5.1.1任意角导学案

导学案【学习目标】1.理解任意角的概念．2．掌握终边相同角的含义及其表示．(重点、难点)3．掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易混点)【自主学习】一.任意角1.角的概念：角可以看成平面内一条绕着它的端点所成的.2.角的表示：如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：，终边：，顶点.3.角的分类：名称定义图示正角一条射线绕其端点按

方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按

方向旋转形成的角零角一条射线

做任何旋转形成的角这样，我们就把角的概念推广到了任意角（要注意旋转方向和大小）。【答案】射线旋转图形逆时针顺时针没有二．象限角1.把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的在第几象限，就说这个角是第几_______；如果角的终边在，就认为这个角不属于任何一个象限.【答案】原点终边象限角坐标轴上象限角角的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限角{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}第三象限角{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限角{α|k·360°90°<α<k·360°,k∈Z}三．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.【答案】{β|β＝α＋k·360°，kZ}【当堂达标基础练】°~

360°范围内，找出与950°12解：-950°所以在0°~

360°范围内，与-950°y轴上的角的集合.解：在0°~

360°范围内,终边在y轴上的角有两个，即90°，270°.因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k∙360°，k∈S=S1∪S={β|β=90°+2k∙180°，y=x上的角的集合S.S中满足不等式-360°≤β≤720°的元素β有哪些？解：如图，在直角坐标系中画出直线y=x，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°~

360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个，45°，225°.因此，终边在直线y=xS中适合不等式-360°≤β≤720°的元素β有：45°-2×180°=-315°4.什么是锐角?它是几象限角，反过来成立吗?钝角呢？直角呢？解：5.今天是星期三,则7k(k∈Z)天后的那一天是星期几?7k(k∈Z)天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?解：7k(k∈Z)天后和7k天前的那一天都是星期三∵100=14×7+2∴100天后的那一天是星期五6.已知角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,请作出下列各角，并指出它们各是哪个象限的角？(1)420º,(2)－75º,(3)855º,(4)－510º解：【当堂达标提升练】一、单选题1．角－870°的终边所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限，故选C.2．在－360°～0°范围内与角1250°终边相同的角是()A．170° B．190°C．－190° D．－170°【答案】C【解析】与1250°角的终边相同的角α＝1250°＋k·360°，k∈Z，因为－360°＜α＜0°，所以－eq\f(161,36)＜k＜－eq\f(125,36)，因为k∈Z，所以k＝－4，所以α＝－190°.3．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()A．90°－α B．90°＋αC．360°－α D．180°＋α【答案】C【解析】因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角．4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在象限是()A．第一或第三象限 B．第一或第二象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限【答案】A【解析】当k＝0时，α＝45°为第一象限角，当k＝1时，α＝225°为第三象限角．5．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()A．第一象限角 B．第一、二象限角C．第一、三象限角 D．第一、四象限角【答案】C【解析】由题意知k·360°＜2α＜180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°＜α＜90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＜α＜90°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°＜α＜270°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第三象限．故α是第一或第三象限角．二、多选题6．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AD【分析】设出扇形所在圆的半径及其弧长，再由条件列出方程求解即可作答.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则解得或，又圆心角，所以或，故选：AD.7．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：）（

）A．B．若，扇形的半径，则C．若扇面为“美观扇面”，则D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为【答案】AC【分析】首先确定所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A正确；由可求得，代入扇形面积公式可知B错误；由即可求得，知C正确；由扇形面积公式可直接判断出D错误.【详解】对于A，与所在扇形的圆心角分别为，，，A正确；对于B，，，，B错误；对于C，，，，C正确；对于D，，D错误.故选：AC.8.已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（

）A．1 B．4 C．2 D．3【答案】AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为，弧长为，面积为S，圆心角为，则，，解得，或，，则或1．故C，D错误.故选：AB．9．（

）A．是正数 B．是负数 C．大于 D．大于【答案】ACD【分析】根据弧度的含义，判断2弧度的角是第二象限角，由此可判断答案.【详解】由于，故2弧度的角是第二象限角，则，故A正确，B错误；，，故,故C，D正确；故选：ACD三、填空题10．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.【答案】{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°＜α＜150°和210°＜α＜330°.所以α∈{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°＜α＜(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．11．与2019°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．【答案】219°－141°【解析】与2019°角的终边相同的角为2019°＋k·360°(k∈Z)．当k＝－5时，219°为最小正角；当k＝－6时，－141°为绝对值最小的角．12．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.【答案】k·360°＋60°(k∈Z)【解析】在0°～360°范围内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．四、解答题13．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．[解]与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z，可得k＝－1，故所求的最小正角为170°.(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角为－550°.14．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；(3)求A∩B.[解](1)角α终边所在区域如图(1)所示．(2)角β终边所在区域如图(2)所示．图(1)图(2)(3)由(1)(2)知A∩B＝{γ|k·360°＋45°＜γ＜k·360°＋55°，k∈Z}.【当堂达标素养练】一、单选题1．已知θ为第二象限角，那么eq\f(θ,3)是()A．第一或第二象限角B．第一或第四象限角C．第二或第四象限角D．第一、二或第四象限角【答案】D【解析】∵θ为第二象限角，∴90°＋k·360°＜θ＜180°＋k·360°，k∈Z，∴30°＋k·120°＜eq\f(θ,3)＜60°＋k·120°，k∈Z，当k＝0时，30°＜eq\f(θ,3)＜60°，属于第一象限，当k＝1时，150°＜eq\f(θ,3)＜180°，属于第二象限，当k＝－1时，－90°＜eq\f(θ,3)＜－60°，属于第四象限，∴eq\f(θ,3)是第一、二或第四象限角．2．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为()A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z【答案】B【解析】法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.故α与β的关系为α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.法二：(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.二、填空题3．终边落在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合为________．【答案】{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}【解析】如图所示终边落在射线y＝eq\r(3)x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝eq\r(3)x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．于是终边落在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．4．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.【答案】270°【解析】由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.三、解答题5．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．[解]由题意可知：α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β为锐角，∴0°＜α＋β＜180°.取k＝1，得α＋β＝80°，①α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.∵α，β为锐角，∴－90°＜α－β＜90°.取k＝－2，得α－β＝－50°，②由①②得：α＝15°，β＝65°.6．已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮顺时针转动一周时，小轮转动的角是多少度？多少弧度？如果大轮的转速是150r/min，小轮的半径为10cm，那么小轮圆周上的点每秒转过的弧长是多少？【答案】小轮转动的角是，弧度，小轮圆周上的点每秒转过的弧长为cm【分析】通过相互咬合的两个齿轮转动的齿数相同，得到小轮转动的角度，再通过大轮的转速，得到小轮的转速【详解】由题意得，相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，所以当大轮旋转一周时，大轮转了48个齿，小轮转了20齿，所以小轮转动了周，即，，所以当大轮的转速为150r/min时，小轮的转速为r/min，所以小轮圆周上的点每秒转过的弧度数为，因为小轮的半径为10cm，所以小轮圆周上的点每秒转过的弧长cm7．某企业欲