初中数学八大模型练习题

2020中考专题——初中几何模型大全

一、辅助圆

模型1共端点，等线段模型

如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圜.

如图②，若OA=OB=OC,则/、B、C三点在以。为留心，为半径的圆上.

如图③，常见结论有：乙ACB二g乙AOB,乙BAC=*LBOC.

模型分析

•••OA=OB=OC,

A.B.C到点O的距离相等.

A.B.C三点在以O为圆心，CM为半径的圆上.

••LACB是AB的|M|周角，LAOB是AB的留心角，

•••上ACB=J乙AOB.

同理可证4乙8OC.

(1)若有共端点的•:条等线段，可考虑构造辅助圆.

(2)和浩铺助吃层方仲利川苗的柞脂抉i束解决体度同顺.

模型2直角三角形共斜边模型)

图①

模型分析,

如图①、②，RtMBC和&△"£»共斜边⑷S,取48中点O,

根据百角三角形斜边中线等于斜边一半，

可得：OC=OD=OA=OB,

•••A,B、U。四点共圆.

(1)共斜边的两个直角三角形,同侧或异侧，都会得到四点共圆;

(2)四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明

缶唐和笑市舞的徐若:>一

二、“8"字模型与飞镖模型

如图所示，AC.8D相交于点。,

连接/£)、BC.

结论：乙A+乙D=LB+乙C.

模型分析

证法一：；乙AOB是4A0D的外角,i正法二：•••Z4+乙。+44。£>=180°,

•••44+4。=18()°-Z.AOD.

••,4408是△BOC的外角，■■■48+4C+480c=180°,

•••乙B+/LC=£AOB.Zfl+ZC=180°~/_BOC.

■■-Z.A+LD=Z.B+/.C.乂•••LAOD=LBOC,

■■乙4+乙D=AB+乙C.

(1)因为这个图形像数字8,所以我们往往把这个模型称为8字模型.

raw曳微则往往#n何纬合目山wta缶农口#田到

模型2角的飞镖模型

如图所示，有结论:

乙D=AA+乙B+乙C.

模型分析

解法一：如图①，作射线4D

•••43是ZU8。的外角,

:.Z3=Z.fi+Zl.

・••44是△"1/）的外角，

44=ZC+N2.

•••Z.80c=43+44.

乙BDC=LB+乙1+乙2+乙C.

•••（BDC=LBAC+/.B+乙C.

解法二：如图②，连接8c

vZ.2+Z.4+Z.D=I8O\

r0=180*-（42+乙4）.

ZJ+42+ZL3+乙4+44=180°,

44+乙1+乙3=180°-（乙2+44）.

乙。=乙/+41+乙3.

(1)因为这个图形像《镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型.

(ok的出刑左n阳丹AM门山班》依rtHL+仙tu

模型3边的“8”字模型

如图所示，AC.8D相交于点0,

连接BC.

结论：AC+BD>AD+BC.

模型分析

vOA+OD>AD®

OB+OOBC®

由①+②得：

OA+OD+OB+OOBC+AD.

即：AC+BD>AD+BC.

模型4边的飞镖模型

如图所示有结论:

AB+AOBD+CD.

模型分析

如图，延长8。交力。于点及

••・4BMC"B+4E+EC,

AB+AE>BE,

・・・AB+AOBE+EC①

vBE+EC=BD+DE+EC,

DE+EOCD,

・•・BE+EC>BD+CD.②

由①②可得：

4R+4r>«n+rn

三、角平分线四大模型

模型1角平分线上的点向两边作垂线

如图.P是4/ON的平分线上一点，

过点P作以J.OM于点/,PBLON

于点8,贝i]P3=E4.

模型分析,

利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角

相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口.

，丁二Q中学数字

模型2截取构造对称全等

如图.尸是4MON的平分线上一点，点

/是射线匕任意一点，在ON上截取

OB=OA,连接P8,则△OP84ZSO/M.

模型分析,

利用角平分线图形的对称性,在用的两边构造对称全等二角形，可以得到对应边、对应

角相等.利用对称性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题坤巧............

、心「5Q中学收字

模型3角平分线+垂线构造等腰三角形

如图，P是aMCW的平分线上一点，APLOP

于尸点，延长/P交CW于点8,则△408是等

腰三角形.

模型分析,

构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进

而得到对应边、对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系r起来.....

£了3Q中宇窥字

模型4角平分线+平行线

如图,尸是乙MCW的平分线上一点，过P点作

PQ//ON,交OMJ：点。，则△P。。是等腰三角

形.

模型分析

有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线,构造等腰三角形,为证明结

论提供更多的条件，体现「角平分线与等腰三角形之间的密切关系.

'耗:「3Q中宇射学

四、截长补短

模型截长补短

ABCD

如图①，若证明线段/8、CD.£尸之间存在

I__|

EFEF=AB+CD,可以考虑破长补短法.

①

截长法：如图②，在E尸上截取EG=/8,再证明

|_1_|

EGFGF=CQ即

②

补短法：如图③，延长至，点，使BH=CD,

1_____L\

ABH再证明尸即可.

模型分析

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截K,指在长线段中截取一段等于已

知线段；补短，指将•条短线段延长，延长部分等于已知线段.该类题H中常出现等腰

三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完或证明过程.....

'七丁5Q卬字级字

五、手拉手模型

如图，是等腰三角形、ZU0E是等腰三角形，AB=AC,HE.乙BAC=LDAEr\

结论：连接8。.CE,则有△84〃金404£

模型分析

如图①.

LBAD=Z,BAC-^DAC.

LCAE=LDAE-LDAC.

vLBAC=LD.4E=a,

2BAD=/_CAE.

在△84。和△C4£中.

:.△BAD'^dCAE.

图②.图③同理可证.

(I)这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰：.角形构成.在相*i位过变化的同时.

始终存在一对全等三角形.

(2)如果把小等腰三角形的腺长看作小手，大等腰♦饱影的腰长看作大手，两个等股三

角形仃公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模笈.

(3)手拉手模型常和旋转结合,在考试中作为几何琮合题目出现.

N二T3Q中物学

六、三垂直全等模型

模型三垂直全等模型

如图.Z.D=Z.^C4=Z£=9(r.BC=AC

结论：RtA5CDRIAC4E

模型分析

说到三垂直模型，不得不说吓弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的

地位，很多利用垂直倒角,勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的

一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.

JfiH图形变形如下图③.图④,这也是由弦图演变而来的.

图③

:&T3Q申物学

七、将军饮马模型

模型1定直线与两定点

模型作法结论

A

//

/p

/

班的以小假为初

8B

当两定点46在真战/津连接”交用爱/于点尸，点

依时，在在线/上找一点九户即为所求件的点_

使用+尸8外小.

B/

\/

:/P1

1/

•zZ用印8的G小俏为.W

R

H'

当网定点8件H线/同作点8关L作线，的对称点".

但时，在直线/上找一点匕注接.48，交fl线/于点尸，点

使得PA+PB最小.P即为所求竹粕瓜

•A/

B・XX

---------------------/川-/词的的大值为，•仍

-----------------------/P1

当网定点/.8正直线“聪连接"并延长交直线“点

时.在反税”找点P,使2点。即为所求作的点.

鼎PA-PB|最尢

•A

/

/：_____________,

P:'

|四-加的最大侦为

・B'BIB'

当两定点8在自找/异M作点8关于直线/的对祢点比

时，在过我/上找一点巴他灯逢接4"井廷长交直线/于点

IPA-PH肽大.H点，即为所求作的点

上,

•A

B・

iP\|巴一尸8|的堀小值为0

\

\

模型2角与定点

模型作法结论

三pA

/A

°n\j

△PCD周氏的最小值为产产'

\(

、

---------------BP"

点。在乙内部,在。8分别作点P关于。4、OB

边上.找点“。”边上找点的对称点产.P",连接

C,使得△P。周长最小.PP,交。4、03千点C、

D.点C、。即为所求.

A

Z'

/.

o1a

n\:PMCD的最小值为PC

OB、1产

点P在乙4。8内部，(£OB作点］关于0®的对称点科

边上找点O,OA边上找点过产作PCICM交08于。.

C,使得PD+C。坡小.点C、点。即为所求.

AP'<

/;

OBPC+CD+DQ的hi小值为

尸。，所以四边形同

iP0"C

O,-------------------------8

Q'氏的最小值为「。+产。’

点P.。在4/O8内部，在分别作点R。关于04

“8边上找点“边1.08的对称点产.。'，连接

找点C,使得四边形P0DCPQ,分别交04。8于点

周长坡小,C,D.点C.。即为所求.

模型3两定点一定长

模型作法结论

A

AM+MN+NB的最

小值为A"B+d

如图，在直线/上找历、N两点将4向在平移d个单位到⑷，作4

（M在左），使得4M+MN+NB最关于/的对称点X”,连接与直线

小，Q.MN=d./交于点M将点N向左平移"个单

位即为点“、N即为所求.

如图,间距离为乩将/向下平移d个单位到连接，8

在人分别找“、N两点，使交直线《于点M过点N作MNLL，

得MN_L4，且AM+MN+NB最连接力".点M、N即为所求.

小.戈；TSQ中学数字

八、半角模型

模型半角模型:)

已知如图：

①42=■1•乙408；

②O4=OB.

连接FB,将△尸08绕点O旋转至的

位置，连接尸£FE,

可得△(?£■尸/△OEF".

模型分析,

,•■LOBF^^OAF,

:43=44,OF=OF.

•-•乙2=)乙4OB,

•••41+43=42.

二Z1+Z4=Z2.

又：0E是公共边，

•••LOEF^^OEF.

(1)半用模型的命名：存在两个角度是•半关系，并H这两个角共顶点;

(2)通过先旋整全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；

(3)常见的半角模型是90•含45\120♦含60*.

%:T3Q中学教学

九、蚂蚁行程

模型立体图形展开的最短路径

模型分析

上图为无底的圆柱体侧面展开图，如果蚂蚁从点4沿圆柱表面爬行一周，到点8的最短

路役就是展开图中48,的K,做此类题目的关键就是，正确展开立体

图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第二边”准确找出望曹冲学勤学

十、中点四大模型

模型1倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形

倍长中线

图①

模型分析

如图①，/£>是△48C的中线，延长4)至点E使。£=/。，易证：l^DC^LEDB(SAS).

如图②，。是8c中点，延长尸。至点£■使。£=尸£>,易证：△FD8义△EOC(SAS).

当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍K中线或类中线，构造全等三角形.FI的是对

已知条件中的线段进行转移.

论TSQ中学数学

模型2已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”

连接中线

等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线介•”的性质得

到角相等或边相等,为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边

等、角等、三线合一”.

~二丁二Q中学缴学

模型3已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理

取另一边中点

构造中位线

在三角形中,如果有中点，可构造三角形的中位线,利用三角形中位线的性质定理:

0E〃8C,且。来解题.中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系,

该模型可以解决角相等，线段之间的倍半.相等及平行问题.

七T3Q中学班学

模型4已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线

构造直角三加形斜边上的中线

在直角三角形中，当遇见斜边中点时,经常会作斜边上的中线,利用直角三角形斜边上

的中线等于斜边的-半，即来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等

腰三角形：△力。和△88,该模型经常会与中位线定理一起综合应用........

、eTSQ中字缴字

H^一、圆中的辅助线

模型1连半径构造等腰三角形

已知是OO的一条弦，

连接Q/LOB,则乙4=乙8

在网的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件.我们通常可以连接半径构造等腰三角形,

利用等腰三角形的性质及例中的相关定理，解决角度的计算问题.

、心T5Q中学数学

模型2构造直角三角形

如图①，已知/仍是。。的代役.点c是囚I上•点，连接

AC,BC,则44C8=9(r.

如图②，已知18是。。的一条弦，过点。作OEJ./8.

则06+3="

图②

模型分析

(1)如图①.当图形中含有直径时，构造自径所对的圆周角是解决问题的重要思路，在

证明有关问题中注意900的加|周角的构造.

(2)如图②，在解决求弦长、弦心距.半径问题时,在圆中常作弦心距或连接半径作为

辅助线,利用弦心距、半径和平弦组成个直角三角形，再利用勾股定网注年计%

「一Q甲字勿(字

模型分析

(1)已知切线：连接过切点的半径；如图，已知宜线.48是0。的切线，点。是切点，连

接OC,则0clz18.

(2)证明切线:①当已知直线经过圜上的一点时,连半径,证垂直;

如图，已知过圆上一点C的立线连接OC,证明OCJ./8,则直线48是。。

的切线.

②如果不知直线与圆是否有交点时，作垂直，证明垂线段长度等于半往；

如图，过点。作OCJ.48,证明。。等于O。的半径，则T［线48是G)。的切线.

<1丁3Q中学勤学

十二、相似模型

模型14、8模型

zf型已知：Z1=Z.2

结论：LADE^LABC

8型

模型分析,

如图，在相似三角形的判定中,我们常通过作平行线，从而得出*型或8型相似.在做

题时，我们也常常关注题口中由平行线所产生的相似三用形.

一二丁力中学变存

模型2共边共角型

已知：乙1=乙2

结论：XACDsXABC

模型分析,

上图中，不仅耍熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出三角形边的乘积

关系或者比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由△ICOs