高中数学《排列与排列数》教案与分层同步练习

《6.2.1排列与排列数》教案

（第一课时排歹!J）

课标要求素养要求

1通.过实例理解排列的概念.通过学习排列的概念，进一步提

2.能应用排列知识解决简单的实际问题.升数学抽象及逻辑推理素养.

【课前预习】

新知探究

A情境引入

“排列三”是中国福利彩票的一种，它是使用摇奖机、摇奖球进行摇奖的，“排

列三”，“排列五”共同摇奖，一次摇出5个号码，“排列三”的中奖号码为当

期摇出的全部中奖号码的前3位，“排列五”的中奖号码为当期摇出的全部中

奖号码，每日进行开奖.

问题福彩3D即“排列三”摇出的号码的总的结果数是多少？

提示以第1位数为例，第1位的奖号是从0到9这10个数字中摇出一个，每

个数字都有相同概率摇出，所以第1位上就有10种可能，同理第2位、第3位

都各有10种可能，前3位总共就有1000种组合方法.

A知识梳理

排列的定义

排列定义中两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序”

一般地，从n个不同元素中取出m（mWn）个元素，并按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

拓展深化

［微判断］

1.在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化.（X）

提示在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列与原来的排列不同.

2.在一个排列中，同一个元素不能重复出现.（J）

3.从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列.（X）

提示从1,2,3,4中任选两个元素并按照一定的顺序排成一列，才能组成一

个排列.

4.从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一

个排列问题.（J）

［微训练］

1.有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，则送法共有

（）

A.5种B.3种

C.60种D.15种

解析从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学的一种送法，对应于从5

个不同元素中取出3个元素的一个排列，因此，共有送法5X4X3=60（种）.

答案C

2.从5名同学中选出正、副组长各1名，有种不同的选法（用数字

作答）.

解析从5名同学中选出正、副组长各1名，即从5个不同元素中选出2个元

素进行排列，不同的选法种数为5X4=20.

答案20

［微思考］

用1,2,3这三个数字共可以排成多少个无重复数字的三位数？123与321是

不是相同的排列？

提示共可以得到6个三位数，123与321是不同的排列，只有两个排列元素

相同，顺序也相同时，才是同一个排列.

【课堂互动】

题型一排列的概念

【例1】判断下列问题是否为排列问题.

(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的

票价相同)；

⑵选2个小组分别去植树和种菜；

⑶选2个小组去种菜；

(4)选10人组成一个学习小组；

(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；

(6)某班40名学生在假期相互通信.

解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问

题，所以不是排列问题.

⑵植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.

(3),(4)不存在顺序问题，不属于排列问题.

(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问

题，属于排列问题.

(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.

所以在上述各题中(2),(5),(6)属于排列问题.

规律方法判断一个具体问题是否为排列问题的方法

［变换元素的位置)

［排列问题)［非排列问题)

【训练11下列问题是排列问题吗？

(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可

能？

(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可

能？

⑶会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排

3位客人入座，又有多少种方法？

解(1)不是；(2)是；(3)第一问不是，第二问是.

理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两

个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一

样，此时与位置有关.选出3个座位与顺序无关，“入座”问题同“排队”，

与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题.

题型二排列的列举问题

【例2】（1）从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成无重复数字的两位

数，一共可以组成多少个？

⑵写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列.

解（1）由题意作"树状图”，如下.

1234

/K/1\/1\/N

234134124123

故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,

共有共个.

⑵由题意作“树状图”，如下.

cdb（Ibccdadacbdadabbeacab

故所有的排列为abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bed,

bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,eda,edb,dab,dac,dba,dbc,dca,deb.

规律方法利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略

⑴适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效

的表示方式.

（2）策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标

准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个

排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列.

【训练2】写出A,B,C,D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可

能站法.

解由题意作“树状图”，如下，

ZBC

4\/4/\

CDABAC

IIZII

Z/II

CDAABZDIABCA

IIIIIIIIII

DCDCDBDCBB

故所有可能的站法是BACD,BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB,

DABC,DACB,DBAC,DCAB.

题型三排列的简单应用

【例3]用具体数字表示下列问题.

⑴从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；

（2）由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；

（3）有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大

学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个

数.

解（1）从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商

共有100X99=9900（个）.

⑵因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字

一定是“0"，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即

可，共有3X2X1=6（个）.

（3）可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单

位，共有5X4X3X2=120（个）分配方案.

规律方法要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的

主体，分清m个元素和n（m〈n）个不同的位置各是什么.

【训练3】（1）有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共

有多少种不同的送法？

（2）有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的

送法？

解（1）从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个不同元素中任取

3个元素的一个排列，所以共有7X6X5=210（种）不同的送法.

（2）从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计

数原理知，共有7X7X7=343（种）不同的送法.

【素养达成】

一、素养落地

1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象素养及数学运算素养.

2.排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”.这

里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出

的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准.

二、素养训练

1.从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算

它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题（）

A.1B.3

C.2D.4

解析因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与

两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是

排列问题.

答案C

2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（）

A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲

B.甲乙丙，乙丙甲

C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙

D.甲乙，甲丙，乙丙

解析选出两人，两人的不同顺序都要考虑.

答案C

3.某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业

广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商

业广告不能连续播放，则不同的播放方式有（）

A.8种B.16种

C.18种D.24种

解析可分三步：第一步，排最后一个商业广告，有2种；第二步，在前两个

位置选一个排第二个商业广告，有2种；第三步，余下的两个排公益宣传广

告，有2种.根据分步计数原理，不同的播放方式共有2X2X2=8（种）.故选

A.

答案A

4.8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有种不同

的种法（用数字作答）.

解析本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法

共有8X7X6X5=1680（种）.

答案1680

5.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可

以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示

种不同的信号.

解析第1类，挂1面旗表示信号，有3种不同方法；

第2类，挂2面旗表示信号，有3X2=6（种）不同方法；

第3类，挂3面旗表示信号，有3X2X1=6（种）不同方法.

根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有3+6+6=15（种）.

答案15

【课后作业】

基础达标

一、选择题

1.（多选题）下面问题中，不是排列问题的是（）

A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数

B.从40人中选5人组成篮球队

C.从100人中选2人抽样调查

D.从1,2,3,4,5中选2个数组成集合

解析选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B,C,D只需取出

元素即可，与元素的排列顺序无关.

答案BCD

2.甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为（）

A.6B.4

C.8D.10

解析列‘'树状图"如下:

甲一乙甲一丙

//

丙乙

\\

乙——甲丙一甲

故共有丙甲乙,丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲4种排列方法.

答案B

3.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的不同结果有（）

A.6个B.10个

C.12个D.16个

解析不同结果有4X3=12（个）.

答案C

4.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a,b,共

可得到lga-lgb的不同值的个数是（）

A.9B.10

C.18D.20

解析lga—lgb=lgp从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a,b,共

1339

有5X4=20（种），其中lg§=lg喻=坨勺，故其可得到18种结果.

答案C

5.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不

同的四位数的个数为（）

A.6B.9

C.12D.24

解析组成的四位数列举如下：

1012,1021,1102,1120,1201,

1210,2011,2101,2110,共9个.

答案B

二、填空题

6.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么

全班共写了条毕业留言（用数字作答）.

解析根据题意，得40X39=1560,故全班共写了1560条毕业留言.

答案1560

7.2020北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、

E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为.

解析由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方

法有5X4X3=60（种）.

答案60

8.有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名

新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有种

不同的招聘方案（用数字作答）.

解析将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名

大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.所以不

同的招聘方案共有5X4X3=60（种）.

答案60

三、解答题

9.判断下列问题是否为排列问题：

（1）从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得

多少个不同的点的坐标？

（2）从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？

⑶某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同

的出入方式共有多少种？

⑷从集合M={1,2,…，9}中，任取两个元素作为a,b,可以得到多少个焦

22

点在X轴上的椭圆方程X方V+£=1?可以得到多少个焦点在X轴上的双曲线方程

ab

解（1）由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺

序有关，所以这是一个排列问题.

(2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的

顺序，所以这不是排列问题.

(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题.

22

⑷第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程/X+£V=1表示焦点在x

ab

22

XV

轴上的椭圆，则必有a>b,a,b的大小关系一定；在双曲线下一口=1中，不

ab

22

管a>b还是aVb,方程FX—6V=1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的

ab

双曲线，故是排列问题.

10.京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1318公里，途经

北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天

津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站，计算铁路部门

要为这21个车站准备多少种不同的火车票？

解对于两个火车站A和B,从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因

为每张票对应一个起点站和一个终点站，因此，结果应为从21个不同元素中，

每次取出2个不同元素的排列的个数为21X20=420.所以一共需要为这21个

车站准备420种不同的火车票.

能力提升

11.将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票

必须分完，那么不同的分法的种数为()

A.5'B.45

C.5X4X3X2D.5

解析由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有

1名同学没有票.因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法.又

因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种.

答案D

12.将A,B,C,D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在

第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树状图列出所有可能

的排法.

解由题意作“树状图”，如下:

D\

AC

IA

BAB

I

I—

CBA

Bac

,BCDA,DAAl)CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA,共

有9种.

创新猜想

13.（多选题）下列问题中是排列问题的是（）

A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组

B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动

C.从a,b,c,d中选出3个字母

D.从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数

解析由排列的定义知AD是排列问题.

答案AD

14.（多空题）从a,b,c,d,e五个元素中每次取出三个元素，可组成

个以b为首的不同的排列，它们分别是.

解析画出树状图如下：

可知共12个，它们分别是bac,bad,bae,bca,bed,bee,bda,bdc,bde,

bea,bee,bed.

答案12bac,bad,bae,bca,bed,bee,bda,bdc,bde,bea,bee,bed

第二课时排列数

课标要求素养要求

1.能利用计数原理推导排列数公式.

通过排列数公式的学习，提升数

2.掌握几种有限制条件的排列，能应用

学抽象素养及逻辑推理素养.

排列数公式解决简单的实际问题.

【课前预习】

新知探究

A情境引入

在上海交通大学建校120年周年之际，有29位曾是交大学子的名人大家，要在

庆祝会上逐一介绍，那么这29位大家的排列顺序有多少种？这样的排列顺序问

题能否用一个公式来表示呢？

问题上述情景中的问题能否用一个公式来表示？

提示上述问题情景中的问题可以用公式虐来表示.

A知识梳理

1.排列数的定义

从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不

同元素中取出m个元素的排列数，用符号A：表示.

2.排列数公式

注意排列数公式的特征：m个连续自然数之积；最大的因数是n,最小的因数是

n—m+1

A"=n(n—1)(n—2)•••(n—m+1)(n,m£N*,mWn)=~7----、,.

------------------------(n-m)!

3.全排列

将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积，叫做n的

阶乘，用n!表示，于是n个元素的全排列数公式可以写成：A：=n!,另外规

定，0!=1.

拓展深化

［微判断］

1.排列与排列数的含义相同.(义)

提示“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指完成的具体的

一件事，其过程要先取后排，它不是一个数；而排列数是指完成具体的一件事

的所有方法的种数，即所有排列的个数，它是一个数.

2.从4个不同元素中任取3个元素的排列数为用=24.(J)

［微训练］

1.A；等于()

A.9X3B.93

C.9X8X7D.9X8X7X6X5X4X3

答案C

2.若A；°=10X9X…义5,JJliJm=.

答案6

［微思考］

1.排列数A；公式的特点是什么？

提示第一个因数是n,后面一个因数比它前面的一个少1,最后一个因数是n

-m+1,共m个因数相乘.

2.从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？

提示4X3X2=24(4").

【课堂互动】

题型一排列数公式及应用

【例1】(1)用排列数表示(55—n)(56—n)…(69—n)(nGN*且，n<55)；

2AI+7A：

(2)计算

Al—A；°

⑶证明A：+1—A：=mA：i.

(1)解因为55—n,56—n,…，69—n中的最大数为69—n,且共有69—n—

(55—n)+1=15(个)元素，

所以(55—n)(56—n)(69—n)=^-n.

2A1+7A；

⑵解

As-A；j

2X8X7X6X5X4+7X8X7X6X5

8X7X6X5X4X3><2><1-9X8X7X6X5

8X7X6X5X(8+7)

=8X7X6X5X(24-9)=1

⑶证明法一因为A%—A：

(n+l)!n!

(n+1—m)!(n—m)!

n!(n+1

(n-m)!(n+1—m

n!m

----------•---------

(n—m)!n+1-m

=m(n+1-m)!=<I

所以A%—A：=mA『.

法二AM表示从n+1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素a的

有A：个.

含有ai的可这样进行排列：

先排a”有m种排法，再从另外n个元素中取出m—1个元素排在剩下的m—l

个位置上，有A『种排法.

故A〉i=mA：i+A；,

所以mA：T=A%—A：.

规律方法排列数公式的形式及选择方法

排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计

算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排

列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式.

【训练1】不等式£<6AL的解集为()

A.[2,8]B.[2,6]

C.(7,12)D.{8}

8।R।

解析由AK6Al。得，Q.、<6X।,

(8—x)!।(10—x)!

化简得X2—19X+84〈0,

解得7<x<12,①

xW8,

又＜

_x—220,

所以2WxW8,②

由①②及x6N*,得x=8.

答案D

题型二排队问题

[例2]三个女生和五个男生排成一排.

(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？

(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？

(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

解(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整

体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有就种不同的排法.对

于其中的每一种排法，三个女生之间又有A：种不同的排法，因此共有A；・A：=4

320(种)不同的排法.

(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间

留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个

位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女

生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有虐种不同排

法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有

屈种排法，因此共有AM山=14400(种)不同的排法.

(3)法一(位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中

的两个，有片种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置

都有A；种不同的排法,所以共有用・就=14400（种）不同的排法.

法二（间接法）三个女生和五个男生排成一排共有A；种不同的排法，从中扣除

女生排在首位的A；•A；种排法和女生排在末位的A；•A；种排法，但两端都是女生

的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况

时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有A”A?种不同的

排法，所以共有A；—2A；・A；+A>A；=14400（种）不同的排法.

法三（元素分析法）从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有解种不同的

排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有点种不同的排法，所以

共有人・您=14400（种）不同的排法.

（4）法一（位置分析法）因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，

那么末位就不再受条件限制了，这样可有A；种不同的排法；如果首位排女

生，有A：种排法，那么末位就只能排男生，这样可有•就种不同的排法，

因此共有A；•A；+A；・As・A；=36000（种）不同的排法.

法二（间接法）三个女生和五个男生排成一排共有就种不同的排法，从中扣除

两端都是女生的排法用・您种，就得到两端不都是女生的排法种数.因此共有

就一A”A；=36000（种）不同的排法.

规律方法排队问题的相邻、不相邻问题的解题策略

排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻等问题.

（1）对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素视为一个整体进行

排列.

（2）对于不相邻问题，可采用“插空法”解决，即先排其余的元素，再将不相邻

的元素插入空中.

【训练2】分别求出符合下列要求的不同排法的种数.

（1）6名学生排3排,前排1人，中排2人，后排3人；

（2）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；

（3）6人排成一排，甲、乙不相邻.

解（1）分排与直排一一对应，故排法种数为A；=720.

⑵甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A：种选法，然后其他5人

排，有A荆排法，故排法种数为A氏=480.

（3）甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已

排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有A氏=480（种）排法.

题型三定序问题

【例3】五个人排成一排，求满足下列条件的不同排列各有多少种.

（1）A,B,C三人左中右顺序不变（不一定相邻）；

（2）A在B的左边且C在D的右边（可以不相邻）.

解（1）首先五个人站成一排，共有内种排法，其中A,B,C三人的全排列有A：

A5

种排法，而A,B,C从左到右的顺序只是其中一种，所以满足条件的排法共消

A3

=20（种）.

（2）同（1）,不过此题中A和B,C和D被指定了顺序，则满足条件的排法共

A5

备=30（种）・

规律方法在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的（不一定相

邻）.解决这类问题的基本方法有两个：

（1）整体法，即若有m+n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定

不变，则先将这m+n个元素排成一列，有用曹种不同的排法；然后任取一个排

列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A：种排法，其

中只有一个排列是我们需要的，因此共有早种满足条件的不同排法；

（2）插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有

一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空

中.

【训练3】（1）7人排成一列，甲必须在乙的后面（可以不相邻），有

种不同的排法.

⑵用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺

序一定，则有个七位数符合条件.

解析（1）7人排队，2人顺序固定，.•.共有*=2520（种）不同的排法.

（2）若1,3,5,7的顺序不定，有A：=24（种）排法，故1,3,5,7的顺序一定

的排法数只占总排法数的《，故有，A；=210（个）七位数符合条件.

答案（1）2520（2）210

【素养达成】

一、素养落地

1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养.

2.排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用.

3.求解排列问题的主要方法

直接法把符合条件的排列数直接列式计算

优先法优先安排特殊元素或特殊位置

把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑

捆绑法

元素的内部排列

对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的

插空法

元素插在前面元素排列的空当中

定序问题对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元

除法处理素的全排列

间接法正难则反，等价转化的方法

二、素养训练

1.考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、

第二、第三志愿，则不同的填法有（）

A.10种B.60种

C.125种D.243种

解析依题意，满足题意的不同的填法共有用=60（种），选B.

答案B

2.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同

的排法共有（）

A.192种216种

C.240种288种

解析根据甲、乙的位置要求分为两类：第一类：甲在最左端，有解=

5X4X3X2X1=120（种）方法；第二类：乙在最左端，有4A；=4X4X3X2X1

=96（种）方法.

所以共有120+96=216（种）方法.

答案B

3.6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有（）

A.720种B.360种

C.240种D.120种

解析将甲、乙两人视为1人与其余4人排列，有虐种排列方法，甲、乙两人

可互换位置，所以总的排法有A”A：=240（种）.

答案C

4.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，

如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是.

解析5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1

和2,2和3,3和4,4和5,四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有

4XA：=96（种）.

答案96

5.解方程ALH=140A：.

解根据题意，原方程等价于

「2x+124,

x23,

xGN*,

、(2x4-1)•2x•(2x-l)(2x-2)=140x(x-1)(x-2),

「x23,

xGN\

(2x+l)(2x-l)=35(x-2)，

整理得44-35x+69=0(x23,xGN*),

【课后作业】

基础达标

一、选择题

1.4*5*6........(n—l)・n等于()

A.A：B.AL

C.n!-4!D.A：-3

解析因为A：=n(n—1)(n—2)…(n—m+1),所以A：7=n(n—1)(n—2)…[n—

(n—3)+1]=n•(n—1)(n—2)........6,5,4.

答案D

2.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，

那么不同的排法有()

A.60种B.48种

C.36种D.24种

解析把A,B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故

有A；=24(种)排法.

答案D

3.某班级从A,B,C,D,E,F六名学生中选四人参加4X100m接力比赛，其

中第一棒只能在A,B中选一人，第四棒只能在A,C中选一人，则不同的选派

方法共有()

A.24种B.36种

C.48种D.72种

解析若第一棒选A,则有A：种选派方法；若第一棒选B,则有2A汗中选派方

法.由分类加法计数原理知，共有用+2解=3后=36(种)选派方法.

答案B

4.已知A%—A：=10,则n的值为()

A.4B.5

C.6D.7

解析因为A'1一A：=10,则(n+l)n—n(n—1)=10,整理得2n=10,即n=5.

答案B

5.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶

数共有（）

A.60个B.48个

C.36个D.24个

解析由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有2A：=

48,大于50000的偶数共有2A；=12,所以小于50000的偶数共有48—12=

36（个）.

答案C

二、填空题

6.从班委会的5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育

委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种（用

数字作答）.

解析文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有£=12（种）方

法.由分步乘法计数原理知，共有3X12=36（种）选法.

答案36

7.不等式A：—nV15的解集为.

解析由不等式A：—nV15,得n（n—1）—n—15V0,

整理得「一21）—15<0,解得一3VnV5.

又因为n22且n6N*,所以n=2,3,4.

答案｛2,3,4）

8.用0,1,2,3,4这5个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数

夹在两个奇数之间的五位数有种.

解析分两类：0夹在1,3之间有A混种排法，0不夹在1,3之间又不在首位

有A；A双A荆排法.所以一共有A混+A；磔掳=28（种）排法.

答案28

三、解答题

9.一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单.

（1）3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？

（2）前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？

解（1）先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A；种排法，再将剩余的

3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有就种排法，故共有不同排法

A次=14400（种）.

（2）先不考虑排列要求，有用种排法，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可

先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在

后四个位置，有A氏种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有虐一A：A；=

37440（种）.

10.4个男同学和3个女同学（其中含甲、乙、丙）站成一排.

（1）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？

（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

（3）甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？

解（1）3个女同学是特殊元素，共有A；种排法；

由于3个女同学必须排在一起，则可视排好的女同学为一个整体，再与4个男

同学排队，应有虐种排法.

由分步乘法计数原理得，有A；内=720（种）不同的排法.

（2）先将男同学排好，共有A；种排法，再在这4个男同学的中间及两头的5个空

当中插入3个女同学，则有用种方法.

故符合条件的排法共有A：A；=1440（种）.

（3）先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有A：种排法；

由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有屐种排法；

最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5

个空当中，则有屋种排法.

所以共有A：A挥=960（种）不同的排法.

能力提升

11.旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区

进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则

小李旅游的方法数为（）

A.24B.18

C.16D.10

解析第一类，甲是最后一个体验，则有A：种方法；第二类，甲不是最后一个

体验，则有A火种方法，所以小李旅游的方法共有房+A氏=10(种)，故选D.

答案D

12.7名班委中有A,B,C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务

具体分工.

(1)若正、副班长两职只能从A,B,C三人中选两人担任，有多少种分工方案？

(2)若正、副班长两职至少要选A,B,C三人中的一人担任，有多少种分工方

案？

解(1)先排正、副班长有A：种方法，再安排其余职务有相种方法，依分步乘法

计数原理，知共有屈点=720(种)分工方案.

(2)7人中任意分工方案有A；种，其中A,B,C三人中无一人任正、副班长的分

工方案有A谭种，因此A,B,C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A；一A；

As=3600(种).

创新猜想

13.(多选题)下列等式成立的是()

A.An=(n—2)AnB.-A：+i=A：+；

n

C.nA：—：=A：D.A：一1=A：

n—m

解析A中右边=(n—2)(n—l)n=A：=左边；

C中左边=n(n-l)(n-2)X…X2=n(n-1)(n—2)X…X2X1=A：=右边；

n(n—1)1n।

D中左边------若————1厂=用=右边，只有B不正确.

答案ACD

14.(多空题)由四个不同的数字1,2,4,x组成无重复数字的三位数.

(1)若x=9,则其中能被3整除的共有个；

(2)若x=0,则其中的偶数共有个；

(3)若所有这些三位数的各位数字之和是252,则x=.

解析(1)因为各位数字之和能被3整除时，该数就能被3整除，所以这种三位

数只能由2,4,9或1,2,9排列组成，所以共有2XA：=12(个).

(2)偶数数字有3个，个位数必是一个偶数，同时0不能在百位，可分两类考

虑:①0在个位的，有用=6个.

②个位是2或4的，有A；XA；XA；=8个.

所以偶数共有6+8=14(个).

(3)显然x#0,因为1,2,4,x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现

A”A漱，

所以这样的数字之和是(l+2+4+x)•AJ-AL

即(l+2+4+x)•A：•相=252,

所以7+x=14,所以x=7.

答案⑴12(2)14(3)7

《6.2.1排列与排列数》分层同步练习

【基础达标练】

L等等于(

)

A.12B.24C.30D.36

画粤=7X6衰6A缸36.

A5AS

答案|D

2.6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙、

丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有()

A.24种B.36种C.48种D.60种

丽第1步，甲、乙两本书必须摆放在两端，有A纤中不同的摆放方法；

第2步，丙、丁两本书视为整体与其他两本共三本,有A,A：种不同的摆放方法.

根据分步乘法计数原理,共有AgA§A4=24(种)不同的摆放方法,故选A.

3.已知A"i—Ak=10,则n的值为()

A.4B.5C.6D.7

解析|由A"1-A^=10,得（n+l）n-n（nT）=10,解得n=5.

U]B

4.将4名司机、4名售票员要分配到4辆汽车上,每辆汽车上有一名司机和一名

售票员，则可能的分配方法有（）

A.Ag种B.Ag种C.A2A々种D.2A々种

而司机、售票员各有A1种安排方法，由分步乘法计数原理知共有种不同的

安排方法.

答案|c

5.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.

若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，

则不同的安排方案共有（）

A.504种B.960种

C.1008种D.1108种

函甲、乙相邻的所有方案有A如旨=1440（和1）.其中满足甲、乙两人值班安排在

相邻两天旦丙在10月1日值班的方案有A±A5A%240（种）；

满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方案有

AgA,A；=240（种）;

满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班,丁在10月7日值班

的方案有A/A§A*48（种）.

故符合题设要求的不同安排方案有1440-2X240+48=1008（种），故选C.

ggc

6.由数字0,1,2,3,4,5可以组成能被5整除，且无重复数字的不同的五位数有

（）

A.（2A1-A1）个B.（2At-Ag）个

C.2Ag个D.5Ag个

画能被5整除，则个位需为5或0,有2Ag个,但其中个位是5的含有0在首位

的排法有A%个,故共有（2At-A1）个.

7.某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课,如果第一节不

排体育,最后一节不排数学,那么共有不同排法种.

丽（方法一）若第一节排数学,共有A：6（种）排法；

若第一节不排数学,第一节有2种排法,最后一节有2种排法,中间两节任意排,

有2X2X2=8（种）排法.

根据分类加法计数原理,共有6+8=14（种）排法,故答案为14.

（方法二间接法）4节课全部可能的排法有A%24（种），其中体育排第一节的有

Ag=6（种），数学排最后一节的有Ag=6（种），体育排第一节且数学排最后一节的有

A>2（种），故符合要求的排法有Ab2XAg4-A,=14（种）.

ggl4

8.7名班委有7种不同的职务，甲、乙、丙三人在7名班委中，现对7名班委进行

职务具体分工.

（1）若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任，有多少种不同的分工

方案？

（2）若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任，有多少种不同的分

工方案？

解（1）先排正、副班长，有A专种方案，再安排其余职务有A&种方案，由分步乘法计

数原理,知共有AMW=720（种）不同的分工方案.

（2）7人中任意分工，有A歼中不同的分工方案，甲、乙、丙三人中无一人担任正、

副班长的分工方案有种，因此甲、乙、丙三人中至少有一人担任正、副班长

的分工方案有A3-AiA|=3600（种）.

9.把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺

序排列成一个数列.

（1）43251是这个数列的第几项？

⑵这个数列的第96项是多少？

（3）求这个数列的各项和.

解（1）先考虑大于43251的数，分为以下三类：

第1类，以5开头的有A%=24（个）;

第2类，以45开头的有A,=6（个）；

第3类，以435开头的有A>2（个）.

故不大于43251的五位数有Ag-（AZ+Ag+A分=88（个），即43251是第88项.

（2）数列共有Ag=120（项），96项以后还有120-96=24（项），即比96项所表示的五

位数大的五位数有24个，所以小于以5开头的五位数中最大的一个就是该数列

的第96项，即为45321.

⑶因为1,2,3,4,5各在万位上时都有A%个五位数，所以万位上数字的和为

（1+2+3+4+5）-At-10000,同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有A%个五

位数，所以这个数列的各项和为（1+2+3+4+5）•At•（1+10+100+1000+10

000）=15X24X11111=3999960.

【能力提升练】

1.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.

现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数