浙江省精诚联盟2022-2023学年高二下学期3月联考数学试题含答案

2022学年第二学期浙江省精诚联盟3月联考高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，分别是平面，的法向量，则平面，交线的方向向量可以是（）A. B. C. D.2.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的焦点到渐近线的距离是（）A.1 B. C.2 D.1或3.如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，且于点则（）A. B. C. D.4.若点，，则、两点间距离的最小值为（）A.1 B. C. D.25.如图，4个圆相交共有8个交点，现在4种不同的颜色供选用，给8个交点染色，要求在同一圆上的4个交点的颜色互不相同，则不同的染色方案共有（）种A.0 B.24 C.48 D.966.已知直线与抛物线交于、两点，抛物线分别在点、处的两条切线交于点，则点在直线上的投影的坐标为（）A. B. C. D.7.已知递增数列前项和满足，，设，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为（）A.2023 B.2024 C.4045 D.80898.已知，均为正实数，不等式恒成立，则的最大值为（）A.1 B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.关于直线与圆，下列说法正确是（）A对任意实数，直线恒过定点B.直线与直线垂直C.直线与圆相切D.圆与圆相交10.已知数列的前项和为，则下列说法正确是（）A.若，则B.若，则的最大值为100C.若，则D.若，则11.已知椭圆右焦点为，直线与椭圆交于、两点，则（）A.的周长为20 B.的面积为C.线段中点的横坐标为 D.线段的长度为12.已知函数的定义域为，则下列说法正确是（）A.若函数无极值，则B.若，为函数的两个不同极值点，则C.存在，使得函数有两个零点D.当时，对任意，不等式恒成立非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.展开式中的常数项为______．14.习近平总书记在党史学习教育动员大会上讲话强调，“要抓好青少年学习教育，着力讲好党的故事、革命的故事、英雄的故事，厚植爱党、爱国、爱社会主义的情感，让红色基因、革命薪火代代传承.”为了深入贯彻习近平总书记的讲话精神，我校积极开展党史学习教育，举行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲.现安排7名教师到高中3个年级进行宣讲，每个年级至少2名教师，教师甲和乙去同一个年级，教师丙不去高一年级，则不同的选派方案有______种（用数字作答）15直线与曲线相切，则______.16.已知，，则的最小值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆经过，，三点，且交直线于，两点.（1）求圆标准方程；（2）求的面积.18.在长方体中，为棱上的点，，，.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的余弦值.19.已知等差数列的前项为，满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若对任意，不等式恒成立，求的最小值.20.若一个学期有3次数学测试，已知甲同学每次数学测试的分数超过90分的概率为，乙同学每次数学测试的分数超过90分的概率为.（1）求事件：“甲同学在3次测试中恰有1次超过90分且第2次测试的分数末超过90分”的概率；（2）若这个学期甲同学数学测试的分数超过90分的次数为，乙同学数学测试的分数超过90分的次数为，求随机变量的方差.21.已知曲线，焦点，，，，是左支上任意一点（异于点)，且直线与的斜率之积为.（1）求曲线的方程；（2）直线为过点的切线，直线与直线关于直线对称，直线与轴的交点，过点作直线的平行线与曲线交于，两点，求面积的取值范围.22.已知函数.（1）求的单调区间；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

2022学年第二学期浙江省精诚联盟3月联考高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，分别是平面，的法向量，则平面，交线的方向向量可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平面的交线都与两个平面的法向量垂直求解.【详解】因为四个选项中，只有，，所以平面，交线的方向向量可以是故选：B2.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的焦点到渐近线的距离是（）A.1 B. C.2 D.1或【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的方程写出焦点、渐近线方程，利用点到直线的距离即可得解.【详解】不妨取双曲线的右焦点，由题可知，设双曲线的渐近线方程为，所以右焦点到渐近线的距离，故选：B3.如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，且于点则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】，根据空间向量的坐标运算可得，从而可得结果.【详解】根据题意，可得，则，设，，因为，则，解得，所以，故选:D4.若点，，则、两点间距离的最小值为（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根据切线方程的求解，转化成两条直线间的距离即可求解.【详解】点在直线，点在上，，设的切线的切点为，令，所以在点处的切线为,此时切线与直线平行，直线与之间的距离为的最小值，故选：B5.如图，4个圆相交共有8个交点，现在4种不同的颜色供选用，给8个交点染色，要求在同一圆上的4个交点的颜色互不相同，则不同的染色方案共有（）种A.0 B.24 C.48 D.96【答案】D【解析】【分析】分析出各部分可以涂色情况即可得出不同的染色方案的种数.【详解】由题意，其中一部分有四种方法，与其紧邻的有3种方法，再相邻的有2种，两圆的公共部分有2种，剩余两部分有2种，涂色示意图如下：∴共有.故选：D.6.已知直线与抛物线交于、两点，抛物线分别在点、处的两条切线交于点，则点在直线上的投影的坐标为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分别求过的切线方程，依此求出直线，再求得，设点求出投影即可.【详解】设点，，，根据题意可知，抛物线在点处的切线斜率存在，设点处的切线方程为，与联立，得，由，得，则，解得，故切线方程为，即抛物线在点处的切线为过点同理可得,抛物线在点处的切线为过点所以直线与是同一直线，得点点在直线上的投影的坐标为，得，故选:B.7.已知递增数列的前项和满足，，设，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为（）A.2023 B.2024 C.4045 D.8089【答案】C【解析】【分析】根据得到，故是等差数列，，利用裂项相消法得到，解得，代入计算得到答案.【详解】，当时，，；当时，，，相减得，又，相减得，故是等差数列，，，，，，.故选：C【点睛】关键点睛：本题参考了等差数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用两次相减的思想得到确定等差数列是解题的关键.8.已知，均为正实数，不等式恒成立，则的最大值为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据恒成立转化成求解函数的最小值，只需要满足最小值大于等于0即可，结合基本不等式即可求解.【详解】又，均为正实数，所以在单增当，，当，∴，，当时，，当时，故当时，取最小值，又，得，所以∴即：，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.关于直线与圆，下列说法正确是（）A.对任意实数，直线恒过定点B.直线与直线垂直C.直线与圆相切D.圆与圆相交【答案】ABC【解析】分析】根据直线方程求出定点判断A，根据斜率之积判断B，根据圆心到直线距离判断C，根据两圆圆心距判断D.【详解】对A，直线恒过定点，正确；对B，，，直线垂直，正确；对C，圆心到直线距离，相切，正确；对D，圆心间距离，两圆内切，错误.故选：ABC10.已知数列的前项和为，则下列说法正确是（）A.若，则B.若，则的最大值为100C.若，则D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】根据所给与分别求判断A，根据通项公式分析项的符号的变化可求最值判断B，由与关系可得即可判断C，由组合数的性质及等比数列的求和公式可化简判断D.【详解】对A，因为，而，所以，故错误；对B，若，则时，而当时，，所以的最大值，故正确；对C，若，则，故正确；对D，因为，所以，则，故正确.故选：BCD11.已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于、两点，则（）A.的周长为20 B.的面积为C.线段中点的横坐标为 D.线段的长度为【答案】ACD【解析】【分析】利用椭圆的定义判断A；联立直线与椭圆方程，求出弦中点横坐标及弦长判断CD；求出面积判断B作答.【详解】依题意，直线过椭圆的左焦点，椭圆长轴长，所以的周长，A正确；由消去y得：，设，则，，因此线段中点的横坐标为，C正确；线段的长度为，D正确；点到直线的距离，所以的面积为，B错误.故选：ACD12.已知函数的定义域为，则下列说法正确是（）A.若函数无极值，则B.若，为函数的两个不同极值点，则C.存在，使得函数有两个零点D.当时，对任意，不等式恒成立【答案】BCD【解析】【分析】函数无极值，则或，求解即可判断A；若，为函数的两个不同极值点可得，即，代入可求出的值，可判断B；要使得函数有两个零点，即与有两个交点，画出图象即可判断C；当时，对任意，不等式恒成立即证明在上恒成立即可判断D.【详解】对于A，若函数无极值，，，则或恒成立，则或，当，则，解得：或，故A不正确；对于B，若，为函数的两个不同极值点，，所以，因为，则，∴，故B正确；对于C，存在，使得函数有两个零点，与有两个交点，在处的切线平行于轴，过原点的切线在的左侧稍微旋转后可得两个交点，故C正确；对于D，当时，对任意，不等式恒成立，，，，令，对任意恒成立，在上单减，，对任意恒成立，所以，在上单减，对任意恒成立，故D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：函数零点和方程根的问题往往利用数形结合转化成函数图象交点的问题，导数恒成立、极值问题通常构造函数并利用导数研究其单调性即可得出结论.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.展开式中的常数项为______．【答案】##0.9375【解析】【分析】根据二项式展开公式得到，令上的指数为0，得到值，再代入回去得到常数值.【详解】二项式的展开式的通项公式为,令,解得,则展开式的常数项为,故答案为：.14.习近平总书记在党史学习教育动员大会上讲话强调，“要抓好青少年学习教育，着力讲好党的故事、革命的故事、英雄的故事，厚植爱党、爱国、爱社会主义的情感，让红色基因、革命薪火代代传承.”为了深入贯彻习近平总书记的讲话精神，我校积极开展党史学习教育，举行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲.现安排7名教师到高中3个年级进行宣讲，每个年级至少2名教师，教师甲和乙去同一个年级，教师丙不去高一年级，则不同的选派方案有______种（用数字作答）【答案】100【解析】【分析】根据分类加法计数原理，结合分组分配利用排列组合即可求解.【详解】高一高二高三种数丙甲乙甲乙丙甲乙丙甲乙丙丙甲乙丙甲乙丙甲乙种类,故答案为：10015.直线与曲线相切，则______.【答案】0或4##4或0【解析】【分析】利用导数求出曲线在处的切线方程，再由切线过定点，可求出，据此即可求出斜率的值,【详解】直线过点设切点，所以切线方程为：，由切线过点可得，解得得，所以或故答案为：0或416.已知，，则的最小值为______.【答案】9【解析】【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.【详解】∵∴,当且仅当时等号成立，即，∵，当且仅当时等号成立，可取故答案为：9四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆经过，，三点，且交直线于，两点.（1）求圆的标准方程；（2）求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设圆，根据待定系数法求出圆的方程；（2）根据圆的几何性质，利用半弦长、半径、弦心距关系得出弦长，再由点到直线距离求出高，即可得三角形面积.【小问1详解】设圆,则∴圆【小问2详解】因为到直线的距离为，圆心到直线的距离为，故弦长，所以.18.在长方体中，为棱上的点，，，.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）（2）0【解析】【分析】(1)以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解.(2)根据空间直角坐标系，求出面的法向量和面的法向量，得出两向量垂直，即可得出结果.【小问1详解】分别以，，为，，轴如图建系，则，，，，，，，设面的法向量为则，解得，取，则，又，则点到平面的距离.【小问2详解】由(1)知，，，，设面的法向量，面的法向量，则，，赋值解得，，因为，则二面角是直二面角，即二面角的余弦值为0.19.已知等差数列的前项为，满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若对任意，不等式恒成立，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可；（2）根据错位相减法求出和，即可得解.【小问1详解】由题意，，∴.【小问2详解】令，则，相减得，，，，所以的最小值为.20.若一个学期有3次数学测试，已知甲同学每次数学测试的分数超过90分的概率为，乙同学每次数学测试的分数超过90分的概率为.（1）求事件：“甲同学在3次测试中恰有1次超过90分且第2次测试的分数末超过90分”的概率；（2）若这个学期甲同学数学测试的分数超过90分的次数为，乙同学数学测试的分数超过90分的次数为，求随机变量的方差.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由相互独立事件的乘法公式代入即可得出答案；（2）法一：记，求出的可能取值及对应的概率，再由均值和方差公式即可求出随机变量的方差；法二：因为随机变量与相互独立，则，且，，由二项分布的方差公式即可求出答案.【小问1详解】记所求事件为事件，甲同学第次测试的分数超过90分记事件，则，因为，，相互独立，，，所以.【小问2详解】记，由题意可得可能取值有，，，0，1，2，3，，，，，，，，，，所以的分布列为0123，∴，法二：因为随机变量与相互独立，则，∵，，∴，，∴21.已知曲线，焦点，，，，是左支上任意一点（异于点)，且直线与的斜率之积为.（1）求曲线的方程；（2）直线为过点的切线，直线与直线关于直线对称，直线与轴的交点，过点作直线的平行线与曲线交于，两点，求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先设点根据,代入求轨迹即