高中知识点大全-理科专用

LABEL第一章

101空间向量与立体几何

01空间向量的基本概念

1.与平面向量一样，在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大小称为向量的

长度或模.

2.长度为0的向量叫做零向量，记为0.当有向线段的起点A与终点B重合时，AB=0.

模为1的向量称为单位向量.

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为一a.

方向相同且模相等的向量称为相等向量.

02空间向量的运算

1.空间向量的加减运算

⑴空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.已知空间

向量a,b,我们可以把它们移到同一个平面a内，以任意点0为起点，作向量0A=a,0B=b.类似

于平面向量，定义空间向量的加法和减法运算：

OC=OI+OB=a+b,BA=OI-OB=a-b

(2)空间向量的加法运算满足交换律及结合律：

交换律：a+b=b+a;

结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

2.空间向量的数乘运算

⑴与平面向量一样，实数人与空间向量a的乘积入a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.

当人＞0时，a与向量a方向相同；当入＜0时，a与向量a方向相反；ia的长度是a的长度的

lx|倍.

空间向量的数乘运算满足分配率及结合律：

分配率：X(a+b)=2a+Ab;

结合律：Mpa)=(而)a.

(2)共线向量

①如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或

平行向量.

②类似于平面向量共线的充要条件，对空间任意两个向量a,b(b*O),a〃b的充要条件是存

在实数入，使a=Ab.

(3)共面向量

平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.空间任意两个向量总是共面的.

如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数

对(x,y),使p=xa+yb.

3.空间向量的数量积运算

(1)夹角

已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0,作OA=a,0B=b,则ZA0B叫做向量a,b的夹

角，记作<a,b>.

如果((«.人=号,那么a,b互相垂直，记作a工b.

(2)空间向量的数量积

(2)空间向量的数量积

①已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos(a,b>叫做a,b的数量积，记作a,b.即a-b=

a|b|cos<a,b>.

特别地,a-a=|a|la|cos(a,a)=|a|2.

②向量数量积的运算律

(xa)-b=X(ab);

a-b=b-a(交换律);

a-(b+c)=a-b+a-c(分配律).

03空间向量的正交分解及其坐标表示

司向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组｛x.y,z｝，使得p=xa

+yb+zc.

由此可知，如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是｛p

lp=xa+yb+c,x,y,xGR).这个集合可看作是由向量a,b,c生成的，把(a,b,c)叫做空间的一

个基底，a,b,c都叫做基向量.

空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.

2空间向量的坐标表示

设ei,e2,es为有公共起点0的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底)，以ei,

e2,eg的公共起点。为原点，分别以ei,e2,ea的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐

标系Oxyz.那么，对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向

量OP=p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组(r,y,%),使得p=xei+ye2+ze3.把x,y,z

称为向量p在单位正交基底ei,ez,eg下的坐标，记为p={x,y,z}.

3.空间向量运算的坐标表示

设a=(ai,az,ag),b=(b,b2,b3)，贝U

(1)a+b=(ai+b,az+bz,a3+b3).

(2)a-b=(ai-b,az-b2,aa-b3).

(3)xa=(Xai,Xaz,xag).

(4)a-b=aib+a2b2+aab3.

(5)a//b=a=Xb=ai=A.b,az=Xb2,a3=X.b3(A£R,b#)).

(6)a工b=a-b=0=aib-i-a8b2+a3b3=0.

(7)|a|=4aa=A/ai+a2+a.

a•baJ八卜卜a.："

(8)cos(a.&>

x/a；+a：+a：/麻+氏+优

(9)在空间直角坐标系中,已知点A(ai,b,ci),B(a,b2,eg),则A,B两点间的距离

dm=|AB|=^(ag=al)2+(b2=b)2+(c2=cl).

04方向向量与法向量

1.点的位置向量

如图1,在空间中，取一定点。作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OF来

表示.我们把向量OP称为点P的位置向量.

2.空间中直线的向量表示

空间中任意一条直线I的位置可以由I上一个定点A以及一个定方向确定.如图2,点A是

直线I上一点，向量a表示直线I的方向(方向向量).在直线I上取AB=a,那么对于直线I上任

意一点P,一定存在实数t,使得Ap=tAB.

3.空间中平面的向量表示

(1)空间中平面a的位置可以由a内两条相交直线来确定.如图3,设这两条直线相交于点

0,它们的方向向量分别为a和b.P为平面a上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实

数对(x,y),使得0P=xa+yb.

图3图4

(2)平面的法向量：如图4,直线I工a,取直线I的方向向量a,则向量aQU做平面a的法向量.

名师点拨

求平面法向量的步骤

求平面法向量的步骤

4.设直线I,m的方向向量分别为a,b,平面a,B的法向量分别为u,v,则

l//m=a//b=a=kb,k£R;

1工m=a工b=a•b=0;

l//a=alEu>a•u=();

Ha=a//u=a=ku,k£R;

a//p=u//v=u=kv,kER：

a上B=u工v=u•v=0.

・用空间向量解决立体几何问题

1.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体

几何问题转化为向量问题.

(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题.

(3)把向量的结果“翻译”成相应的几何意义.

2.用空间向量求距离

空间两点间的距离，可以表示为以这两点为起点和终点的向量的模.向量u的模满足关系式

|u|2=u•u=u].立体几何中有关距离的问题，经常用空间向量的数量积解决.

3.用空间向量求夹角

(1)求异面直线所成的角

已知l.m为两异面直线，A.C与B,D分别是l,m上的任意两点(如图),7

前|

I,m所成的角为0,则cos夕二|coa(A^.li6)|—|At•

TWIW

(2)求直线和平面所成的角

设直线I的方向向量为a,平面a的法向量为u,直线I与平面a所成的角为0,a与u的夹角

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为P,则有sind=Icosyl

(3)求二面角

如果，若PALa于A,PBL|3于B,平面PAB交1于E,则LAEB为二面角a-1-。的平面

角，LAEB+LAPB=180。.若n,n2分别为平面a邛的法向量，贝ljLAEB=<ni,nz〉或加一

<n,n2>，即二面角9等于它的两个面的法向量的夹角(或夹角的补角).

J

①当法向量nj与n2的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角。等于法向量nj,n。的

夹角<ni,n2〉，于是coW=cos("./i)—■：；，：/1〕

I«II%I

②当法向量n,n2的方向同时指向二面角的内侧(外侧)时，二面角9等于法向量n1,n2的夹

=

角的补角nYni,riz〉，于是costfcos(7t—<nt.n))=—

2III"J

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LABEL

03定积分及其简单应用

1.定积分

(1)定积分的有关概念

如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,用分点a=X9<xi「・・<x-i<x;<・・・<x,二b将区间等

分为n个小区间，在每个小区间［x-1,*;］上任取一点$。=1,2.…，n)作和式：£/(£)△工

=£；宁/(£)，当nTa时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间［a,b］

上的定积分，记作|/(b)d.r,即|/(j-)cb

这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间［a,b］叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函

数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.

⑵定积分的几何意义

从几何上看，如果在区间［a,b］上函数f(x)连续且恒有f(x)>0,那么定积分］:f(x)dx表示

由直线x=a,x=b,y=0和曲线y=f(r)所围成的曲边梯形(图中的阴影部分)的面积.

(3)定积分的性质

|kf(r)(\.r=kf/(i)djra为常数)；f\_f.(.r)f2(x)]djr=f/|(/)cLr±If:(./)(!/；

JaJaJMJuJ«

|/(7)<1才^Iy(jr)Hj-|/(_r)d-r(其中a<c<b).

2.微积分基本定理

如果f(x)是区间［a,b］上的连续函数，并且F'(x)=f(x),那么「/(/)心一

JU

F(x)|'=F(b)-F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿一莱布尼茨公式.

3.定积分的应用一求曲边梯形的面积

定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0：

①当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；②当对

应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；③当位于

x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0,且等于位于x

轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.

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第三章

计数原理

0俩个基本计数原理

1.分类加法计数原理

如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m,种不同方法，在第2类方案中有mz

种不同方法，……第n类方案中有m。种不同方法，那么完成这件事共有N=mi+mz+…m.种

不同的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要n个步骤，做第1步有m,种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，

....做第n步有m,种不同的方法，那么完成这件事共有N=mjmz—m.种不同的方法.

(©排列

1.排列和排列数

排列：一般地，从n个不同元素中取出m(mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n

个不同元素中取出m个元素的一个排列.

排列数：从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元

素中取出m个元素的排列数，用符号A,”表示.

2.排列数公式

A"'=n(n-l)(n-2)...(n—m+l).

这里，n,mCN',并且mWn.这个公式叫做排列数公式.排列数公式还可以写

3.全排列和阶乘

(1)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时在排列数

公式中m=n,即有

A"=nx(n-l)x(n―2)x...x3x2x1.

(2)阶乘：正整数1到n的连乘积叫做n的阶乘，用n!表示.

全排列数公式A”=n!,规定0!=1.

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。组合

1.组合与组合数

组合：一般地，从n个不同元素中取出m(mWn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取

出m个元素的一个组合.

组合数：从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元

素中取出m个元素的一个组合数，用符号C”表示.

排列和组合的区别：排列与顺序有关，而组合与顺序无关.

2.组合数公式

A：w(n-1)(〃一2)•••(7/-m-1)

'AZ，"！

这里n,mGN,并且mWn.这个公式叫做组合数公式.组合数公式还可以写成C“=

,~77规定C。=1.

m!(n-m)I

3.组合数的两个性质

(1)性质1:C"=C-";(2)性质2:C+i=Cm+C1-.

04二项式定理

1.二项式定理

(a+b)-=C;a"+Cia"-1b+..+Ca"-Ab4+...+C"b',(neN*).

这个公式叫做二项式定理.右边的多项式叫做(a+b)”的二项展开式，它一共有n+1项，其

中各项的系数C,(ke{0,1.…，n)叫做二项式系数，式中的c.a"-*b.叫做二项展开式的通项，用

T+i表示，即通项为展开式的第k+1项：T+i=C,a"-'b*.

2.二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C{=C1-*.

(2)增减性与最大值：当A”中时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是

逐渐臧小的，且在中间取得最大值.当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间

的两项CTT,C”相等，且同时取得最大值.

(3)各二项式系数的和：2”=C+CI+C+…+C1.即(a+b)”的展开式的各个二项式系数的

和等于2".

(4)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于2”-1,即

Co+C2+C+..=Ci+C3+C+..=2"-1.

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第四章

随机变量及其分布

知识详解

01随机变量

1.随机变量的定义

随着实验结果变化而变化的变量叫做随机变量.随机变量常用字母X,Y,E,7.…表示.

2.离散型随机变量

所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.

。离散型随机变量的分布列

1.定义

一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…，x;,…x,X取每一个值x;(i=1,

2.-,n)的概率P(X=x;)=p,以表格的形式表示如下：

XT1T2T：X

PPi口PP

称上表为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时也用等式P(X=x;)=

pi,i=1,2,….n表示X的分布列，还可以用图象表示.

2.离散型随机变量的分布列的性质

1-2.(2)^/>,=1,

;-1

(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.

3.求离散型随机变量分布列的步骤

(1)先判断一个变量是否为离散型随机变量，即看变量的值能否按一定的顺序——列举

出来.

(2)明确随机变量X可取哪些值.

(3)求X取每一个值的概率.

(4)列成分布列表.

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・03常见的离散型随机变量的分布列

1.两点分布(0-1分布)

X01

P]—PP

若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称P=P(X=1)为成功

概率.

2.超几何分布

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则

X017M

CifCQM

P

(KClOr

其中m=min{M,n},且nWN,MWN,n,M,NGN*.

如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.

04条件概率

-般地，设A.B为两个事件，且P(A)>0,称P(iA)为在事件A发生的条件下，

事件B发生的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率.

(1)O<P(B|A)<1.

⑵如果B和C是两个互斥事件，则

P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A).

5事件的相互独立性

1.定义

设A,B为两个事件，若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.

名师点拨

(1)如果事件A与B相互独立，那么A与B,A与B,A与B也都相互独立

(2)如果事件A1,A2,…,A。中两两相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每

个事件发生的概率的积，即P(AiAz…A,尸P(A;)P(A2)…P(A,).

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2.独立重复试验

一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.

3.二项分布

在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为

P，则

P(X=k)=Cp4(l-p)*-*k=0,l,2,...,n.

此时称随机变量X服从二项分布，记作X〜B(n,p),并称p为成功概率.

擎散型随机变量的均值

1.定义

若离散型随机变量X的分布列为

XxlX2xi

pPiP2Pipn

则称E(X)=xip+x2P2+・“+x;p;+“-x,p。为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离

散型随机变量取值的平均水平.

2.常见分布列的均值

(1)两点分布的均值：

若随机变量X服从两点分布，则E(X)=p.

(2)二项分布的均值：

若X服从二项分布,即X〜B(n,p),则E(X)=np.

⑶超几何分布的均值：

若X服从二项分布，则E(X)~

1\

■离散型随机变量的方差

1.定义

设离散型随机变量X的分布列为

XXI

PpiP2piP

称D(X)=£(K-E(X))/)为随机变量X的方差，并称其算术平方根JD(X)为随机变

量X的标准差

随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越

小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小.

2.常见分布列的方差

(1)若X服从两点分布,则D(X)=p(1—p).

⑵X