北师大版九年级上第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定 省赛一等奖

矩形的性质与判定第3课时矩形的性质与判定的综合应用1.矩形的定义：有一个角是__________的平行四边形是矩形.2.矩形的性质：矩形的四个角都是___________,矩形的对角线____________.3.矩形的特征：矩形是一个

图形.

直角直角相等轴对称图形和中心对称4.定理：直角三角形斜边上的中线等于________的一半.

斜边5.矩形的判定：（1）有一个角是

的平行四边形是矩形.（2）

相等的平行四边形是矩形.（3）有

的四边形是矩形.直角对角线三个角是直角复习导入例1.如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE,求AE的长.分析：根据矩形的对角线互相平分且相等，可得到OE=BE，再结合AE⊥BD，可得AB=AO，从而有△ABO是等边三角形，求出∠ADE=30°，在Rt△ADE中，即可求出AE的长.新知讲解解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=BD(矩形的对角线相等且互相平分）∠BAD=90°（矩形的四个角都是直角）∵ED=3BE,∴BE=OE又∵AE⊥BD,∴AB=AO，∴AB=AO=BO,即△ABO是等边三角形∴∠ABO=60°∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°，在Rt△AED中，∵∠ADE=30°，∴新知讲解如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAD=3∠BAE，求∠EAO的度数。解：已知∠EAD=3∠BAE∵在矩形ABCD中，∠BAD=90°

即∠EAD+∠BAE=90°∴∠BAE=90°÷4=25°∵AE⊥BD,∴∠AEB=90°∴在Rt△ABE中，∠ABE=90°-25°=65°∴∠BDC=∠ABE=65°新知讲解在Rt△ABC和Rt△BCD中，AB=CD，∠ABC=∠BCD，BC=BC∴△ABC≌△BCD∴∠BAC=∠CBD=65°∴∠EAO=∠BAC—∠BAE=45°新知讲解例2.△ABC中,AB=AC,AD是BC边上中线，AN平分∠MAC，CE⊥AN，AC与DE交于O点，（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）判断OD与AB的关系，并说明理由.分析：（1）根据等腰三角形性质可得AD⊥BC,AD平分∠BAC，又因为AN平分∠MAC可得∠DAE为90°，再加上CE⊥AN就可证明四边形ADCE是矩形.（2）证得矩形后，可得O点是AC中点，那么OD是△ABC的中位线，就能得到OD与AB的关系了.新知讲解解：(1)∵AB=AC,AD是中位线，

∴AD⊥BC,AD平分∠BAC，

∴∠ADC=90°，又∵AN平分∠MAC，

又∵CE⊥AN，∴∠CEA=90°∴四边形ADCE是矩形新知讲解(2)OD//AB,理由：∵四边形ADCE是矩形，∴OA=OC，又∵D是BC边中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD//AB,.新知讲解在上述例题中，连接DE、交AC于点F（如图）。（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论。（2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论。解：（1）四边形ABDE是平行四边形证明：四边形ADCE是矩形（已证）∴AE//DC，AE=DC又∵在△ABC中，AB=AC∴△ABC是等腰三角形，AD是角BAC的角平分线∴BD=DC∴四边形ABDE是平行四边形新知讲解（2）∵四边形ABDE是平行四边形∴AB=DE，AB//DE，∵点F是矩形ADCE的对角线的交点∴DF=DE∴DF//AB，DF=AB新知讲解1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB，∴A、B、C正确，D错误，故选D．D课堂练习2.如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（）A．B．C．D．8解：由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，因为CD=6，E为CD中点，故ED=3，又因为AE=AB=CD=6，所以∠EAD=30°，则∠FAE=30°，设FE=x，则AF=2x，在△AEF中，根据勾股定理，故选A．A课堂练习3.如图，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．求证：AO=OB．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，AD=BC，∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC﹣∠DOC=∠BOD﹣∠DOC，∴∠AOD=∠BOC，在△AOD和△BOC中，∴△AOD≌△BOC，∴AO=OB．课堂练习1.（乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（

）A、1B、C、2D、2C直击中考解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．

∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，∴∠GFE=60°．∵AF∥GE，∠AFG=60°，∴∠FGE=∠AFG=60°，∴△GEF为等边三角形，∴EF=GE．∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，∴∠HGE=30°．在Rt△GHE中，∠HGE=30°，∴GE=2HE=CE，∴GH=∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4EC．∵矩形ABCD的面积为

∴4EC•EC=4∴EC=1，EF=GE=2．故选C．直击中考2.（营口）在矩形纸片ABCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为________．

解：∵AD=8，AB=6，四边形ABCD为矩形，∴BC=AD=8，∠B=90°，∴AC=△EFC为直角三角形分两种情况：①当∠EFC=90°时，如图1所示．∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，∴点F在对角线AC上，∴AE平分∠BAC，∴