高考数学之2021高考仿真模拟卷2

2021高考仿真模拟卷（二）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={1,2,3,4},8={2,3,6,7},C={3,4,5,6},则图中阴影部分表示

的集合是（）

A.{253}B.{6}

C.{3}D.{3,6}

答案B

解析由题可知，AABnC={3},Bnc={3,6},故阴影部分表示的集合是

{6}.

2.若（-l+2i）z=-5i,则磔的值为（）

A.3B.5

C.小D.75

答案D

-5i5i（l+2i）-10+5i

解析由（-l+2i）z=-5i,可得z=F拓=（-2i）（l+2i）=—5—=-2

+i.所以|z|=y]（-2）2+I2=y[5.

sinr,尤WO,（（7兀、、

3.（2020•山东青岛二模）已知函数4犬）=t,、八且人力-工=1,

10g2（6f+X）,X>0,。〃

则。=（）

A.^B.2

C.3D.In2

答案A

,,,（7i3兀、3厂,

4.（2020•大同一中局三一模）已知。€（J,yj,tan（。一兀）=一彳，则sina+cosa

等于（）

A.土]B.-]

C.1D.

答案B

解析由题意得tan（a-TI）=tana=又&6弓，司，所以aWg,无｝

,34

cosa<0,sina>0,结合sin2a+cos2a=1,解得sina=§,cos（z=一彳所以sina+cosa

=l-l=-i故选B

5.（2020•山东潍坊二模）在四面体ABC。中，和△8C0均是边长为1

的等边三角形，已知四面体A8C。的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的

直径，则四面体ABC。的体积为（）

B.12

D.4

答案B

解析-.-AD是该球的直径，设球心为。，则0为AD的中点，ZABD=Z

ACD=90°,\AB=AC=BC=BD=CD=1,：.OB=OC=OD=^,BO1AD,

8。1。。，7.BOI平面ACO,.•.四面体ABC。的体积为外一ACD=gxSMcoXBO

=；X、X正义乎=*.故选B.

B

6.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产.龙门

石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮

雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍,总共有1016个“浮雕像”，这些“浮

雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列

[an],则log233a5）的值为（）

A.8B.10

C.12D.16

答案c

解析依题意0+a2+。3+。4+。5+。6+。7=1016,又因为数列｛m｝是公比为

41（1—27）

2的等比数列，则；_「=]016,所以口=8,所以0305=（44）2=（8X23）2=212,

1—Z

所以log2（a3a5）=log2212=12.

7.（2020・河南开封高三二模）已知平行四边形ABC。中，AB=A。=2,ADAB

=60°,对角线AC与3。相交于点。，点M是线段BC上一点，则而-H/的最小

值为（）

99

A--16B.而

C.-3D.；

答案A

解析如图所示，以3。的中点为坐标原点，以8。所在直线为x轴，以C4

所在直线为），轴，建立平面直角坐标系，贝0）,C（0,-小）,所以直线

的方程为丫=-小x-S.设点M（x,-小x-小）（-l《W0）,所以而=（x,

-事x-季）,CM=（x,-y[3x）,所以0M.CM=f+3x=+3x=4（x+|'）2

93—f9

-讳，当x=-g时，0必CM取到最小值-讳.故选A.

8.(2020.山东济南高三上学期期末)若尸为双曲线C:，-方=1的左焦点,

14

过原点的直线/与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点，则两-两的取

值范围是()

11-_11-

--_B--

A.4555

c--

111-

---

-OD-

4‘45

-

答案D

解析由双曲线C：J-f=1,得。=2,。=小，c=3,则左焦点尸(-3,

0),右焦点F'(3,0).因为过原点的直线/与双曲线。的两个交点A,B关于原

点对称，所以I网=1尸身.又根据双曲线的定义，得尸引-|尸Bl=2a,所以|阿

14141

=|/B\=\f-B\-2a=\PB\-4,设|FB|=d,所以两一尸8|=|五目_4一尸8|='_4一

414-1-4-d2+4(4-4)2

筋设・穴⑶=口一彳，心5,则/(①=-守=3一4评=

3法一321+648

S二4以2'•令/'(e=0,解得"=手舍去)或4=8,所以危/)在［5,8)上单调递减,

14

在(8,+8)上单调递增，且当df+8时，穴或一0-,所以八①max=A5)=「-彳

J-4-J

411

-",所以加)的取值范围为--

=5>min=次8)=8_48=45

11

--

的取值范围是45,故选D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.(2020.山东泰安二轮复习质量检测)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂

交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”釉型杂交水稻，成功研究出

“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学

发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株

(x_100)2

高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为汽幻二国二士-刀",

xW(-8,+8),则下列说法正确的是()

A.该地水稻的平均株高为100cm

B.该地水稻株高的方差为10

C.随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的

概率大

D.随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100/10)(单位：cm)的概率一样

大

答案AC

(X-100)2

解析因为/)=而标e-项，故〃=100,^=100,故A正确，B错误;

因为P(x>120)=P(x<80)>P(x<70),故C正确；根据正态分布的对称性，知

P(100<x<110)=P(90<x<100)>P(80<x<90),故D错误.故选AC.

10.(2020.海南新高考诊断性测试)已知尸是椭圆C:>y2=i上的动点，Q

是圆。：(尤+1)2+y2=点上的动点，贝|J()

A.。的焦距为小B.C的离心率为粤

2k

C.圆。在C的内部D.|PQ的最小值为士

答案BC

解析依题意可知c=后7=小，则椭圆。的焦距为2小，离心率e=兴=

里.设P（x,y）（-y/6^x^y[6）,贝9=叱1产+1一,昌工+既

+所以圆。在。的内部，且IPQ的最小值为檀-]|=坐故选BC.

11.（2020•新高考卷I）已知a>0,。>0,且。+。=1,贝女）

A.a2+b2^2B.^a'b>2

C.log2Q+k）g2b2-2D.y[a+y[b^啦

答案ABD

解析对于A,/+/=〃+（]-0）2=2/-2。+1=2（4-，2+；2；,当且仅

当。=/?=；时，等号成立，故A正确；对于B,a-b=2a-\>-\,所以2"-占>2-

1

当

2且

2-对于C,log2a+\0g2b=10g2"W10g2

1

-2-时等号成立，故c不正确；对于D,因为（犯+或）2=1+2两・1

+a+b=2,所以也+或・表，当且仅当。=b■时，等号成立，故D正确.故

选ABD.

12.（2020•山东烟台一模）关于函数段）=e'+asiMxW（-兀，+°°）,下列说

法正确的是（）

A.当。=1时，段）在（0,1A0））处的切线方程为2x-y+1=0

B.当a=1时,/）存在唯一极小值点xo且-1〈刎v0

C.对任意a>0,/U）在（一兀，+8）上均存在零点

D.存在"0,使於）在（-兀，+8）上有且只有一个零点

答案ABD

解析对于A,当。=1时，|x)=e'+sinx,/'(x)=e"+cosx,/O)=1,7(0)

=2,.•.所求切线方程为>-1=2(*-0),即2r-y+l=0,故A正确；对于B,

当X€(O,+8)时，/。)=&「+85%>0恒成立，」.於)在(0,+8)上无极值；当

x€(-兀，0］时,令g(x)=/'(x)=e*+cosx,则g'(x)=e-sinx>0恒成立，」.g(x)

在(-兀，0］上单调递增，又/O=e-7>0,/(-引=e不坐<0,.,・存在

xo€(-竽,使/1'3))=统)+«)5次=0,即的=一cosxo,「於)极小值=.*xo)=

..厂•(叫3兀71兀

e'o+sinxo=-cosxo+sinxo=\2smlxoI,二一彳v%ov—5,-TI<XO-^<-

y,二-乎vsin(xo-露0,-1<XJC())<0,故B正确；对于C,当a=2时，

cinrCOSYrncr

段)=e^+詈，/'a)=e、+等，当x€(0,+8)时，/。)=^+等>0恒成立,

.・•加)在(0,+8)上单调递增，.,.於)>的)>0,二段)在(0,+8)上不存在零点；

COSXcinr

当xW(-兀，0］时，令/z(x)=/'。)=?，+学~,贝y(x)=eX-W->0恒成立，二

3)在(-兀，0］上单调递增，又h{-ii)=f'(-7r)=e-£-±>0,.•.危)在(-兀，0］

上不存在零点，故C错误；对于D,於)零点的个数可以转化为尸e»与)，=-asinx

图象的交点的个数问题，如图，显然存在。<0,使丁=©'与y=-asinx的图象有

一个交点，即/U)有且只有一个零点，故D正确.故选ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(2020•山东德州一模)某校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名学生

只参加一个小组，单位：人).

篮球组书画组乐器组

|S)-4530a

高二151020

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，用分层抽样的方法，从参加

这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则。=.

答案30

30

解析因为抽样比为公上.上不二p彳，所以结合题意可得

IJ।JLJ।1JL।Ct।4V/

45+15+30+10+/+20=45+15,解得。=30.

14.(2020•山东潍坊高密一模)若+的展开式的二项式系数之和是64,

则〃=；展开式中的常数项的值是_______.

答案6135

解析因为的展开式的二项式系数之和是64,则2"=64,解得〃

=6,所以,+点)的展开式中常数项的值是以(3W)=135.

Y

15.(2020.长春吉大附中三模)已知函数=(e).lnx-p则函数/(x)的

极大值为.

答案21n2

2ef'

解析f'«=2^eTfL(e2)-e1＞故/'e)=士山(e)二1，解得/'⑹=不1火x)=21n

X21

X--,f(%)=---,令/'(x)=0,解得x=2e,函数在(0,2e)上单调递增，在(2e,

+8)上单调递减，故人T)的极大值为/2e)=21n2e-2=21n2.

16.在棱长为1的透明密闭的正方形容器ABC。-AiBGOi中，装有容器总

体积一半的水(不计容器壁的厚度)，将该正方体容器绕BDi旋转，并始终保持BD\

所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为

答案也

解析如图所示，在棱长为1的正方体ABCO-AiBiCDi中，点E在AiB

上，点F在。。上，满足AiE=b,则原问题等价于求解四边形8式。班的面积最

大值.作EG1BG于点G,当EG最大时，四边形BFChE面积的有最大值.建

立如图所示的空间直角坐标系,设如肛O』)(OWmWl),G(x,y,z),由于3(1,0,0),

Cx=-A+1,

01(0,1,1),由反;二2必I可得y,z)=4-l,1,1),则"=九故G(-

U=2,

A+l,A,2),故a=(〃2+%-1,-2,1-A),由1二(一1,1,1),由赤•诟i=一次

2-m1+m

-A+l-/l+l-A=0,得2=--，1—2=--，故IG£]=

力-*X-空卜号》

=；6(???2-m+1),

结合二次函数的性质可知当〃2=0或〃2=1时，GE取得最大值，此时水面面

积的最大值为正.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

17.(2020.山东省第一次仿真联考)(本小题满分10分)在△A8C中，角A,B,

C的对边分别为a,b,c.在①AcosAcosC=asinBsinC-J?；(2)Z?sinBcosC+^csin2B

=/acosB;③cosB+>=2c这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作

答.

已知。是3C上的一点，BC=2BD>AB,AD=2币,AB=6,若,

求△AC。的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解若选择①，贝UsinBcosAcosC=sirLAsinBsinCsinB,1分

因为sinBWO,所以cosAcosC-sinAsinC=-：，

即cos(A+C)=一g.2分

因为3=兀一(4+0,所以cos(A+C)=-cosB二一;，

EPcosB=^,3分

TT

因为0<8<兀，所以8=于4分

在△A3。中，由余弦定理可得A£>2=A82+BD2_2AaBOcosB,5分

即28=36+BZ)2-2X6XBDX1,解得30=4或8。=2.7分

因为BC=2B£»A8=6,所以8。=4.8分

因为BC=2BD,所以S^ACD=S^ABD=BDs\nB=1x6X4X^=6^/3.10

分

若选择②,贝IIsin28cosc+^sinCsin2B=小siii4cos8,

即sin28cosc+sinCsinBcosB=小sinAcosB,1分

故sinBsin(B+C)=，§sinAcos5.

因为sin(8+C)=sinAWO,所以sinB=小cosB,所以tan8二小,3分

TT

因为0<B<兀，所以3=].4分

下同①.10分

若选择③,则sin3cosA+sinAcosB=2sinCcosB,1分

即sin(B+A)=2sinCcosB,2分

因为sin(8+A)=sinCWO,所以cosB=J,3分

TT

因为0<8<兀，所以B=54分

下同①10分

18.（本小题满分12分）已知等差数列｛%｝中，0=2,“2+44=16.

⑴设瓦=2助，求证：数列｛为｝是等比数列;

⑵求｛a,,+为｝的前〃项和.

解⑴证明:设｛词的公差为d,

由02+44=16,可得3+（7）+⑷+3J）=16,

即2a\+4d=16.2分

又ai=2,可得d=3.

故a”=ai+（〃-l）d=2+（〃-1）X3=3»-1.3分

b|23n+2

依题意，bu=23"T,因为肯=行=23（常数），

故数列｛bn｝是首项为4,公比4=8的等比数列.6分

n（ai+a）n（3n+1）

⑵｛斯｝的前n项和为一Z一n=~5-$分

｛儿｝的前n项和为

3W-13

b\-bnq4-2-21o4

—=-^r=r^n+2一］」0分

故｛z+儿｝的前n项和为

n(3n+1)+1-23n+24

2十2分

19.（2020.山东淄博二模）（本小题满分12分）新生儿某疾病要接种三次疫苗免

疫（即0,1,6月龄），假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等，

为了解新生儿该疾病疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，现进行了两种接种方

案的临床试验：10Ng/次剂量组与20圈/次剂量组，试验结果如下:

接种成功接种不成功总计（人）

10咽次剂量组9001001000

20解/次剂量组973271000

总计(人/p>

(1)根据数据说明哪种方案接种效果好？并判断能否有99.9%的把握认为该疾

病疫苗接种成功与两种接种方案有关?

(2)以频率代替概率，若选用接种效果好的方案，参与该试验的1000人的成

功人数比此剂量只接种一次的成功人数平均提高多少人?

n(ad-be)2

参考公式：K2,其中〃=a+/?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考附表:

P(心Nko)0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

解(1)由于两种接种方案都是1000人接受临床试验，接种成功人数10gg/

次剂量组900人，20圈/次剂量组973人，因为973>900,所以方案20席/次剂量

组接种效果好；2分

n{ad-be)2

由公式K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2000X(900X27-100X973)2

------------.....................................-«S44806>10828

1000X1000X1873X1271

所以有99.9%的把握认为该疾病疫苗接种成功与两种接种方案有关.5分

⑵假设20胞/次剂量组临床试验接种一次成功的概率为p,

97327

由数据得,三次接种成功的概率为标=0.973，不成功的概率为亚面=0.027,

由于三次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等,

所以(l-p)3=0.027,得p=0.7,7分

设参与该试验的1000人此剂量只接种一次成功的人数为X,

显然X〜8(1000,0.7),E(X)=1000X0.7=700,

参与该试验的1000人此剂量只接种一次成功的人数平均为700人,

且973-700=273,

所以选用20圈/次剂量组方案，参与该试验的1000人的成功人数比此剂量只

接种一次的成功人数平均提高273人.12分

20.(2020•山东济宁三模)体小题满分12分)如图1,四边形A8CD为矩形，

BC=2AB,E为AD的中点，将△ABE,ADCE分别沿BE,CE折起得图2,使

得平面ABE1平面BCE,平面OCE1平面BCE.

(1)求证：平面ABE1平面。CE；

(2)若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值.

解(1)证明：在题图1中，BC=2AB,且E为AO的中点，.•.AE=AB,

ZA£B=45°,

同理NOEC=45°.」.NCE8=90°,BEICE.

又平面A8E1平面BCE,平面ABEA平面BCE=BE,CEU平面BCE,

」.CE1平面ABE,又CEU平面。CE,二平面A3E1平面。CE.5分

(2)如图，以点E为坐标原点，EB,EC所在的直线分别为x轴、y轴建立空

间直角坐标系，设AB=1,

KIJ£(0,0,0),伏啦，0,0),

C(0,啦,0),A惇,0,乎),。(0,坐,坐,d乎,坐,0)

向量函=惇，0,用,Eb=(o,坐，孝7分

设平面AOE的法向量为〃=(x,y,z),

x+z=0,

味面=0,得「"令z”得

平面AOE的一个法向量为〃=(-1,-1,1),9分

又函=(o,_当,孽,

设直线FA与平面ADE所成的角为仇

nil.„I-㈤也V6

|网〃|1XY3

所以直线FA与平面ADE所成角的正弦值为半.12分

21.(本小题满分12分)已知动圆/5过定点堪，0),且和直线x=-5目切,

动圆圆心P形成的轨迹是曲线C过点。(4,-2)的直线与曲线。交于A,B两

个不同的点.

(1)求曲线C的方程；

(2)在曲线C上是否存在定点N,使得以A3为直径的圆恒过点N?若存在，

求出N点坐标；若不存在，说明理由.

解(1)设动圆圆心P到直线x=-；的距离为。，根据题意，d=|PW,••・动点

P形成的轨迹是以晶，0)为焦点，以直线£为准线的抛物线，..・抛物线的

方程为丁=2九.4分

(2)根据题意,设A(xi,yi),B(X2,yi),直线的方程为痴x=〃(y+2)+4,代

入抛物线方程，整理得y1-2ny-4n-8=0,A-4n2+16(/?+2)=4(n2+4〃+8)>0,

y\+y2=2n,y\yi--4n-8,6分

若设抛物线上存在定点N,使得以AB为直径的圆恒过点N,

设N(xo,yo),则京=2%o,

」一第」一）