2024届长沙市K郡双语实验中学高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2024届长沙市K郡双语实验中学高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是()A．中位数为83 B．众数为85 C．平均数为85 D．方差为192．在中，角的对边分别为，已知，则的大小是（）A． B． C． D．3．已知平面向量，，，，且，则向量与向量的夹角为（）A． B． C． D．4．已知等差数列的前项和为，，，则使取得最大值时的值为()A．5 B．6 C．7 D．85．若，，则与的夹角为（）A． B． C． D．6．已知，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（）A．7 B．6 C．5 D．97．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第1天健步行走，从第2天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，可求出此人每天走多少里路.”那么此人第5天走的路程为（）A．48里 B．24里 C．12里 D．6里8．如图所示的程序框图，若执行的运算是，则在空白的执行框中，应该填入A．B．C．D．9．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则10．若圆上恰有3个点到直线的距离为1，,则与间的距离为（）A．1 B．2 C． D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．的内角的对边分别为，若，，，则的面积为__________.12．等差数列的前项和为，，，等比数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前15项和.13．已知两个数k＋9和6－k的等比中项是2k，则k＝________．14．函数的最大值是__________．15．已知数列的前项和是，且，则______.（写出两个即可）16．中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后达到目的地.”则该人最后一天走的路程为__________里．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知,,（1）若，求；（2）求的最大值，并求出对应的x的值．18．已知，函数，，（1）证明：是奇函数；（2）如果方程只有一个实数解，求a的值.19．已知.（1）求；（2）求向量与的夹角的余弦值.20．在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上.（1）若圆分别与轴、轴交于点、（不同于原点），求证：的面积为定值；（2）设直线与圆交于不同的两点、，且，求圆的方程；（3）设直线与（2）中所求圆交于点、，为直线上的动点，直线、与圆的另一个交点分别为、，求证：直线过定点.21．已知是圆的直径，垂直圆所在的平面,是圆上任一点．求证:平面⊥平面.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】试题分析：A选项，中位数是84；B选项，众数是出现最多的数，故是83；C选项，平均数是85，正确；D选项，方差是，错误．考点：茎叶图的识别‚相关量的定义2、C【解题分析】∵，∴，又，∴，又为三角形的内角，所以，故。选C。3、B【解题分析】

根据可得到：，由此求得；利用向量夹角的求解方法可求得结果.【题目详解】由题意知：，则设向量与向量的夹角为则本题正确选项：【题目点拨】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过平方运算将模长转变为向量的数量积，从而得到向量的位置关系.4、D【解题分析】

由题意求得数列的通项公式为，令，解得，即可得到答案.【题目详解】由题意，根据等差数列的性质，可得，即又由，即，所以等差数列的公差为，又由，解得，所以数列的通项公式为，令，解得，所以使得取得最大值时的值为8，故选D.【题目点拨】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及前n项和最值问题，其中解答中熟记等差数列的性质和通项公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5、A【解题分析】

根据平面向量夹角公式可求得，结合的范围可求得结果.【题目详解】设与的夹角为，又故选：【题目点拨】本题考查平面向量夹角的求解问题，关键是熟练掌握两向量夹角公式，属于基础题.6、C【解题分析】

由,可得成等比数列，即有＝4；讨论成等差数列或成等差数列，运用中项的性质，解方程可得，即可得到所求和．【题目详解】由，可得成等比数列，即有＝4，①若成等差数列，可得，②由①②可得，1；若成等差数列，可得，③由①③可得，1．综上可得1．故选：C．【题目点拨】本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题．7、C【解题分析】记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选C．8、D【解题分析】试题分析：解：运行第一次：，不成立；运行第二次：，不成立；运行第三次：，不成立；运行第四次：，不成立；运行第四次：，成立；输出所以应选D.考点：循环结构.9、D【解题分析】

根据空间线、面的位置关系有关定理，对四个选项逐一分析排除，由此得出正确选项.【题目详解】对于A选项，直线有可能在平面内，故A选项错误.对于B选项，两个平面有可能相交，平行于它们的交线，故B选项错误.对于C选项，可能平行，故C选项错误.根据线面垂直的性质定理可知D选项正确.故选D.【题目点拨】本小题主要考查空间线、面位置关系的判断，属于基础题.10、D【解题分析】

根据圆上有个点到直线的距离为，得到圆心到直线的距离为，由此列方程求得的值，再利用两平行直线间的距离公式，求得与间的距离.【题目详解】由于圆的圆心为，半径为，且圆上有个点到直线的距离为，故到圆心到直线的距离为，即，由于，故上式解得.所以.由两平行直线间的距离公式有，故选D.【题目点拨】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查两平行直线间的距离公式，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由已知及正弦定理可得：，进而利用余弦定理即可求得a的值，进而可求c，利用三角形的面积公式即可求解．【题目详解】，由正弦定理可得：，，由余弦定理，可得，整理可得：或（舍去），，，故答案为：.【题目点拨】本题注意考查余弦定理与正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.12、（1），；（2）125.【解题分析】

（1）直接利用等差数列，等比数列的公式得到答案.（2），前5项为正，后面为负，再计算数列的前15项和.【题目详解】解：（1）联立，解得，，故，，联立，解得，故.（2）.【题目点拨】本题考查了等差数列，等比数列，绝对值和，判断数列的正负分界处是解题的关键.13、3【解题分析】由已知得(2k)2＝(k＋9)(6－k)，k∈N*，∴k＝3.14、【解题分析】分析：利用两角和正弦公式简化为y=，从而得到函数的最大值.详解：y=sinx+cosx==．∴函数的最大值是故答案为点睛：本题考查了两角和正弦公式，考查了正弦函数的图象与性质，属于基础题.15、或【解题分析】

利用已知求的公式，即可算出结果．【题目详解】（1）当，得，∴，∴．（2）当时，，两式作差得，，化简得，∴或，即（常数）或，当（常数）时，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以；当时，数列是以1为首项，﹣1为公比的等比数列，所以．【题目点拨】本题主要考查利用与的关系公式，即，求的方法应用．16、3【解题分析】分析：每天走的路形成等比数列{an}，q=，S3=1．利用求和公式即可得出．详解：每天走的路形成等比数列{an}，q=，S3=1．∴S3=1=，解得a1=2．∴该人最后一天走的路程=a1q5==3．故答案为：3．点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（II）1,此时【解题分析】

（Ⅰ）根据平面向量的坐标运算，利用平行公式求出tanx的值；（Ⅱ）利用平面向量的坐标运算，利用模长公式和三角函数求出最大值．【题目详解】解：（Ⅰ）计算-=（3，4），由∥（-）得4cosx-3sinx=0，∴tanx==；（Ⅱ）+=（cosx+1，sinx），∴=（cosx+1）1+sin1x=1+1cosx，|+|=，当cosx=1，即x=1kπ，k∈Z时，|+|取得最大值为1．【题目点拨】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题．18、（1）证明见解析（1）1【解题分析】

（1）运用函数的奇偶性的定义即可得证（1）由题意可得有且只有两个相等的实根，可得判别式为0，解方程可得所求值．【题目详解】（1）证明：由函数，，可得定义域为，且，可得为奇函数；（1）方程只有一个实数解，即为，即△，解得舍去），则的值为1．【题目点拨】本题考查函数的奇偶性的判断和二次方程有解的条件，考查方程思想和定义法，属于基础题．19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）根据题意求出，即可求解；（2）向量与的夹角的余弦值为：代入求值即可得解.【题目详解】（1）由题：，解得：（2）向量与的夹角的余弦值为：【题目点拨】此题考查平面向量数量积的运算，根据运算法则求解数量积和模长，求解向量夹角的余弦值.20、（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.【解题分析】

（1）由题意设圆心坐标为，可得半径为，求出圆的方程，分别令、，可得出点、的坐标，利用三角形的面积公式即可证明出结论成立；（2）由，知，利用两直线垂直的等价条件：斜率之积为，解方程可得，讨论的取值，求得圆心到直线的距离，即可得到所求圆的方程；（3）设，、，求得、的坐标，以及直线、的方程，联立圆的方程，利用韦达定理，结合，得出，设直线的方程为，代入圆的方程，利用韦达定理，可得、之间的关系，即可得出所求的定点.【题目详解】（1）由题意可设圆心为，则圆的半径为，则圆的方程为，即.令，得，得；令，得，得.（定值）；（2）由，知，所以，解得.当时，圆心到直线的距离小于半径，符合题意；当时，圆心到直线的距离大于半径，不符合题意.所以，所求圆的方程为；（3）设，，，又知，，所以，.因为，所以.将，代入上式，整理得.①设直线的方程为，代入，整理得.所以，.代入①式，并整理得，即，解得或.当时