初中数学几何模型 (一)

等腰RTA

ABAB

条件：^OAB,AOCD均为等腰直角三南形

结金：①AOAgAOBD；②ZAEB=90。

③OE平分Z.AED（易忘）

O

E-------------------------

导角核心图形

AB----------------------

任意等腰三角彩

DD

°coC

E

ABAB

条件：SOAB,AOCD均为等腰三角彩

且ZAOB=NCOD

结论：①bOAgkOBD,②ZAEB=ZAOi

③OE平分ZAED（易忘）

模型总结：核心图形如右困，核心条件加下：

①OA=O8,OC=OD

®ZAOB=ZCOD

模型二：手拉手模型一相似

O0

BA

条件：CD//AB,将AOCD旋转至右图住置

结论：右图

&OCDs〉OABoAOAC—AOBD

且延长AC交BD与点、E

必有ZBEC=ZBOA

非常重要的结论，必须会熟练证明

手拉手相似（特殊情况》

当406=900时，

除M）CDS&0ABoAOACs&OBD之外

还会隐藏=tanZ.OCD

ACOCOA

满足BDA.AC,若连结AD.BC,则必有

AD:+BC2=AB2+CD2

s=LACXBD（对角线互相垂直四边彩）

模型三：对角互补模型

（全等型一90°）

条件：①NAO4=NOC£=90。

②OC平分NAOB

结论：①CD=CE;②OD+OE=/OC

@q-qaq=_OC2

°ODC£一0AOCD十°AOC£2

辅助线之一：作垂直，证明XCDM/CEN

条件：①^AOB=ZDCE=90°

②OC平分ZAOB

结论：①CD=CE:②OD+OE^i^OC

③SOKE=SAQCD+^&OCE~~

辅助线之二：过点C作C尸J.OC

证明&ODC3FEC

如图

①CO=CE不变

②0E-0Df0C（重点）

③Sg-S“#3点）

济独立完成以上证明,必须非常熟练掌报

①________________________

②（重点）

③（难点）_

请独立完成以上证明，必须非常题练学搔

《全等型一任意角a)

A

DC

OEB

条件：①NAOB=2a,ZDCE=180°-2a

②CD=CE

结论：①OC平分ZAOB；

②OD+OE=2OC-cosa

2

③S'MCE=Sf10co+=OCsinacosa

粒度校大、汜得经常级习

，结论①得证

EF=ODtancr

（OE+cosa=OC

结论②得证

...S»c£F=（C'）2=tan2a

S&CDO°。

**•^ACEF~S&coo"aira

=

,SAOCE+^\CEFS^OCF

且&2=iguana

，结论③得证

难度非常大.请仔细认兵复习

对角互补模型总结：

①常见初始条件：四边彩对角互补

两点注意：四点共圆和直角三角形斜边中线

②初始条件：角平分线与两边相等的区别

③常见两种辅助线的作法

④注意下图中“OC平分ZAOBv

ZCDE=ZCED=ZCOA=ZCOB相等是如

何推导

角含半角膜型(90°)

A°AD

FF

BECGBE,

条件：①正方形ABCD；②ZE4F=45°

绐论：①EF=DF+BE

②ACEF周长为正方彩A8CD周长一半

也可以这样：

条件：①正方形ABCD；②EF=DF+BE

结论：①ZEAF=45°

二诀：前令主角要与物

角合半角模型（90°）变形

条件：①Z£AF=45°;

结论：为等腰宣角三角形（空点/难点）

证明：连接AC（方法不唯一）

丁ZZMC=ZE4F=45°,/.ZDAH=ZCAL

VZADH=ZACE=45°，.二MDH^MCE

r）AAC

/.^AHE^^ADC

AHAE

倍长中线类模型

条件：①矩形ABCD:②BD=BE

③DF=EF

结论：AF±CF

模型提取：

①有平行线AD//BE

②平行线间线段有中点DF=EF

可以构造8字全等AADF^AHEF

倍长中线类模型

BCR

条件：①平行四边形：ABCD②BC=2AB：

③AM=DM：④CE1AD

结论：/.EMD=3ZMEA

辅助线：有平行AB〃CD,有中点A〃=0M

延长EM,构造AWKWADMF,连接CM构

造等股&EMC,A/WCA'

通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的立

小转化

②EF=CF

结论：①DF=BF：②DFLBF

辅助线：构造等腰直角AAEG.AAHC

辅助战思路：将。尸与8尸转化到CG与EH

任意相似直角三角形360度旋转模型

（补全法）

条件：①AOABS&ODC

②NOAB=NODC=90。:③BE=CE

结论：①AE=DE：②ZAED=2ZABO

辅助线：延长BA到点G,使AG=AB.延长

CD到点H便DH=CD,补全AOGB、

OCH构造旋转模型，转化AE与DE到CG

与BH,难点在转化4AED

任意相似直角三角形360度旋转模型（倍长法）

条件：①AOABs^ODC

②NOAB=NODC=90°:③更正

结论：①AE=DE：②ZAED=2ZABO

辅助线：延长DE至例，使ME=DE,将结

论的两个条件转化为证明MMD^^ABO,此

为难点，将A/W£）S&48。继续转化为证明

A48Ms△4。。,使用两边成比且夹角等

此处难点在证明ZABM=ZAOD

斌短路程模型之二（点到直线美）

垂线段最短OQMB

条件：如右图①OC平分ZAOB

②W为06上一定点

③尸为0C上动点

④。为06上动点

求：MP+PQ最小时，P、Q的位置

辅助线：将作。关于OC对称点。二转化

PQ=PQ,过点M作MH1.OA

MP+PA=MP+PQ'>MH（垂线段靛〜）

最短路程模型之二（点到直线奏）

问踮：点P在何处，BP+LAP^

错论：以A为顶点作〃MC=30°,过点尸作

PQA.AC,特化PQ=!_4P,过点8作AC

2

的参战与AP的交点为所求（垂线段TA）

般短路程模型之二（点到直设类）

8P+要A?最短

问邃：点P在何处，

2

结论：以A为顶点作ZPAC=45°,过点P作

PQ1AC,转化PQ=LAP,过点B作AC

2

的垂线与AP的交点为所求

最短路程模型之二(点到直线奏)

问典：〃为何值时，值最小

结论：①x上取京C(2,0),使b/°40=率

②过点B作BD1AC,交y轴于点E为所求

③tanZEBO=tanZOAC=1,即£(0.1)

2

最短路程模型之三(旋转类最值模型)

最大值位置

A

最小值位置

条件：①线段04=4,08=2(0/1>08)

②OB绕点O在千面内360°旋杼问

翘：A6的最大值，鼠小位分别为多少？

结论：以点0为圆心，0B为半径作圆，如图

所示,将问翘转化为“三角形两边之和大于第三边,

两边之差小于第三边”

最大值：OA+OB:最小值：OA—08

最短路程模型之三（旋转类最值模型）

条件：①线段04=4,08=2

②以点O为圆心，OB,OC为半径作圆

③点P是两圆所组成圆环内部（含边界》一点

问题：若PA的最大值为10,8'1OC=6

若PA的最小值为1,则OC=3

若PA的最小值为2,则PC的取值范围是

0<PC<2

最短路程模型之三（旋转类最值模型）

条件：①Rt^OBC,"BC=30°

②OC=2;③OA=\：④点P为8c上动点

（可与端点重合）；⑤AOBC统点。旋转

结论：PA最大值为OA+O8=l+2逐

PA最小值为1。"一OA=遂一I

如右图，圆的最小半径为O到8c垂级段长

最短路程模型之四（动点在圆上）

条件：以点O为圆心三个圆，OAs。£>固定

OP绕点O旋转

问题：点Q在什么位比时，EF+M6鼠小

辅助线：连接OQ、QC,当。、D、C三

点共线时，EP+MB=DQ+QC=DC^<\'

般短路程模型之四(动点在圆上)

条件：①正方形A6CO且边长为4：

②⑥的半径为2;③尸为⑥上动点

问题：求PD+(PC/2)最小值

辅助线：过点E作EM//PC,取BE中点N

转化思路：将PC/2转化ME,将ME转化为

MN,因此MO+MN的最小值为。N长度茎

结：PC{2的比值不是随意给出的，而是圆

的半径r/BC

二倍角模型

条件：A4BC中，Zfl=2ZC

辅助线：以6c的垂直平分线为对"称轴，作点

A的对称点A',连接AA'、BA'、CA'

则BA'为/A8C的角平分线，

却；么8A=A4'=CA'（注意这个结论）

此种轴助线的作法走二信用三角形常见的辅段

践作法之一,但并不是唯一作法

相似三角彩模型

（基本型）

结论：竺二W（注意对应边要对应）

ABACBC

模型应用：经常在选择，填空中直接考查，在第

20题的第二问也经常会考查“A字型”“8字

型”相似，建立方程。

相似三角形模型