高考2023人教A版高中数学变式题5

5.2导数的运算

第五章一元函数的导数及其应用

5.2导数的运算

5.2.1基本初等函数的导数

例1求下列函数的导数：

2

(1)y=%3；

(2)y=log2x.

r

解：(1)y==|%3-1=|%-3；

⑵/=(iog2xy-^.

例2假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位：元)与时间t(单位：

年)有如下函数关系

P(O=Pot1+5%y,

其中Po为t=0时的物价.假定某种商品的p0=l,那么在第10个年头，这种商品的价

格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)？

解：根据基本初等函数的导数公式表，有

p'(t)=l.OSHnI.OS.

所以

pz(10)=1.05lolnl.05*0.08.

所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.

练习

1.求下列函数的导数：

(i)y=3

(2)y=Vx^

(3)y=3X

(4)y=(j)x

(5)y=log4x

(6)y=logix

2

【答案】(l)y'=-4x-5

1

(2)yz=4

(3)y'=3xln3

(4)y'=(^)zln1

⑸丫'=氏

(6)y'=表

【分析】根据基本初等函数函数的导数公式计算可得；

(1)

解：因为y=3=X-4,所以y，=(x-4)，=一4厂5；

(2)

解：因为y==所以y，=(句=1%3；

(3)

解：因为y=3,所以俨=3，1113；

(4)

解：因为'=©尸，所以y，=G)xin3

(5)

解：因为y=log4%，所以y'=[7；

(6)

解：因为y=log±x,所以y'=%==篇；

2.求下列函数在给定点的导数：

(1)y=在％=3处的导数；

(2)y-Inx在x=|处的导数；

(3)y=sinx在％=27r处的导数；

(4)y—e*在％=0处的导数.

【答案】⑴/(3)=405；(2)f(|)=I；(3)f'(2n)=1；(4)f(0)=1.

【分析】运用求导公式对所给函数进行求导，然后再求所求点的导数值.

【详解】(1)因为y=%5,所以y，=5x4，所以在x=3处的导数为尸(3)=5x34=405；

(2)因为y=lnx,所以y，=：,所以在x=|处的导数为/(|)=|；

(3)因为y=sinx,所以y'=cos%，所以在％=2兀处的导数为f'(2TT)=cos27r=1；

试卷第2页，共14页

(4)因为y=ex,所以y'=ex,所以在％=0处的导数为r(0)=e°=1.

3.求余弦曲线、=cos%在点G，0)处的切线方程.

【答案】y=—%+]

【分析】求导得y=cosx的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得切线方程.

【详解】因为y=COST,则y'=-sinx,

可得曲线y=cosx在点©,0)处的切线斜率为k=-1,

则曲线y=cosx在点(],0)处的切线方程为y=-%4-p

故答案为：y=—x+今

1

4.求曲线、=位在点(4,2)处的切线方程.

【答案】y=：x+1

【分析】先求导数，然后求出切线的斜率，即可得到切线方程.

【详解】解：•♦•/=#：=康

"y，1x=4=壶=；'

1

:.k=一

4

所以切线方程为y—2=；(x—4),即y="+l

5.2.2导数的四则运算法则

例3求下列函数的导数：

(1)y=%3—%4-3；

(2)y=2*+cosx.

解：⑴=(%3-%+3)z

=(7丫-(步+(3丫

=3x2-1；

(2)y'=(2"+cosxy

=(2")'+(cos%)，

=2x\n2—sinx.

例4求下列函数的导数：

(1)y=x3ex；

解：(1)yl=(%3ex)z

=(%3)zex+x3(ex)z

=3x2ex4-x3ex.

⑵V=(誓)’

(2sinx),x2—2s\nx(^x2y2x2cosx-4xsinx

一(x2)2-x4

2xcosx-4sinx

=,

例5日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用

不断增加.已知将It水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为

C(x)=-^-(80<x<100).

求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：

(1)90%；(2)98%.

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.

c(乃=(wO^)

_5284'x(100-x)-5284x(100-x)f

=(100-x)2

_0x(100-%)-5284x(-1)

二(100-%)2

5284

一(100-X)2*

(1)因为c'(90)=就徐=52.84,所以，净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时

变化率是52.84元/吨.

(2)因为c'(98)=谭施=1321,所以，净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时

变化率是1321元/吨.

函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知，

c'(98)=25c'(90).它表示净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化

到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净

化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.

练习

1.运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则，重新求解5.1节例2.你是否感觉

到运算法则给解题带来的方便简捷？

5.求下列函数的导数：

(1)y=2x3—3x2—4；(2)y=3cosx+2X；(3)y=ex\nx

试卷第4页，共14页

(4)y=(x2+2x)Vx；(5)y=(6)y=tanx

【答案】(1)y'=6%2—6x；(2)yr=-3sinx+2X-ln2；(3)yf=ex\nx+y；(4)

yr=-X2+3%2；(5)yr=―?%；(6)y'=

J2'X2，cos2%

【分析】运用导数求导法则直接求导即可得到结果.

［详解】(1)y'=6%2—6x

(2)y'=-3sinx+2X-ln2

(3)y'=ex\nx+—

X

(4)yr=(2x4-2)Vx4-1(%2+2x)x-2

531

=-%2+3%2

i-lnx

(5)y

.、，xSinx.,

丫r=r(tan%)=(—)

cosxcosx+sinxsinx

cos2x

1

cos2%

6.求曲线y=/+：在点(1,4)处的切线方程.

【答案】x+y-5=0

【分析】先求解出尸(x),然后求解出/'(1)/(1),由此可写出切线的点斜式方程并将其

转化为一般式方程.

【详解】因为/=((%)=2%-5，所以r(1)=2—3=-1,/(I)=1+3=4,

所以切线方程为：y-4=-(x-l),

即为％+y—5=0.

5.2.3简单复合函数的导数

例6求下列函数的导数：

(1)y=(3%+5＞；

05x+1

(2)y=e-0；

(3)y=ln(2x—1).

解：(1)函数y=(3x+5)3可以看作函数y=〃3和〃=3%+5的复合函数.根据复合函

数的求导法则，有

y'x=兀•优工

=(7)'-(3x+5y

-3u2x3

=9(3x+5产

(2)函数y=可以看作函数y=e"和u=-0.05x+1的复合函数.根据复合函

数的求导法则，有

匕=y'u'

=(eu)/•(-0.05%+1)'

=-0.05eu

=-0.05e-°O5x+1.

(3)函数y=ln(2x-l)可以看作函数y=lnu和&=2久一1的复合函数.根据复合函数

的求导法则，有

=y'u'u，x

=(Ina)'•(2x-1)'

1

=2x-

u

2

=----.

2X-1

例7某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)关于时间t(单位：s)的函数

满足关系式y=18sin(点t-].求函数y在t=3s时的导数，并解释它的实际意义.

解：函数y=18sin得t可以看作函数y=18sinu和u=乎一/的复合函数，根据

复合函数的求导法则，有

y't=y'u'*

,/2TT7l\

=(18sinu)-t--J

2n

=18cosux—

3

=127TCOS管t—

当£=3时,y't—127rcos(?)=0.

它表示当t=3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为Omm/s.

练习

7.求下列函数的导数：

⑴、=焉5

(2)y=(1—2%)3

试卷第6页，共14页

(3)y=log2(2x+1)

x

(4)y=cos-

(5)y=sin(y-3x)

(6)y=22x—1

【答案】(1》'=一3(3刀+1)3

(2)y，=-6(1-2x)2

⑶y，=——-——

(2x+l)ln2

(4)/=-|sin|

(5)y'=3sin3x

(6)y'=4xln4

【分析】根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数运算法则计算可得;

(1)

解：因为丫=焉?=2(3%+1)於所以/=[2(3%+1)目'=-3(3刀+1)号

(2)

解：因为y=(l—2%)3,所以/=[(1-2%)31=-6(1-2x)2

(3)

解：因为y=log2(2x+1)，所以y=[log2(2%+1)]'=苍岛莅

(4)

解：因为y=cosg,所以y，=(cosg)=-7sin|

(5)

解：因为y=sing-3x)=—cos3x,所以y'=(—cos3x)'=3sin3x

(6)

解：因为'=22工一1=空一1,所以V=(於一1)，=4，ln4

8.求下列函数在给定点的导数：

(1)y=e-2x-i在％=1处的导数；

(2)y=ln(5x+2)在x=1处的导数.

【答案】(1)-2e~2；(2)

【分析】(1)先根据复合函数的求导法则求解出y=e-2x-i的导函数y，，然后将％代

入导函数计算出结果即可；

(2)先根据复合函数的求导法则求解出y=ln(5x+2)的导函数/，然后将x=1代入

导函数计算出结果即可.

【详解】(1)因为y=e-2x-1可以看作函数y=〃和观=—2x—l的复合函数，

所以为，=%'ux，=(eU)'・(-2x_l)'=_2eU=_2e-2xT,

2

所以当x=g时，yx'=-2e~-,

(2)因为y=ln(5x+2)可以看作函数y=Inu^u=5x+2的复合函数，

所以以'=%'ux'=(lnu)J(5x+2)，=：=高，

所以当x=l时，yx'=

9.求曲线丫=反二彳在点(I，1)处的切线方程.

【答案】y=x+：

【分析】求出曲线y=快二！在点(|,1)处的切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线

的方程.

【详解】设y=/(%)=(3x-l)t则/(x)=3x|(3x-1)4=(3x-1)4,则/，修)=1,

因此，曲线y=四』在点(|,1)处的切线方程为y—1=x—|,即y=x+[.

习题：5.2

10.求下列函数的导数；

(l)y=2/—3x2+5

(2)y=-+—

JXx+1

(3)y=2*+log2x

(4)y=xnex

心二-I

⑸y==

/八sinx

⑹y=

【答案】(l)y'=6x2-6%

⑵V=-2x-2-4(%+1)-2

(3)/=2xln2+_l.

(4)y'=nxn~1ex+xnex

试卷第8页，共14页

3x2sinx-cosx(x3-l)

⑸y'=

sin2x

1

(6)y'

l+sin2x

【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得;

⑴

解：因为y=2炉-3/+5,所以y'=6/-6x；

⑵

解：因为y=：+士=2xT+4(x+l)T,所以；/=-2X-2—4Q+i)-2；

⑶

解：因为y=2*+log2%,所以y'=2町112+焉;

⑷

y=nxy'=(%n)'e*+nxfn1xnx

解:因为xe9所以x(e)=nx^e+xe；

(5)

解：因为y=W，所以y'=(x3-l),sinx-(sinx)/(x3-l)_3x2sinx-cosx(x3-l)

(sinx)2sin2x

(6)

解：因为、=缶？所以y'=(sinx)/(sinx+cosx)-(sinx+cosx)/sinx

(sinx+cosx)2

cosx(sinx+cosx)-(cosx-sinx)sinx

(sinx+cosx)214-sin2x

11.求下列函数的导数.

(l)y=(%+1)99

Y

⑵丫二标

(3)y=(2%—3)sin(2x+5)；

/八cos(3x-2)

(4)y=

(5)y=(3x+l)2ln(3x)

(6)y=3xe~3x.

【答案】⑴y'=99(%+1)98

V2X+1-X(2X+1)~2

Q)y，=

2x+l

(3)y'=2sin(2x+5)+(4%—6)cos(2x+5)

-6xsin(3x-2)-2cos(3x-2)

(4)y'

4x2

(5)y=6(3%+l)ln(3x)+

(6)y'=3xe-3xln3—3-3xe~3x

【分析】直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的导数

计算法则求解.

(1)

解：•••y=(x+1)99,.•.y'=99(x+l)98(x+l)'=990+1)98；

(2)

解：因为y=Y=,所以,=如空可一(竽=衍TT(2X+】N

(3)

解：因为y=(2x-3)sin(2x+5),所以y'=(2x-3),sin(2x+5)+(2%-3)[sin(2x+

5)]'=2sin(2x+5)+(4x-6)cos(2x+5)

(4)

二匚、Iz/

解AT,：口rrn为y=—cos—(3—x-，2)所以IIy=[cos(3x-2)]2x-(2x)cos(3x-2)=-6xsin(3x-2屈)-2cos(3x-2)

(5)

解：因为y=(3x+l)2ln(3x),所以y=[(3%+l)2]zln(3x)+(3%+l)2[ln(3x)]z=

6(3%+l)ln(3x)+

(6)

解：因为丫=3在-3¥,=(3xye-3x+3x(e-3xy=3xe-3x\n3-3-3xe-3x

12.已知函数/(x)=13-8x+齿广，且尸(殉)=4,求殉.

【答案】3V2

【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得；

【详解】解：因为f(x)=13—8X+&X2,所以尸(x)=-8+2鱼x,因为尸(x0)=4,

所以-8+2V2x0=4,解得X。=3V2

13.已知函数y=xlnx.

(1)求这个函数的导数；

(2)求这个函数的图象在点(1,0)处的切线方程.

【答案】(1)y'=Inx+1；(2)y=x-1.

【分析】(1)运用函数乘积的求导法则即可求出导数；(2)求导后计算出切线斜率，然

后计算出切线方程.

【详解】(1)由题意，y=xlnx

试卷第10页，共14页

1

・•・y,—Inx+%•一=In%+1

x

故函数y=xlnx的导数为;/=In%+1

(2)易知所求切线的斜率存在，设斜率为k,

f

则攵=y\x=i=Inl+1=1,

又当％=1时，y=0,

所以切点为(1,0),

则切线的方程为y-0=1x(%-1)

即y=%-1,

故这个函数的图象在％=1处的切线方程为y=%-1.

14.求曲线y=等在点处的切线方程.

【答案】%+Try-7T=0.

【分析】由题意可得y',并得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程.

【详解】由函数的解析式可得：yz=xcosysinx

JX；2,

所求切线的斜率为：k=丫匕=兀=江爷列竺=-%

由于切点坐标为(兀,0),故切线方程为：y=-i(x-7r),

即为％+Try—a=0.

15.已知函数f(%)满足/(%)=f'G)sinx-cosx,求/(x)在％=的导数.

【答案】V2+1

【分析】首先求出函数的导函数，再将x=f代入计算可得；

4

【详解】解：因为f(x)=f'C)sinx-cosx,所以/'(x)=/z(^)cosx+sinx,所以/=

/，G)cos7+sinr解得/'’(9=&+i

16.设函数/Q)=l-/的图象与x轴相交于点P,求曲线在点尸处的切线方程.

【答案】x+y=0

【分析】结合导数的几何意义即可.

【详解】令/(x)=l-ex=0得x=0,则点P的坐标为(0,0).

•.•/⑺=_〃，(0)=-1.

曲线在点P处的切线方程为y=—%,即％+y=0.

17.已知函数/(%)=/+2%-31n%,求/(久)的导数，并求出/'(%)>0的解集.

【答案】/。)=x+2-*/(x)>0的解集为(1,+8).

【分析】先求导函数，再解尸(%)>0,得到/'(%)>0的解集.

v2,、

【详解】f(x)=3+2x-31nx的定义域为(0,+00),

所以尸(x)=O+(2x)'—(31nx)=x+2—|=^(x2+2x-3)。

令『(x)>0,解得：x>1.

所以尸(x)>0的解集为：(L+oo)

18.氯气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500g氨气，那么f天

后，氨气的剩余量为4(t)=500x0.834tg.(参考数值lnO.834仪—0.1815,08347«

0.2806)

(1)氨气的散发速度是多少？

(2)4(7)的值是什么(精确到0.1)?它表示什么意义？

【答案】(l)A'(t)=500X0.834fln0.834

(2)H(7)«-25.5,表示在第7天附近，氧气大约以25.5克/天的速度自然散发.

【分析】(1)根据基本初等函数的导数公式计算可得；

(2)将t=7代入求值即可；

(1)

解：氨气的散发速度就是剩留量函数的导数.

"(0=500x0.834，，

4(t)=500x0.834fln0.834.

(2)

解：因为A'(t)=500X0.834cln0.834

所以4(7)=500x0.8347ln0.834«-25.5.

它表示在第7天附近，氯气大约以25.5克/天的速度自然散发.

19.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程/(单位：m)与时间，(单位：

s)满足关系式1(t)=2t2+|t.

(1)求关于，的导数，并解释它的实际意义；

(2)当t=3s时，求运动员的滑雪速度；

(3)当运动员的滑雪路程为38m时，求此时的滑雪速度.

【答案】(1)1'(t)=4t+|,它的实际意义是滑雪时在f时刻的瞬时速度；

试卷第12页，共14页

(2)—(m/s)；(3)—(m/s).

22

【分析】(1)求出Z'(t)由导数的几何意义可得答案；

(2)把t=3代入l'(t)可得答案；

(3)由题意得2t2+11=38,解得t代入厂(t)可得答案.

【详解】(1)由已知得/'(t)=4t+|,它的实际意义是滑雪时在f时刻的瞬时速度.

(2)因为F(t)=4t+|,所以1(3)=4x3+|=孑，

所以运动员的滑雪速度段(m/s).

(3)由题意得2t2+三t=38,解得t=4或1=-