数学还是那个数学（宁夏）转

数学还是那个数学——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的解读与思考湖北省荆州市教育科学研究院夏井川一、从《教学大纲》到《课程标准（2011年版）》

二、《课程标准（2011年版）》的解读与思考

三、我们的行动一、从《数学教学大纲》

到

《数学课程标准（2011年版）》1.1基础教育和全国基础教育课程改革全国第八次基础教育课程改革。第一次：建国后；第二次：1953年；第三次：1958年；第四次：1963年；第五次：1978年；第六次：1985年；第七次：1992-1998年。第八次：始于1999年

2001年6月，国家教育部正式颁布《基础教育课程改革纲要（试行）》。（标志着我国第八次基础教育课程改革的正式启动，中国教育进入又一个新纪元。

）

2001年9月，新一轮课改18科课程标准、49册实验教材已经通过审查，开始在全国42个国家级实验区进行实验。

2002年到2003年的省级实验区。这一阶段按照教育部的部署和各省市区的安排，2002年有520多个实验区，占全国区县数的近18%；2003年有910多个实验区，占32%。两年共启动1400多个省级实验区，占全国区县的50%左右。

2004年到2005年的全面推进。到2004年全国有90%的区县起始年级使用新课程。2005年全部起始年级使用新课程。这一阶段可以看作是推广阶段，意味着所有学校都进入课程改革。

1.2.1《课程标准（实验稿）》实施带来的变化：教师教育教学理念的变化：更加关注学生的全面发展，更加关注学生的学习过程，更加关注学生的情感态度，更加关注自身的专业提升……教与学方式的变化：更加注重教学过程的设计，更加注重引导学生主动参与和自主探索，更加注重师生互动和合作交流，更加注重信息技术与学科整合……(小组合作的形式化)评价方式的变化：改造传统的纸笔测验，增加开放性试题，尝试运用课堂观察、成长记录、数学日记等方式评价学生的学习过程……教材与过程资源的变化：创造性使用教材，充分利用教材之外的各种课程资源……1.2《课程标准（实验稿）》的修订1.2.2修订的组织1.2《课程标准（实验稿）》的修订1.2.3修订的过程2005年6月启动，2007年10月完成，2011年2月审定完成，2011年5月通过审议，2011年12月正式颁布。

1.2《课程标准（实验稿）》的修订《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020)》2010年7月29日正式全文发布。工作方针。优先发展、育人为本、改革创新、促进公平、提高质量。把育人为本作为教育工作的根本要求。人力资源是我国经济社会发展的第一资源，教育是开发人力资源的主要途径。要以学生为主体，以教师为主导，充分发挥学生的主动性，把促进学生健康成长作为学校一切工作的出发点和落脚点。关心每个学生，促进每个学生主动地、生动活泼地发展，尊重教育规律和学生身心发展规律，为每个学生提供适合的教育。努力培养造就数以亿计的高素质劳动者、数以千万计的专门人才和一大批拔尖创新人才。2000年的数学教学大纲（试用修订版）（43页）2、《教学大纲》和《课程标准》2001年的《标准（实验稿）》（102页）12史宁中：本次课程改革在课程理念、目标、内容、方法和评价等方面进行改革。其中的一个重要标志是将以往的教学大纲变为课程标准。大纲和标准有什么区别呢？大纲重点关注两个事情，第一是数学学科应该教什么内容，第二是这些内容学生应该掌握到什么程度。大纲详细规定的每一个学年、甚至学期学生应该学习的内容和这些内容的要求。因此，由大纲影响的考试基本也是从这两方面考虑。这样，基于教学大纲的课程目标就形成了人们熟知的“双基”，大体要求是：基本知识扎实，基本技能够熟练。（考试大纲）教学大纲的要义是以知识为本，教学大纲的目标在本质上是结果性目标。（考、分）所以，按照大纲进行的数学教育在本质上培养一种专门性人才，不适应现代社会发展，不符合学生全面发展的需要。2、《教学大纲》和《课程标准》课程理念：现代社会强调的是以人的发展为本（育人为本）。课程目标：更加重视学生能力的培养和数学素养的提高，在原有“双基”的基础上，进一步明确提出了“基本思想”和“基本活动经验的要求”。在原有“分析问题的能力”和“解决问题的能力”的基础上，进一步强调了“发现问题的能力”和“提出问题的能力”。（测试康康）在内容方法上：在关于知识技能的结果性目标的基础上，进一步提出了过程性目标。在评价方式上：不仅要考核学生对知识的理解和技能的把握，还要考核学生的思维过程、实践过程以及情感态度。2、《教学大纲》和《课程标准》教育理念：由“知识为本”到“育人为本”；课程目标：由“双基”到“四基”，由“两能”到“四能”；内容方法：由“结果性”到“结果性+过程性”；评价方式：由“单一”到“多元”。2、《教学大纲》和《课程标准》二、《数学课程标准（2011年版）》

的解读与思考1、修订的主要内容《课程标准（2011年版）从体例结构、文本表述、具体内容和实施建议等方面都做了修改。1.1关于数学教育基本理念与目标的修改1.1.1关于数学的意义和数学教育的作用1.1关于数学教育基本理念与目标的修改1.1.2

关于数学课程的“基本理念”将原来“人人学有价值的数学，人人获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”，改为“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。这样，就把单纯对于数学教学内容的取舍上升到数学教育理念的改变。1.1关于数学教育基本理念与目标的修改1.1.3

关于数学课程的若干核心概念1.1关于数学教育基本理念与目标的修改1.1.4

关于数学课程目标明确提出“四基”。

“双基”是我国数学教育中历来重视的传统优势，在数学课程改革中应当保持并赋予新意。基本思想和基本活动经验是数学课程教学中应当特别重视的，是数学素养的重要标志。“四基”可以看作是对学生进行良好数学教育的集中体现。明确提出“发现问题、提出问题”能力的培养。

《课程标准》将原来总目标中的“解决问题”改为“问题解决”，是为了更加重视学生的问题意识培养，以及解决问题综合能力的培养，强调学生在具体的情境中发现问题、提出问题，提高分析问题和解决问题的能力。（6、7的认识青蛙）

1.2具体内容的调整1.2.1课程内容结构图形与几何综合与实践综合与实践综合与实践综合与实践正比例、反比例图形的运动图形的运动图形的性质随即现象发生的可能性抽样与数据分析事件的概率黄佳男学奥数1.3具体内容的调整1.3.2第一学段课程内容的变化第一学段内容修改不大，增删内容大致相当，数与代数内容略有增加，统计与概率内容有明显的减少。1.3.2

第一学段课程内容的变化1.3具体内容的调整1.3.3第二学段课程内容的变化第二学段内容课程内容的条目数没有变化，但一些具体的内容进行了重要调整。有些内容从第一学段移到第二学段，也有一些内容从第二学段后移到第三学段。特别是统计和概率内容有了明显的变化。

1.3具体内容的调整1.3.4

第三学段课程内容的变化第三学段的内容做了一定程度的调整。各课程内容有增有减，数与代数内容略有增加，图形与几何内容页有所变化，特别是增加了一些选学内容。删除的内容主要是一些较为繁难的内容。（整体性了解和把握、第三级运算）

2、对《标准（2011年版）》的深度解读什么是数学？数学课程是一门什么样的课程？怎样才算良好的数学教育？如何真正理解和把握数学课程的基本理念？如何理解7大行为动词和10大核心概念？如何落实三维目标和课程目标的有机整合？从“双基”到“四基”、从“两能”到“四能”的路有多远？……2.1什么是数学？以前：数学是研究数量关系和空间形式的科学。实验稿：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。2011年版：数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学是人类文化的重要组成部分。

恩格斯《反杜林论》批判杜林在数学问题上的先验主义。杜林认为，纯数学是先验地从人的头脑中构思出来的，数学的研究对象是思维的“自由创造物和想象物”。把数学看作与现实世界没有任何联系的想象。恩格斯指出，数学具有脱离任何个人特殊经验的独立意义，但它决不是先验的．纯数学为了反映外部世界的数量关系和空间形式，必须把数和形同客观内容的联系暂时撇开，从现实中抽象出来，以便在纯粹状态中研究抽象的数和形。无论数学研究的方法是多么抽象，然而“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。”（第41页）数学的抽象性。（湖北的一本线）数学的广泛应用性。①数学正在向包括从粒子物理到生命科学、从航空技术到地质勘探在内的一切科技领域进军

②在经济学、社会学、历史学等社会科学部门中，数学方法的应用也在大显身手；数学与语言学这两门最古老的学问之间也架起了桥梁。语言学家们使用数理统计的方法分析语言资料以得出有关语言规律或文化悬疑的重大结论。

③数学的广泛应用催生出一系列交叉学科，如数学物理、数理化学、生物数学、数理经济学、数学地质学…，等等。④纯粹数学中最抽象的一些分支也获得应用。数论曾经被英国数学家哈代看成是“无用”和“清白”的学问，但如今数论方法已经在密码技术、卫星信号传输、计算机科学和量子场论等许多部门发挥重要的有时是关键的作用。数学的两大特征：2.2数学课程是一门什么样的课程？《标准》提出：“数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”《国家中长期教育改革和发展规划纲要》提出：“把育人为本作为教育工作的根本要求。”要“关心每个学生，促进每个学生主动地、生动活泼地发展，尊重教育规律和学生身心发展规律，为每个学生提供适合的教育。”2.3怎样才算良好的数学教育？2.3.1人人都能获得良好的数学教育。首先要看到，这句话的主体是“人人”，即指学习数学课程的所有人，而不仅仅指少数人。这句话的落脚点是数学教育而不是数学，它表明，我们所倡导的数学课程观的核心理念是超越学科逻辑自身而在数学育人上所作出的一种价值判断和价值追求，这也为正确理解“良好的数学教育”提供了应有的视角。2.3.2不同的人在数学上得到不同的发展。不仅要面向全体，而且要适应学生的个性发展的需要；既要关注“人人”，也要关注“不同的人”。是对人的主体性地位的回归于尊重。需要正视学生的差异，尊重学生的个性。每一个人对数学的喜爱程度和理解能力是不同的，因此数学教育要注意学生发展的差异性，因材施教，最大限度地满足每一个学生的数学需求，最大限度地开启每一个学生的智慧潜能，这里也包括特长生。（齐步走与一刀切、为奥数正名、神七升天、程智桓学估算）应注重学生自主发展。从呵护、引领到放手、开放，使学生从逐步“学会”到自己“会学”，真正成为数学学习的主体。2.3怎样才算良好的数学教育？2.4.1数学课程内容的选择与组织课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索(平均数)。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系(里外都吃亏)；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系(综合实践)。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。2.4如何真正理解和把握数学课程的基本理念？

语文数学的平均分是94分，数学比语文多4分，各多少分？

小红和小华的邮票数量相等，小红给小华6张后，小华比小红多几张邮票？2.4.2正确认识教学活动。教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。（数学教学的本质是什么？）数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。（什么是数学课堂中教学中最需要做的事？）学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。（学生的数学学习应当是一个什么样的过程？）教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。（教师的主导性如何发挥？）2.4如何真正理解和把握数学课程的基本理念？2.4.2正确认识数学教学活动。数学教学的本质是什么？教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。（师生学习共同体、不统一、）2.4如何真正理解和把握数学课程的基本理念？2.4.2正确认识数学教学活动。什么是数学课堂教学中最需要做的事？数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。2.4如何真正理解和把握数学课程的基本理念？激发学生兴趣，调动学生积极性引发数学思考，鼓励学生创造性思维培养良好的数学学习习惯，掌握恰当的数学学习方法一年高考十二年抓，抓什么？良好的学习习惯和恰当的学习方法能帮助学生逐步实现由“学会”到“会学”的转变。高效课堂模式中小组合作学习对学习习惯和学习方法的要求更高。夏铭佑看书的故事、雷进的故事。

准确把握课标探究数学本质积累活动经验体验数学精神理解数学知识学会数学思维掌握数学方法形成数学能力领悟数学思想提高数学素养顾沛：如何让教师自己和教师的学生2.4.2正确认识数学教学活动。学生的数学学习应当是一个什么样的过程？学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。（做中学、再创造）教师的主导性如何发挥？教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。（杜郎口、江陵会议）

2.4如何真正理解和把握数学课程的基本理念？

把一个圆从圆心剪开，平均分成16份，拼成一个近似的长方形。已知这个长方形的周长比原来圆的周长长8厘米，求原来这个圆的面积是多少平方厘米？

著名教学论专家江山野的“教学发展观”一个完整的教学关系不是静态的、固定的关系，而是动态的、变化的关系，从学生角度来说，整个教学过程就是一个“从教到学”的转化过程，在这个过程中，教师的作用不断转化为学生的学习能力。第一阶段是完全依靠教师的阶段(刚入学的前三年左右)。第二阶段是基本上依靠教师的阶段(三年级到小学毕业)。第三阶段是学生可以相对独立地进行学习的阶段(初中的学生大致处于这一阶段)。第四阶段是学生在教师指导下可以基本上独立学习的阶段(高中生大致处于这一阶段)。第五阶段是学生完全独立地进行系统学习的阶段(高中毕业后)。

每个教学阶段对教学方式方法都有一些质的规定性：第一阶段的基本教学方式：教一点，学一点，练一点；第二阶段的基本教学方式：问答、阅读、演示、讲解相结合，逐步启发引导学生自己探求未知；第三阶段的基本教学方式：首先让学生预习，然后根据学生预习中提出的存在的问题进行教学；第四阶段的基本教学方式：学生在教师指导下自学；第五阶段的基本教学方式：完全由学生自学2.4.3把握好学习评价的方法和关系学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。（从甄别走向发展）应建立目标多元、方法多样的评价体系。立足于学生的发展和三维目标的要求，结合具体的评价内容，形成多角度、多层次、多维度的评价点；可采用数学档案袋、数学反思日记、数学作文、数学口试、数学调查报告、观察记录、数学课题完成总结等新的学习评价方式。评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。

2.4如何真正理解和把握数学课程的基本理念？2.4.4重视信息技术的运用信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。（不走两个极端、张齐华《圆的认识》）

2.4如何真正理解和把握数学课程的基本理念？2.5.1课程设计整体思路义务教育阶段数学课程的设计，充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。2.5如何理解7大行为动词和10大核心概念？刘加霞：把握数学本质+研究学生=有效的课堂教学认识线段的教学

人教版二年级上册“线段”教学片段：师：把课前带来的毛线放在桌子上，问：它是什么样子的？生：毛线是弯曲的。师：能把它拉直吗？生：抓住毛线两端，将毛线拉直呈现给老师同学看。师：将毛线拉直就成了一条线段，你们的小手捏住的两端叫线段的端点。师：同组的同学比一比你们手中的线段，说一说你有什么发现？生：我的线段比他的线段长。生：我的线段是红色的，他的线段是黑色的。师：如果你是线段，你会怎样介绍自己？生：我要是被同学拉直了，我就是线段。生：我要放在桌子上，我就是弯的。

……

在课堂即将结束的时候，师：上了这节课，你知道了什么？生：……

生：我知道了线段可以补衣服！2.5.2七大行为动词数学课程目标包括结果目标和过程目标。结果目标使用“了解”“理解”“掌握”“运用”等行为动词表述，过程目标使用“经历”“体验”“探索”等行为动词表述。在本标准中，使用了一些词，表述与上述行为动词同等水平的要求程度。这些词与上述行为动词之间的关系如下。（1）了解同类词：知道，初步认识。（2）理解同类词：认识，会。（3）掌握同类词：能。（4）运用同类词：证明。（5）经历同类词：感受，尝试。（6）体验同类词：体会。2.5如何理解7大行为动词和10大核心概念？2.5.3十大核心概念在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。十大核心概念本质上体现的是数学的基本思想，这些核心概念都是数学课程的目标点，也应该成为数学课堂教学的目标，并通过教师的教学予以落实。

2.5如何理解7大行为动词和10大核心概念？数感实验稿：数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。”（外延描述）2011版：数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。（“感悟”是既通过肢体又通过大脑，因此，既有感知的成分又有思维的成分。”）数感在生活中无处不在。例如：工资增长赶不上GDP增长，赶不上物价上涨，赶不上房价上涨……国王赏赐的麦子古印度有个叫锡塔的大臣，他聪明过人，发明了一种棋子，国王百玩不厌，于是决定重赏锡塔。锡塔说：“陛下，我只要一点麦子。请您让人将麦子放在我发明的棋盘的六十四个格子内，第一格放一粒，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒，第五格放十六粒……照这样放下去，每格比前一格多放一倍麦粒，直到把六十四个棋格放满就行了。”国王听了哈哈大笑，他觉得谷仓里的麦子多着呢，填完六十四个棋格实在是小意思。哪知，管粮食的大臣计算了一下，急得满头大汗，计算列式和结果是：1+2+4+8+16+32+……+263的和，就成为了一个巨大的天文数字一共是18446744073709551615粒麦子,如果按1立方米的麦子有1500万粒计算，国王应赏赐的麦子就约有12000亿立方米，就算把全世界2000年所产生的麦子全加在一起，也没有这个数目大呀！国王这才明白过来，这可怎么办呀？

大臣想了一下，对国王说：“陛下，就请锡塔自己去数麦子吧。”因为一秒钟能数两粒，一分钟能数120粒，一小时也只能数出7200粒，每天数上10小时，也只能拿到72000粒麦子。照这样的速度数上一年，也只有2000万粒——3000万粒，也就是1—2立方米的麦子。而要想把国王如数赏赐给他的麦子全部数清，就得要2000亿年呢！聪明的锡塔无法数完麦子只能放弃了赏赐。国王赏赐的麦子培养学生数感的三条主线：数与数量，数量关系，运算结果估计。重视低学段学生对数的感觉的建立。这一学段教学要选择适合学生年龄特征的方式，提供实物，联系身边具体事物，观察操作、游戏等都是较好的方式。（具体到抽象）

紧密结合现实生活情境和实例，培养学生的数感。比如，让学生通过调查、讨论，弄清楚自己的学号、地区邮编号、汽车牌照号、身份证编号的规律和意义。让学生多经历有关数的活动过程，逐步积累数感经验。比如，让学生调查：从你家到学校的路程大约有多远？你上学大约要多少时间？教室面积有多大？学校食堂有多大？你家住房多少平方米？你所在城市有多少人口？如何测量一张纸的厚度？等等。这样的数学活动有利于学生在相互交流中从多角度去感悟数，丰富自己的数感经验。数感符号意识所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代号。数字、字母、图形、关系式等构成了数学的符号系统。符号既是数学的语言，也是数学的工具，更是数学的方法。它具有抽象性、明确性、可操作性、简略性和通用性等特点。（青蛙）符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。（模型、鸡兔同笼）此次修订，将原来的“符号感”改为了“符号意识”，这两个称谓就其英文表述来看没有变化（Symbolsense），而中文表述将“感”改为“意识”应该说其意义与课程目标的价值取向和数学符号的本质意义要求更加吻合。在数学学习中，数学符号对于学习者来说主要的还不是潜意识、直觉或感觉，而是一种主动的使用符号的心理倾向。所以用“意识”更准确些。（孝感路口摩托车不让小轿车）空间观念空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。《标准》对空间观念的描述，是在义务教育阶段通过图形与几何内容的学习对学生在这些方面的要求以及需要达成的目标。这样的目标达成的过程是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析的过程，它贯穿在图形与几何学习的全过程中，无论是图形的认识，图形的运动，图形与坐标等都承载着发展学生空间观念的任务。空间观念的培养空间观念的培养是一个长期的经验积累的过程。促进空间观念发展的课程内容：第一、二学段的“图形与运动”、“图形与位置”中的大部分内容的学习，都是发展学生空间观念的很好的素材；第一、二学段中的从不同方向观察物体、运用基本图形拼图，以及基本几何体的展开图等，也都是旨在发展学生空间观念的课程内容。促进空间观念发展的教学策略：（1）现实情境和学生经验是发展空间观念的基础。例如，绘制学生自己房间或学校的平面图；描述从家到学校的路线图；描述观察到的情境的画面；描述游乐园中各种运动的现象等等，这些问题既是他们生活中熟悉的，又是在数学学习中需要重新审视和加工的。平时看到的东西，要进行回忆，在头脑中想象、加工之后的再现，已经是数学的抽象了，这其中即渗透了空间观念发展的元素了。（2）利用多种途径发展学生的空间观念。生活经验的回忆与再现、实物观察与描述、拼摆与画图、折纸与展开、分析与推理等，都是发展学生空间观念的有效途径。（五下图形的变换）（3）在学生的思考、想象过程中发展空间观念。观察与描述往往是空间观念发展的基础，而想象与再现则是更高一层次的空间观念的表现。（五上观察物体）几何直观几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；一是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象。综合起来几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考、想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。数形结合。很多重要的数学内容、概念，例如，数，度量，函数，以至于高中的解析几何，向量（如小学的分数概念、路程问题等）等等，都具有“双重性”，既有“数的特征”，也有“形的特征”，只有从两个方面认识它们，才能很好地理解它们，掌握它们的本质意义。也只有这样，才能让这些内容、概念变得形象、生动起来，变得更容易使学生接受并运用他们去思考问题，形成几何直观能力，这就是经常说的“数形结合”。数形结合是认识数学的基本角度、基本方法和基本要求。华罗庚：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形无数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。几何直观刘治平教授讲鸡兔同笼（二年级）有10个头，共26条腿，几只鸡，几只兔？

一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，蛐蛐和蜘蛛共10只，腿68条，各几只？几何直观几何直观的培养在教学中使学生逐步养成画图习惯。（刘德武、吴江源）重视变换，让图形动起来。学会从“数”与“形两个角度认识数学”。掌握、运用一些基本图形解决问题。球、圆锥、圆台、正多面体、圆、正多边形、长方体、长方形、菱形、平行四边形、数轴，方格纸，直角坐标系等。数据分析观念数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。①③④②运算能力运算是数学的重要内容。根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量通过计算得出确定结果的过程，称为运算。《标准》在学段目标的“知识技能”部分，对各学段运算分别提出了明确的要求：第一学段：经历从日常生活中抽象出数的过程，理解万以内数的意义，初步认识分数和小数；理解常见的量；体会四则运算的意义，掌握必要的运算技能，能准确进行运算；在具体情境中，能选择适当的单位进行简单的估算。第二学段：体验从具体情境中抽象出数的过程，认识万以上的数；理解分数、小数、百分数的意义，了解负数；掌握必要的运算技能；理解估算的意义；能用方程表示简单的数量关系，能解简单的方程。运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。运算的正确、灵活、合理和简捷是运算能力的主要特征。运算能力运算能力的培养与发展由具体到抽象。第一学段理解万以内的数，初步认识小数和分数，初步学习整数的四则运算，以及简单的分数和小数的加减运算。第二学段认识万以上的数，进一步学习整数的四则运算（包括混合运算），小数和分数的四则运算（包括混合运算），了解并初步应用运算律。关于算法和算理。①由法则到算理。要引发对怎么算？怎样算的好？为什么要这样算？等一系列问题的思考，使运算从操作的层面提升到思维的层面，这是运算能力发展的重要内容。②算法的多样化和优化。③算法的提升。（举例）要充分重视估算。估算是重要的运算技能，需要掌握一定的方法，积累一定的经验；进行估算需要经过符合逻辑的思考，要有一定的依据，使估算的结果尽量接近实际情境，能对实际问题做出合理的解释。由单向思维到逆向、多向思维。（乘法分配律）

运算能力推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。合情推理是从范围较小的命题得到范围较大的命题，是“从特殊到一般”的推理；演绎推理则是从范围较大的命题得到范围较小的命题，是“从一般到特殊”的推理。推理能力不完全归纳推理：天鹅是白的，天下乌鸦一般黑……亚里士多德的三段论。一个三段论就是一个包括有大前提、小前提和结论三个部分的论证。凡人都有死（大前提），苏格拉底是人（小前提），所以，苏格拉底有死（结论）。推理能力②合情推理和演绎推理功能不同，相辅相成。合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。（举例）③学生推理能力的培养。推理能力的发展应贯穿在整个数学的学习过程中。通过多样化的活动，培养学生的推理能力。使学生多经历“猜想——证明”的问题探索过程。推理能力模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。模型思想什么是数学模型？所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。在义务教育阶段数学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种图表、图形等都是数学模型。两个主要特点：其一，它是经过抽象舍去对象的一些非本质属性以后所形成的一种纯数学关系结构；其二，这种结构是借助数学符号来表示，并能进行数学推演的结构。中小学阶段数学中的数学模型一般指针对特定现实问题或具体实物对象进行数学抽象所得到的数学模型。模型思想建立数学模型的基本结构数学建模就是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程。数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。

（高中课标P92）上述步骤中最重要的是抽象成数学模型这一步骤。义务教育阶段特别是小学的数学建模视具体课程内容要求，不一定完全经历所有的环节，这里有一个逐步提高的过程。(鸡兔同笼)模型思想模型思想是一种数学的基本思想《标准》中有如下提法：“经历数与代数的抽象、运算与建模过程”（知识技能总目标）模型思想需要教师在教学中逐步渗透和引导学生不断感悟。比如在一学段，可以引导学生经历从现实情境中抽象出数、简单几何体和平面图形的过程和简单数据收集、整理的过程，使学生能学会用适当的符号来表示这些现实情境中的简单现象，提出一些力所能及的数学问题；在二学段，通过一些具体问题，引导学生通过观察分析抽象出更为一般的模式表达，如用字母表示有关的运算律和运算性质，总结出路程、速度、时间，单价、数量、总价等关系式。（美国教材乘法分配律）模型思想模型思想使学生经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程。（方程教学）通过数学建模改善学习方式。小课题学习方式、协作式学习方式、开放式学习方式、信息技术环境中的学习方式等都可以尝试。模型思想应用意识有两个方面的含义：一方面，有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。(隐性)在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。

应用意识什么是创新？简单地说创新是指做一些新的事情，英文是Tomakesomethingnew。“新”有几层含义，对所有人都是“新”的，称为原创的；或者对某些人是“新”的；也可以对自己是“新”的，自己没有做过的事情。创新能力是指完成创新工作的能力，要求是比较高的。创新意识要求低一些，认识创新的重要，在学习数学的过程中有好奇心，对新事物感兴趣，不断地发现和提出问题，有创新的欲望，尝试去做一些对自己是新的、没有想过、没有做过的事情，用学过的数学方法解决问题。创新意识创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，要从儿童做起，贯穿数学教育的始终。重视综合与实践，保护学生创新萌芽。（胡瑞一借和还、胡世颖画直线）

创新意识什么是三维目标？

2001年6月8日颁布的《基础教育课程改革纲要（试行）》中第7条：国家课程标准是教材编写、教学、评估和考试命题的依据，是国家管理和评价课程的基础。应体现国家对不同阶段的学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面的基本要求，规定各门课程的性质、目标、内容框架，提出教学和评价建议。2.6如何落实三维目标和课程目标的有机整合？数学课程目标的设计总目标：1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。3.了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。2.6如何落实三维目标和课程目标的有机整合？有机结合，整体实现：落实知识技能，重视过程方法，关注情感态度。化学老师讲碳酸钠和日本军国主义教育、杨老师上音乐课（情感态度价值观）2.6如何落实三维目标和课程目标的有机整合？2.7.1“双基”为什么要发展为“四基”。第一，因为“双基”仅仅涉及上述三维目标中的一个目标——“知识与技能”。第二，因为某些教师片面地理解“双基”，往往在实施中“以本为本”，见物不见人。第三，因为仅有“双基”还难以培养创新性人才，“双基”是培养创新性人才的一个基础。2.7从双基到四基、两能到四能的路有多远？2.7.2与时俱进落实“双基”。数学“双基”教学的历史贡献是应该承认的，“课标”继续保留了“双基”，并且把“双基”列为“四基”的前两条，从而也强调了“双基”。不但学会，还要理解和应用。2.7.3获得数学的基本思想。有学者通俗地把“数学思想”说成“将具体的数学知识都忘掉以后剩下的东西”。“课标”中所说的“数学的基本思想”主要指：数学抽象的思想、数