第21讲-正弦定理和余弦定理(讲义版)

第21讲-正弦定理和余弦定理考情分析1.掌握正弦定理、余弦定理.2.能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数一解两解一解一解无解[微点提醒]1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.经典例题考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝eq\r(6)，c＝3，则A＝________.(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则A＝()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3) C.eq\f(5π,6) D.eq\f(2π,3)(3)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为eq\f(a2＋b2－c2,4)，则C＝()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)【解析】(1)由正弦定理，得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(\r(6)×\f(\r(3),2),3)＝eq\f(\r(2),2)，结合b<c得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°.(2)∵(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，∴由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c－b)，即b2＋c2－a2＝bc.所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3).(3)因为a2＋b2－c2＝2abcosC，且S△ABC＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，所以S△ABC＝eq\f(2abcosC,4)＝eq\f(1,2)absinC，所以tanC＝1.又C∈(0，π)，故C＝eq\f(π,4).规律方法1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.考点二判断三角形的形状【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(c,b)<cosA，则△ABC为()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定【解析】(1)由eq\f(c,b)<cosA，得eq\f(sinC,sinB)<cosA，又B∈(0，π)，所以sinB>0，所以sinC<sinBcosA，即sin(A＋B)<sinBcosA，所以sinAcosB<0，因为在三角形中sinA>0，所以cosB<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝eq\f(π,2)，∴△ABC为直角三角形.规律方法1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.考点三和三角形面积、周长有关的问题角度1与三角形面积有关的问题【例3－1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋eq\r(3)cosA＝0，a＝2eq\r(7)，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.【解析】(1)由sinA＋eq\r(3)cosA＝0及cosA≠0，得tanA＝－eq\r(3)，又0<A<π，所以A＝eq\f(2π,3).由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·coseq\f(2π,3).即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝eq\f(π,2)，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝eq\f(π,6).故△ABD与△ACD面积的比值为eq\f(\f(1,2)AB·ADsin\f(π,6),\f(1,2)AC·AD)＝1.又△ABC的面积为eq\f(1,2)×4×2sin∠BAC＝2eq\r(3)，所以△ABD的面积为eq\r(3).角度2与三角形周长有关的问题【例3－2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB＝eq\r(3)bcosA.若a＝4，则△ABC周长的最大值为________.【解析】由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可将asinB＝eq\r(3)bcosA转化为sinAsinB＝eq\r(3)sinBcosA.又在△ABC中，sinB>0，∴sinA＝eq\r(3)cosA，即tanA＝eq\r(3).∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).由余弦定理得a2＝16＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2)))eq\s\up12(2)，则(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(当且仅当b＝c＝4时等号成立)，∴△ABC周长＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，即最大值为12.规律方法1.对于面积公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.[方法技巧]1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在△ABC中，若a2＋b2<c2，由cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，可知角C为钝角，则△ABC为钝角三角形.4.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论.另外三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象.5.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.课时作业1．（2020·安徽省舒城中学高一月考（文））在中，，，，则（）.A．30° B．45° C．45°或135° D．60°2．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）在中，分别为的对边，，这个三角形的面积为，则（）A． B． C． D．3．（2020·浙江省高一期中）在中，内角、、所对的边分别为、、，，则（）A． B． C．或 D．4．（2020·金华市江南中学高一期中）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=()A．5 B． C．2 D．15．（2020·全国高三（文））在锐角中，若，则的范围（）A． B． C． D．6．（2020·全国高三（文））在△ABC中，如果，那么cosC等于（）A． B． C． D．7．（2020·山东省枣庄八中高一开学考试）在中，，，其面积为，则等于()A． B． C． D．8．（2020·四川省高三二模（文））的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的值为（）A． B． C．2 D．9．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学高二月考（理））在中，内角A，B，C所对的边分别为.已知则A． B． C． D．10．（2020·金华市江南中学高一期中）在中,内角所对的边分别为若,,,则的长为()A． B． C． D．11．（2020·浙江省高二学业考试）已知的三个内角，，所对的三条边为，，，若，则（）A． B． C． D．12．（2020·威远中学校高一月考（文））在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=()A． B． C． D．113．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））在三角形中，，，分别为角，，的对边，且满足，则（）A． B． C． D．14．（2020·山东省高三其他）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin3°的近似值为（）(取近似值3.14)A．0.012 B．0.052C．0.125 D．0.23515．（2020·全国高三（文））在中，若，则的形状是（）A．C为直角的直角三角形 B．C为钝角的钝角三角形C．B为直角的直角三角形 D．A为锐角的三角形16．（2020·四川省成都外国语学校高一期中（文））在锐角中，，则的取值范围是（）A． B． C． D．17．（2020·四川省高一月考（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，当面积最大时，此时的为（）A．直角三角形 B．钝角三角形C．等边三角形 D．不能对形状进行判断18．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三其他（文））已知的三个内角，，所对的边分别为，，，的外接圆的面积为，且，则的最大边长为（）A．3 B．4 C．5 D．619．（2020·辽宁省高三月考（文））已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，，，则（）A． B． C． D．20．（2020·威远中学校高一月考（文））在中，内角的对边分别为，若的面积为，且，则外接圆的面积为（）A． B． C． D．21．（2020·山东省高三其他）已知同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④．（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求的面积．22．（2020·山东省枣庄八中高一开学考试）一道题目因纸张破损，其中的一个条件不清楚，具体如下：在中，已知，_______，，经过推断破损处的条件为该三角形一边的长度，且该题的答案为，那么缺失的条件是什么呢？问题：（