等腰三角形-2022年中考数学题源解密（解析版）

专题13等腰三角形

考向1等腰三角形及其性质与判定

画题呈现

【母题来源】（2021•浙江杭州）

【母题题文】在①AO=AE,®ZABE=ZACD,③FB=FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问

题中，并完成问题的解答.

问题：如图，在△ABC中，NA8C=NACB,点力在AB边上（不与点A,点8重合），点E在4c边

上（不与点A,点C重合），连接BE,CD,BE与CD相交于点凡若,求证：BE

=CD.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

【分析】若选择条件①，利用NA8C=NACB得到A8=AC,则可根据“SAS”可判断△A8E丝△ACD

从而得到BE=CD；

选择条件②，利用NA8C=NACB得到A8=AC,则可根据“ASA”可判断丝△ACQ,从而得到

BE=CD；

选择条件③，利用NA8C=/ACB得到AB=AC,再证明NACZ）,则可根据“ASA”可判断△ABE

刍△AC。，从而得到BE=CD

【解答】证明：选择条件①的证明为：

TZABC=ZACB,

：.AB=AC,

在△48E和△ACO中，

，AB=AC

<ZA=ZA>

AE=AD

(SAS),

:.BE=CD；

选择条件②的证明为：

NABC=ZACB,

：.AB=AC,

在△ABE和△AC£>中，

，ZABE=ZACD

<AB=AC，

,ZA=ZA

.'.△ABE好△ACD(ASA),

:.BE=CD：

选择条件③的证明为：

■:ZABC^ZACB,

：.AB=AC,

,:FB=FC,

:.NFBC=NFCB,

二ZABC-NFBC=^ACB-NFCB,

即NABE=ZACD,

在△ABE和△AC£>中，

,ZABE=ZACD

<AB=AC，

ZA=ZA

.,.△ABE畛△AC。(4SA),

:.BE=CD.

故答案为①AO=AE(②NABE=/ACO或③FB=FC)

【母题来源】(2021•浙江杭州)

【母题题文】如图，在△ABC中，乙4BC的平分线8。交AC边于点D,AE_LBC于点E.已知乙48c=60°,

ZC=45°.

(1)求证：AB=BD：

(2)若4E=3,求△ABC的面积.

【分析】(1)计算出NAD8和NBAC,利用等角对等边即可证明;

(2)利用锐角三角函数求出8c即可计算△ABC的面积.

【解答】(1)证明：4平分NA8C,Z4BC=60°,

/.ZDBC^—ZABC^30°,

2

VZC=45°,

/.ZADB=ZDBC+ZC=75°,

N8AC=180°-ZABC-ZC=75°,

：.ZBAC=NADB,

：.AB=BD；

(2)解：在RtZXABE中，NABC=60°,AE=3,

在RtAAEC中，ZC=45°,4E=3,

.•.EC=-^=3,

tanC

/.BC=3+V3，

/.SMBC=—BCX.£■=9+3^.

22

【母题来源】（2021•浙江丽水）

【母题题文】如图，在5X5的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请按要求画图.

B

1

A

图2图3

（1）如图1，画出一条线段AC,使AC=AB,C在格点上；

（2）如图2,画出一条线段EF,使EF,AB互相平分，E,F均在格点上；

（3）如图3,以4,8为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上.

【分析】（1）48为长方形对角线，作出相等线段即可;

（2）只要保证四边形A尸BE是平行四边形即可；

(3)同(2).

【解答】解：如图：（1）线段AC即为所作,

（2）线段EF即为所作,

（3）四边形A8”G即为所作.

图3

【母题题文】如图，RtZ\ABC中，NBAC=90°,cosB=工，点。是边BC的中点，以为底边在其右侧

4

作等腰三角形AOE,使NAOE=N8,连结CE,则型的值为（）

AD

C.隼

D.2

【分析】设OE交4C于T,过点E作EH1.CD于首先证明EA=EO=EC,再证明NB=NEC。,可得结论。

【解答】解：设。E交AC于7,过点E作EHLCD于H.

,.•N8AC=90°,BD=DC,

：.AD=DB=DC,

：.ZB=ZDAB,

;NB=ZADE,

：.ZDAB=ZADE,

：.AB//DE,

：.ZDTC=^BAC^90°,

■:DT〃AB、BD=DC,

：.AT=TQ

：.EA=EC=ED,

：.ZEDC=/ECD,

'：EHLCD.

：.CH=DH,

DE//AB.

:"EDC=/B,

：./ECD=/B,

cosZECH=cosB=—,

4

•・•C-H—_1―,

EC4

•EC_EC=2

"AD_CD-，

故选：D.

【母题来源】（2021•浙江绍兴）

【母题题文】如图，在△ABC中，AB=AC,NB=70°,以点C为圆心，C4长为半径作弧，交直线BC于

点P,连结AP,则NBAP的度数是.

【分析】根据等腰三角形的性质可以得到△ABC各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨

论的方法求出/BAP的度数即可.

【解答】解：如右图所示，

当点P在点B的左侧时，

"：AB=^AC,/48C=70°,

/.ZACB=ABC=10°,

...N8AC=180°-ZACB-ZABC=180°-70°-70°=40°,

VCA=CPi,

1800-ZACPiIgo。_7o。

：.ZCAP\=ZCP\A=--------------——L2_

22

：.ZBAP\=ZCAP\-ZCAB=55°-40°=15°；

当点尸在点。的右侧时，

'：AB=AC,ZABC=70°,

AZACB=ZABC=10°,

AZBAC=1800-ZACB-ZABC=180°-70°-70°=40°，

-：CA=CP2,

：.ZCAP2=ZCPiA=/A'退=12_=35°,

22

Z=ZCAP2+ZCAB=350+40°=75°；

由上可得，NBAP的度数是15°或75°,

故答案为：15°或75°.

【母题来源】(2021•浙江绍兴)

【母题题文】如图，在△ABC中，ZA=40°,点。，E分别在边A8,AC上，BD=BC=CE,连结C£),

BE.

(1)若NABC=80°,求/BDC,NA8E的度数：

(2)写出NBEC与N80C之间的关系，并说明理由.

【分析】(D根据等腰三角形的性质得到N8DC=/2C£>=工(180°-80°)=50°,根据三角形的

2

内角定理得到NAC8=180°-40°-50°=60°,推出△BCE是等边三角形，得到NE8C=60°,于是

得到结论；

(2)设N8EC=a,NB/)C=B，由于a=NA+NA8E=40°+ZABE,根据等腰三角形的性质得到NC8E

=NBEC=a,求得NA8C=NA8E+NCBE=NA+2NABE=40°+NABE,推出NC6E=N8EC=a,于

是得到结论.

【解答】解：(1)VZABC=80°,BD=BC,

：.ZBDC=ZBCD=1-(180°-80°)=50°,

2

VZA+ZABC+ZACB=ISO°,NA=40°,

A180°-40°-80°=60°,

•:CE=BC,

・•・△BCE是等边三角形，

：.ZEBC=60°,

：.ZABE=ZABC-ZEBC=80°-60°=20°；

(2)N6EC与NBOC之间的关系：ZBEC+ZBDC=110°,

理由：设N8EC=a,ZBDC=P，

在△ABE中，a=N4+NABE=40。+ZABE,

■:CE=BC,

:・NCBE=NBEC=a,

：.ZABC=NABE+NCBE=ZA+2ZAB£=40°+2ZABE,

在△3OC中，BD=BC,

：.ZBDC4-ZBCD+ZZ)BC=2P+4O°+2ZABE=180°,

Ap=70°-ZABEf

Aa+p=40°+NABE+70。-ZABE=\\0°,

AZBEC+ZBDC=110°.

福题解密

【试题分析】以上试题重点考察了等腰三角形的性质与判定；

【命题意图】等腰三角形的性质与判定是初中数学中较为重要的考点，中考中通过单独出题或者结合出题,

考察考生对该几何图形性质和判定的掌握情况，以及在此基础之上的变通；

【命题方向】等腰三角形这个考点，浙江中考中对其性质的考察，简单问题多考察等边对等角，负责问题

则主要考察其“三线合一”的性质应用；而对等腰三角形的判定方法，除了理解等角对等边这个性质之外,

还需要多注意的是“三线合一”的你运用。因为等腰三角形的性质非常重要，所以，选择、填空题以及简

答题都有可能出题，但是压轴题的话，经常是和其他几何图形如函数、矩形等结合在一起出题的。在试卷

中的占分也比较多，需要考生在复习的时候给予特别的重视。

【得分要点】

一.等腰三角形的性质和判定

定义有两边长相等的三角形是等腰三角形，相等的两边长叫做腰，第三

边叫做底

轴对称性：一般等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴

性质等边对等角

三线合一（顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合）。

判定①定义法；②等角对等边

☆:特别注意：当一个三角形的角平分线与高线，或者中线出现重合时，虽然不能直接得等腰三角形,

但是也可以用三角形全等来证明该三角形是等腰三角形。

二.等边三角形的性质和判定

定义三边长都相等的三角形是等边三角形

轴对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴

性质等边三角形三个角都相等，分别都等于60°

三线合一（等边三角形三边上均存在三线合一）。

定义法

判定有两个角相等的等腰三角形是等边三角形

有两个角等于60°的三角形是等边三角形

☆:等边三角形面积的求解方法：S正三角形=?边长2

考向2角平分线的性质与判定

画题呈现

【母题来源】（2021•浙江湖州）

【母题题文】如图，已知在△A8C中，ZABC<90°,ABWBC,BE是4c边上的中线.按下列步骤作图:

①分别以点B,C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M,N；②过点M,N作直

线MN,分别交BC,BE于点D,O；③连接CO,DE.则下列结论错误的是（）

A.OB=OCB.ZBOD^ZCODC.DE//ABD.DB=DE

【分析】利用基本作图得到MN垂直平分BC,根据线段垂直平分线的性质得到O8=OC,BD=CD,OD

1BC,则可对4选项进行判断，根据等腰三角形的“三线合一”可对8选项进行判断；根据三角形中位

线的性质对C选项进行判断；由于£>E=LB,BD=LC,AB^BC,则可对。选项进行判断.

22

【解答】解：由作法得MN垂直平分BC,

：.OB=OC,BD=CD,ODA.BC,所以A选项不符合题意：

/.0D平分NBOC,

:.NBOD=/COD,所以8选项不符合题意；

'：AE=CE,DB=DC,

...QE为8c的中位线，

：.DE//AB,所以C选项不符合题意；

DE^AB,

2

而BD^l-BC,

2

■：AB^BC,

:.BDWDE,所以。选项符合题意.

故选：D.

【母题来源】（2021•浙江温州）

【母题题文】如图，8E是△ABC的角平分线，在A8上取点。，使£>B=OE.

(1)求证：DE//BCi

(2)若NA=65°,ZAED=45°,求NEBC的度数.

D

B

【分析】(1)根据角平分线的定义可得/。3石=/破。，从而求出/。右3=/砧。，再利用内错角相等,

两直线平行证明即可；

(2)由(1)中可得到NC=NAEQ=45°,再根据三角形的内角和等于180°求出N48C,最

后用角平分线求出NO8E=NE8C,即可得解.

【解答】解：(1);BE是△48C的角平分线，

JNDBE=NEBC,

•:DB=DE,

，/DEB=NDBE,

:・NDEB=NEBC,

：.DE//BC；

(2)VDE//BC,

AZC=ZAED=45°,

在△ABC中，ZA+ZABC+ZC=180°,

ZABC=1800-ZA-ZC=180°-65°-45°=70°.

*/BE是△ABC的角平分线，

/DBE=NEBC=/NABC=35°-

【母题来源】(2021•浙江宁波)

【母题题文】【证明体验】

(1)如图1,AO为△ABC的角平分线，/A£>C=60°,点E在A8上，AE=AC.求证：OE平分乙4OB.

【思考探究】

(2)如图2,在(1)的条件下，尸为AB上一点，连结尸C交A。于点G.若FB=FC,DG=2,CD=3,

求的长.

【拓展延伸】

(3)如图3,在四边形4BCO中，对角线AC平分/BAD,/BCA=2/OC4,点E在AC上，NEDC=

ZABC.若BC=5,CD=275-AD=2AE,求AC的长.

AA

A

【分析】(1)由4£4。岭^^^4。得/4。£：=/4^^=60°,因而N8/)E=60°,所以。E平分乙4。8；

(2)先证明△BOEs^CDG,其中C£>=ED,再由相似三角形的对应边成比例求出BD的长;

(3)根据角平分线的特点，在AB上截取4F=4Z),连结CF,构造全等三角形和相似三角形，由相似三

角形的性质求出AC的长.

【解答】(1)证明：如图1,：A£>平分/54C,

：.ZEAD=ZCAD,

\'AE=AC,AD=AD,

:.△EADQACAD(SAS),

.•.N4OE=N4OC=60°,

VZBD£=180°-ZADE-ZADC=180°-60°-60°=60°,

Z.ZBDE=ZADE,

.•.DE平分乙4£>B.

(2)如图2,,:FB=FC,

：.NEBD=NGCD；

；NBDE=NCDG=60°,

:ABDEs^CDG,

.BDDE.

"CD"DC'

E2

'：/\EAD^/\CAD,

,.DE=CD=3,

：DG=2,

DG22

(3)如图3,在48上取点F,ftAF=AD,连结CF.

平分NBA。,

：.ZFAC^ZDAC,

■：AC^AC,

：./^AFC^/\ADC（SAS^,

：.CF=CD,ZFCA=ZDCA,ZAFC=ZADC,

'：ZFCA+ZBCF=ZBCA=2ZDCA,

：.ZDCA^ZBCF,

即NDCE=N8CF,

NEDC=ZABC,即ZEDC=NFBC,

：./\DCE^/\BCF,

.•.史/DEC=NBFC,

BCCF

,:BC=5,CF=CD=2席,

22

.rr_CD（2V5）4

BC5

VZAED+ZDEC=1SO°,NAFC+NBFC=180°,

NAED=ZAFC=ZADC,

•.•/E4O=/D4C（公共角），

：.XEADs匕DkQ

.AEAD_1

"AD"AC2"

：.AC=2AD,AD=2AE,

.•.AC=4AE=&E=1X4=11.

333

福题解密

【试题分析】以上题目均考察了角平分线的性质定理和解题策略；

【命题意图】角平分线的性质定理是独立与图形之外的一个基本性质定理，通过在不同图形中出现，可以

多方面考察考生对角平分线处理策略及其他几何图形性质的掌握情况；

【命题方向】角平分线的性质定理及逆定理是几何图形中较为常见的一类考点，出题时常以尺规作图的描

述语言来说明角平分线，出题类型可大可小，因为它是某一个角的角平分线，可以单独出选择填空题，也

可以出现在如等腰三角形的解答题中，是个性质比较固定，但是考察形式比较灵活多变的一个考点。

【得分要点】

一.角平分线的性质定理与判定定理

性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

二.角平分线的常见应用策略

知识必备：

1.角的对称性

2.角平分线性质定理与判定定理

3.“三线合一”逆定理

4.圆周角定理及其推论

常规策略:

一.角平分线+〃一等腰△

除别地：①AD为角平分成；（2）DEIIAB;③AE=ED

者以上3个条件中有2个成立，则媚余的那个就会成立。

KP：三条件摘兄“知2容1”

☆其中：

1.平行线的引入方法常见的有：

①直接给出的平行；②平行四边形及特殊平行四边形；③梯形的上下底边；

④辅助线作出的平行；⑤其他条件证明得到的平行；

2.当等腰△是结论时，常接着用等腰△的性质；

1.“知2得1”在圆中应用时，常用“角平分线+等腰f〃"，进而得某角=RtN,

证直线与圆相切。

二.角平分线+_Lf等腰△；

（即“三线合一”的你应用，此类问题常和圆的性质结合考察）

三.见角平分线，作双垂f得全等或线段相等，亦可以用;

（作“_L”，即作“高”；有“高”想“面积”，进而拓展想“等积法”；

再往后还可延伸“平行线等积模型”、面积比=底边之比等）

其中，“得线段相等”是因为其性质定理；更深一步

：的应用方向可以是：

j①用于“等量代换”；②再证全等的条件；③将“双垂”

i看作“双高线”，进而得两个△面积之间的关系；④当角上之二一一解?直

平分线多于1条时，可能要结合其判定定理证其他线也是

iLz

四.见角平分线，作对称

（即截长补短构全等）

五.圆中：由角平分线得角相等，进而推知1得4；

六.重要思想一倍半角模型:

与角平分线有关的问题，经常会出现“倍半角”关系，可利用“倍半角模型”解题。

基本图形:

一、知2得1型

二、对称全等型

一、角平分线相交型

考向3线段垂直平分线的性质与判定

福题呈现

【母题来源】（2021•浙江台州）

【母题题文】如图，在△4BC中，NACB=90°,AC<BC.分别以点月，8为圆心，大于LB的长为半

2

径画弧，两弧交于。，E两点,直线QE交8c于点F,连接AF.以点A为圆心，AF为半径画弧，交

8c延长线于点H,连接AH.若BC=3,则的周长为.

【分析】直接利用基本作图方法得出CE垂直平分A2力尸=A"再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分

线的性质得出AF+FC=BF+FC=AH+CH=BC,即可得出答案.

【解答】解：由基本作图方法得出：OE垂直平分A仇

则AF=BF,

可得AF=AH,ACLFH,

:.FC=CH,

：.AF+FC=BF+FC=AH+CH=BC=3,

：./\AFH的周长为:AF+FC+C”+A”=28C=6.

故答案为：6.

福题解密

【试题分析】此题考察了线段垂直平分线的尺规作图以及等腰三角形的性质；

【命题意图】和角平分线的性质定理一样，线段的垂直平分线的性质定理也是独立与几何图形之外的一个

性质定理，故可以在任何几何图形中出现，以上考题首先是为了考察考生对线段垂直平分线尺规作图方法

的了解，其次考察了其与等腰三角形的融合：

【命题方向】浙江中考数学中，线段垂直平分线的性质定理的考察几率并不大，而且多以选择填空题出现,

难度一般不大，主要从尺规作图，以及性质定理两个方面考察考生对线段垂直平分线的掌握情况。

【得分要点】

线段垂直平分线的性质定理与判定定理

性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。

判定定理：到线段两端的距离相等点在这条线段的垂直平分线上。

☆:角平分线与线段垂直平分线常见辅助线的区别:

角平分线：过点作到边的垂线段；

线段垂直平分线：连接两个端点

I.（2021春•永嘉县校级期中）如图，在△ABC中，ZC=50°,AC=8C,点。在4c边上，以AB,AD

为边作口ABED,则/E的度数为（）

【分析】根据等腰三角形的性质可得N4的度数，再根据平行四边形的性质即可得NE的度数.

【解答】解：；NC=50°,AC=BC,

：.ZA=ZABC=1-（180°-50°）=65°,

2

四边形ABED是平行四边形，

，/E=NA=65°.

故选：C.

2.（2021•东阳市模拟）如图，△ABC与△DE尸均为等边三角形，O为BC,E尸的中点，点。在边AC上,

则AO：8E的值（）

A.，V3：1B.V2：1C.5：3D.不能确定

【分析】连接04、OD,由已知可以推出毁推出△OOAs^EOS,根据锐角三角函数即可

OEOB1

推出A。：BE的值.

【解答】解：连接04、OD,如图，

「△ABC,△£>£；尸均为等边三角形，0为BC,E尸的中点,

：.AO1BC,DOLEF,

：.ZED0=3Q°,NBAO=30°,

.ODOAV3

••'=-f

OEOB1

,：ZDOE=ZAOB=90°,

ADOE-4EOA=ZAOB-ZEOA,

即/OCM=NEOB,

:.△DOAsAEOB,

.'.AD：BE=AO：OB=DO：E0=«：1.

故选：A.

3.（2021•温州）如图，O0平分NMON,A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半

径作弧，交ON于点8、C,再分别以点B、C为圆心，大于工BC的长为半径作弧，两弧交于点。、作直

2

线A。分别交OP、ON于点E、F.若/MCW=60°,EF=1,则。A=.

【分析】利用基本作图得到/A0F=9（T,再根据角平分线的定义得到NEO尸=30°,然后根据含30度

的直角三角形三边的关系先求出。「，再求出OA的长.

【解答】解：由作法得AOLON于凡

AZAOF=90°,

‘：OP平分NM0N,

：.Z£OF=AzMO/V=Ax60°=30°,

22

在RtaOEF中，OF=y/3EF=-/3,

在RtZ\AOF中，NAOF=60°,

：.OA=2OF=2代

故答案为2a.

4.（2021•普陀区模拟）如图，在△4BC中，ZC=90°,/8=30°,以A为圆心，任意长为半径画弧交

AB于M、4C于N,再分别以M、N为圆心，大于工MN的长为半径画弧，两弧交于点P,连接4P并延

长交8C于。，下列四个结论:

①A。是NBAC的平分线;

②/A£)C=60°；

③点。在AB的中垂线上;

@S^ACD:SAACB=1:3.

其中正确的有（）

A.只有①@③B.只有①@④C.只有①③④D.①②③④

【分析】利用角平分线的性质以及各内角度数和三角形面积求法分别得出即可.

【解答】解：根据作图方法可得AO是NBAC的平分线，故①正确；

VZC=90°,ZB=30°,

：.ZCAB=60°,A

是NR4C的平分线，

：.ZDAC=ZDAB=30°,

AZADC=60°,故②正确；尸）'\

；/8=30°,ZDAB=30°,

：.AD=DB,

...点。在A8的中垂线上，故③正确；

VZCAD=30°,

：.CD=^AD,

2

,:AD=DB,

CD^DB,

2

CD=^CB,

3

S^ACD——CD'AC,S^ACB——CB,AC,

22

SAACD：SA4cB=1：3,故④正确，

故选：D.

5.（2021•乐清市一模）如图，在△A8C中，AB=AC,。是BC中点，将△AOC绕点A逆时针旋转90°

得△AEF,点。，C分别对应点E,F,连接CF.若/84C=62°,则NCFE等于（）

A.14°B.15°C.16°D.17°

【分析】由等腰三角形的性质可得8Q=C£>,NACB=NACB=59°,ADLBC,由旋转的性质可得AF

=AC,NCA尸=90°,ZAFE=ZACD=59°,即可求解.

【解答】解：：AB=AC,力是BC中点，NA4c=62°,

:.BD=CD,NAC8=N48C=59°,AD1BC,

•.,将△AOC绕点4逆时针旋转90°得

：.AF=AC,NCAF=90°,ZAFE=ZACD=59°,

；./AFC=45°,

AZCFE=59°-45°=14°,

故选:A.

6.（2021•温岭市一模）如图，已知NABC=26°,。是BC上一点，分别以8,。为圆心，相等的长为半

径画弧，两弧相交于点F,G,连接FG交AB于点E,连接EZ）,则N£>E4=.

【分析】利用基本作图得到E尸垂直平分8D,根据线段垂直平分线的性质得到EB=E£>,然后根据等腰

三角形的性质和三角形外角性质得到NOE4的度数.

【解答】解：由作法得EF垂直平分8。，

：.EB=ED,

:.ZEDB=NB=26",

:.NDEA=NB+NEDB=26°+26°=52°.

故答案为52°.

7.（2021•越秀区模拟）如图，已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.

步骤1：以C为圆心，C4为半径画弧①；

步骤2：以8为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点。;

步骤3：连接A。，交BC延长线于点

A.垂直平分线段AOB.AC平分/BAO

C.SMBC—BC'AHD.AB=AD

【分析】根据已知条件可知直线8c是线段4。的垂直平分线，由此一一判定即可.

【解答】解：A、正确.如图连接CD、BD,

：CA=mBA=BD,

...点C、点8在线段AD的垂直平分线上，

直线BC是线段AD的垂直平分线，

故A正确.

B、错误.C4不一定平分/8AD

C、错误.应该是

2

。、错误.根据条件A8不一定等于AD

故选：A.

8.（2021•南沼区模拟）如图，面积为2的等边三角形A8C中，D,E,F分别是AB,BC,C4的中点，则

△OEF的面积是（)

【分析】根据三角形中位线定理得到迈=里=典_=工证明△OEFs/\c4B,根据相似三角形的性质

BCABAC2

解答即可.

【解答】解：E,F分别是A8,BC,CA的中点，

.DE_EF_DE_1

••,---f

BCABAC2

:ADEFSACAB,

.SADEF_z1x2-1

•(,-\—)——,

2AABC24

「△ABC的面积=2,

，△。b的面积二工，

2

故选：B.

9.(2021•宁波模拟)如图，点B,。在x轴正半轴上，点A,C在函数y=K(A>0,x>0)的图象上，

x

S.

AO=AB,CB=CD,且O4〃C8,设△AOB,△C8O的面积分别为S,Si,则一工的值为_______；当女

So

=4时;S2的值为

【分析】过点A作AE_Lx轴于E,过点C作CF_Lx轴于F,设A(a,上)，C(6,K),由。4〃C8,

ab

可得NAOE=NC8F,进而可得tanN4OE=tanNC8F,应用三角函数定义即可得到户-2"-/二。，解

得〃=(1逆)。，再根据三角形面积公式分别求得Si=k,S2=(3-2V2)k,从而可得答案.

【解答】解：如图，过点A作轴于£,过点C作CFLx轴于F,

设A(小K),

a

：・OE=a,AE=—,

a

'：OA=AB,AE.LOB,

OE=BE=a,

：.B(2m0),

设。出K),

b

：,OF=b,CF=上,

b

：.BF=OF-OB=b-2a,

'：OA//CB,

：.NAOE=/CBF,

tan/AOE=tanZCBF,

.AE=CF

**0EW

；.AE・BF=CF・OE,B|J：Cb-2a)

ab

整理得：b1-2ab-/=o,

解得：b\=(1+V2)a,b2=(1-V2)。(舍去)，

：.CF=^-=--^—=BF=b-2a=(l+亚)a-2a=(&7)a,

b(l-h/2)aa

：.BD=2BF=2(V2-1)a，

：.C((1+V2)a，(V2-1)—)，

a

Si=Lo83E=Lx2〃xK=k,

22a

S2^-BD*CF=-^X2(V2-1)aX(6-1)K=(3-2&)k,

22a

A———k=3+2企,

52(3-2V2)k

当k=4时，S2=(3-2A/2)X4=12-8&.

故答案为：3+2加：12-8注.

9.(2021•浙江模拟)如图，在平面直角坐标系中，AB=AC=5,点B和点C的坐标分别为(-2,0),

(4,0),反比例函数y=K(x>0)的图象经过点A,且与AC相交于另一点。，作4E_LBC于点E,

交BD于点F,则点F的坐标为

【分析】由AB=AC、AE_LBC得到4E的长度和点A的坐标，再求出A的大小和直线AC的解析式，再

求出点。的坐标，从而得到宜线BD的解析式，最后再求出点F的坐标.

【解答】解：••,点B和点C的坐标分别为(-2,0),(4,0),

：.BC=6,。8=2,

：AB=AC=5,AEJ_x轴,

\BE=CE=3,

'.OE=BE-OB=1,AE=4,

(I,4),

\k=\X4=4,

•.反比例函数的解析式为y=匹,

X

设直线AC的解析式为丫=履+儿则

k=4

k+b=4,解得：，

4k+b=0

416

二直线AC的解析式为y=---v-+--,

33

416

x2=3

xl=l

由，”-得一

4了1=4'4，

y2=3

二点。的坐标为(3,A),

3

设直线BD的解析式为y—mx+n,则

4

c_4m"15

3mg可，解得：＜

8

-2m+n=0n"15

...直线BD的解析式为y=-Lx+_§_,

'1515

当x=l时，+—

15155

...尸的坐标为（1,A）.

5

故答案为：a,A）.

5

10.（2021•普陀区模拟）如图，在△ABC中，AB^AC,NBAC=120°,E/为A3的垂直平分线，交BC

于点F,交AB于点E.求证：FC=2BF.

【分析】连接AF,结合条件可得到/B=NC=30°,N4FC=60°,再利用含30°直角三角形的性质

可得到A尸=8「=上。凡可证得结论.

2

【解答】证明:

连接4F,

尸为48的垂直平分线,

：.AF=BF,

又A8=4C,ZB4C=120°,

.；NB=NC=NBAF=30°,

AZMC=90°,

：.AF^^FC,

2

：.FC=2BF.

11.（2021•越秀区模拟）如图，在△ABC中，AB=AC.将AABC沿着BC方向平移得到△£>£：/,其中点E

在边BC上，OE与4c相交于点。

（1）求证：△OEC为等腰三角形；

（2）连接AE、DC、AD,当点E在什么位置时，四边形AECQ为矩形，并说明理由.

D

【分析】(I)根据等腰三角形的性质得出NB=NACB,根据平移得出A8〃CE,求出/8=NDEC,再

求出NAC8=NOEC即可；

(2)求出四边形AECO是平行四边形，再求出四边形AEC。是矩形即可.

【解答】(1)证明：

：.ZB=ZACB,

'：△A8C平移得到△£)£/,

：.AB//DE,

/8=ZDEC,

/.NACB=NDEC,

：.OE=OC,

即△OEC为等腰三角形；

(2)解：当E为8c的中点时，四边形AECO是矩形,

理由是：；48=4C,E为8c的中点,

：.AE±BC,BE=EC,

；/\ABC平移得到△OEF,

.'.BE//AD,BE=AD,

：.AD//EC,AD=EC,

四边形AECD是平行四边形,

'：AE±BC,

四边形AECO是矩形.

12.(2021春•温州月考)如图1,在等腰△ABC中，AC=BC=5,AB=6,点。是射线BC上的一点，且

在点C的右侧.当动点P从点A匀速运动到点B时，点Q恰好从点。匀速运动到点2.记AP=x,DQ

=y,且x,y满足关系式)，=宗.过点P作PEJ_AC于区连接PQ.

(1)求线段8的长.

(2)连接4。，求证：ABPQsRBAD.

(3)如图2,以CQ,CE为边在AC左侧作平行四边形CQFE,当点尸落在△ABC高所在直线上时，求

x的值.

(4)当PE平分FQ时，求x的值.

图1图2

【分析】(1)根据点P与点B重合求出x的值，再由y=lx将x的值转换为DB的长，即可求出CD