未扣除技术改造资金的情况下,预计2016年的利润为750万元,此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元.(1)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的年纯利润为万元;进行技术改造后,在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元,求和;(2)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元,进行技术改造后的累计纯利润为万元,求和;(3)依上述预测,从2016年起该企业至少经过多少年,进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润?19．为推动文明城市创建，提升城市整体形象，2018年12月30日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管理办法》，2019年3月1日起施行.这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意识，受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取80名职工，统计了他们一周内路边停车的时间t（单位：小时），整理得到数据分组及频率分布直方图如下：（1）从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率；（2）求频率分布直方图中a，b的值.20．某城市理论预测2020年到2024届人口总数与年份的关系如下表所示：年份202x（年）01234人口数y（十万）5781119（1）请在右面的坐标系中画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）据此估计2025年该城市人口总数.（参考公式：，）21．已知是递增的等比数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）为各项非零的等差数列，其前n项和为，已知，求数列的前n项和．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【题目详解】依题意，由于，所以，解得.故选B.【题目点拨】本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，考查向量减法的坐标运算，属于基础题.2、C【解题分析】

对于A和D选项不能保证基本不等式中的“正数”要求，对于B选项不能保证基本不等式中的“相等”要求，即可选出答案.【题目详解】对于A，当时，显然不满足题意，故A错误.对于B，，，.当且仅当，即时，取得最小值.但无解，故B错误.对于D，当时，显然不满足题意，故D错误.对于C，，，.当且仅当，即时，取得最小值，故C正确.故选：C【题目点拨】本题主要考查基本不等式，熟练掌握基本不等式的步骤为解题的关键，属于中档题.3、A【解题分析】

关于点（－，0）对称，选A.4、A【解题分析】

根据图像，将表示成的线性和形式，由此求得的值，进而求得的值.【题目详解】根据图像可知，所以，故选A.【题目点拨】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量基本定理，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.5、A【解题分析】

通过三点共线转化为向量共线，即可得到答案.【题目详解】由题意，可知，又，点共线，则，即，所以，故选A.【题目点拨】本题主要考查三点共线的条件，难度较小.6、A【解题分析】

根据分层抽样的方法，得到高三学生抽取的人数为，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，采用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，所以高三学生抽取的人数为人，故选A．【题目点拨】本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7、C【解题分析】

根据三角函数定义结合正弦的二倍角公式计算即可【题目详解】由题意，∴，，．故选：C.【题目点拨】本题考查三角函数的定义，考查二倍角的正弦公式，掌握三角函数定义是解题关键．8、B【解题分析】

根据三角函数的定义建立方程关系即可．【题目详解】因为角的终边经过点且，所以则解得【题目点拨】本题主要考查三角函数的定义的应用，应注意求出的b为正值．9、A【解题分析】

根据题意，分析可得，由三角形面积公式计算可得△DEF和△ACF的面积，进而可得△ABC的面积，由几何概型公式计算可得答案．【题目详解】根据题意，为等边三角形，则，则，中，，其面积，中，，，其面积，则的面积，故在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率，故选：A.【题目点拨】本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率．10、D【解题分析】

由，，，得解.【题目详解】解：因为，，，所以，故选：D.【题目点拨】本题考查了指数幂，对数值的大小关系，属基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①②④【解题分析】

依据题意作出函数f(x)的图像，通过图像可以判断以下结论是否正确。【题目详解】作出函数f(x)的图像，由图像可知2是函数fx的周期，函数fx在1,2上递减，在2,3上递增，函数当x∈3,4时，f(x)=f(x-4)=f(4-x)=故正确的结论有①②④。【题目点拨】本题主要考查函数的图像与性质以及数形结合思想，意在考查学生的逻辑推理能力。12、-1【解题分析】分析：由对数方程，转化为指数方程，解方程即可.详解：由log2（1﹣2x）=﹣1可得（1﹣2x）=，解方程可求可得，x=﹣1故答案为:﹣1点睛：本题主要考查了对数方程的求解，解题中要善于利用对数与指数的转化，属于基础题.13、【解题分析】

异面直线所成角，一般平移到同一个平面求解．【题目详解】连接DF，异面直线与所成角等于【题目点拨】异面直线所成角，一般平移到同一个平面求解．不能平移时通常考虑建系，利用向量解决问题．14、【解题分析】

在中，由题意可知：，弧长为,即可以求出,则求得的值，根据题意可求矢和弦的值及弦长，利用公式可以完成.【题目详解】如上图在中，可得：，可以得：矢=所以:弧田面积(弦矢矢2)=所以填写(1).(2).【题目点拨】本题是数学文化考题，扇形为载体的新型定义题，求弦长属于简单的解三角形问题，而作为第二空，我们首先知道公式中涉及到了“矢”，所以我们必须把“矢”的定义弄清楚，再借助定义求出它的值，最后只是简单代入公式计算即能完成.15、【解题分析】

先利用累加法求出an＝1+n2﹣n，所以，设f（n），由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【题目详解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴当n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+1＝n2﹣n+1且对n＝1也适合，所以an＝n2﹣n+1．从而设f（n），令f′（n），则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+，所以当n＝5或6时f（n）有最小值．又因为，，所以的最小值为故答案为【题目点拨】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．16、44.5【解题分析】

由茎叶图直接可以求出甲的中位数和乙的平均数，求和即可．【题目详解】由茎叶图知，甲加工零件个数的中位数为，乙加工零件个数的平均数为，则．【题目点拨】本题主要考查利用茎叶图求中位数和平均数．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）中位数为80.平均数为（2）【解题分析】

（1）由频率分布直方图可知，利用中位数和平均数的计算公式，即可求解.（2）由频率分布直方图可知，分别求得，分数段中答卷数，利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.【题目详解】（1）由频率分布直方图可知，前3个小矩形的面积和为，后2个小矩形的面积和为，所以估计中位数为80.估计平均数为.（2）由频率分布直方图可知，分数段中答卷数分别为12，8，抽取比例为，所以，分数段中抽取的答卷数分别为3，2.记中对应的3为党员为，，，中对应的2为党员为，.则从中选出对应的3位党员，共有不同的选法总数10种：，，，，，，，，，.易知有2位来自于分数段的有3种，故所求概率为.【题目点拨】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中熟记频率直方图中中位数和平均数的计算方法，以及准确利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18、(1),(2),(3)至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.【解题分析】

(1)利用等差数列、等比数列的通项公式求和(2)是数列的前项和，是数列的前项和减去600，利用等差数列和等比数列的前项和公式求出即可(3)作差，利用函数的单调性，即可得出结论【题目详解】(1)由题意得是等差数列，所以由题意得所以所以是首项为250，公比为的等比数列所以所以(2)是数列的前项和所以是数列的前项和减去600，所以(3)易得此函数当时单调递增且时时所以至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.【题目点拨】本题考查的是数列的综合知识，包含通项公式的求法、前n项和的求法及数列的单调性.19、（1）；（2），.【解题分析】

（1）由频率分布表即可得解；（2）由频率分布直方图中小矩形的高为频率与组距的比值，观察频率分布表的数据即可得解.【题目详解】解