人教A版（新）选择性必修三第六章计数原理6.2 排列与组合“十市联赛”一等奖

6.2

排列与组合第2课时1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学

新知探究点点落实1.排列数公式

(n，m∈N*，m≤n)＝

.n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)

＝

(叫做n的阶乘).另外，我们规定0！＝

.2.应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤n！1n(n－1)(n－2)…2·1答案返回类型一无限制条件的排列问题例1

(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，解析答案反思与感悟题型探究

重点难点个个击破(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343(种).反思与感悟例1中两题的区别在于：(1)是典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；(2)不是排列问题，需用分步乘法计数原理求其方法种数.排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”.即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中.元素可以重复选取.解析答案跟踪训练1

(1)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？第二类用2面旗表示的信号有

种；第三类用3面旗表示的信号有

种，由分类加法计数原理，得所求的信号种数是：即一共可以表示15种不同的信号.解析答案(2)将4名体育生，4名美术生分配到4个不同的班，每个班要分配一名体育生和一名美术生，共有多少种分配方案？解解决这类问题可以分为两步：解析答案类型二排队问题角度1

“相邻”与“不相邻”问题例2

3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法.(1)男、女各站在一起；解(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，解析答案(2)男生必须排在一起；解(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻.反思与感悟反思与感悟处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.解析答案跟踪训练2

排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单.(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解析答案角度2定序问题例3

7人站成一排.(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法；解甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法.解甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，反思与感悟反思与感悟解析答案跟踪训练3

7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？而由高到低有从左到右和从右到左的不同站法，解析答案角度3元素的“在”与“不在”问题例4

从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题：(1)甲不在首位的排法有多少种？解方法一把同学作为研究对象.第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放在5个位置上，有

种.第二类：含有甲，甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，解析答案方法二把位置作为研究对象.第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有

种方法.方法三(间接法)：即先不考虑限制条件，从7名同学中选出5名进行排列，然后把不满足条件的排列去掉.解析答案(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？解把位置作为研究对象，先满足特殊位置.解析答案(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？解把位置作为研究对象.解析答案(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？解用间接法.注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次，反思与感悟“在”与“不在”排列问题解题原则及方法(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先.(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置.提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底.不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误.反思与感悟解析答案跟踪训练4

7人站成一排，甲必须站在中间或两端，则有多少种不同站法？解析答案类型三数字排列问题例5

用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？(1)六位奇数；解析答案(2)个位数字不是5的六位数；解方法一(直接法)：十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类.方法二(排除法)：0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况.解析答案(3)不大于4310的四位偶数.解分三种情况，具体如下：形如43××的只有4310和4302这两个数.反思与感悟数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路.常见附加条件有：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数.反思与感悟解析答案跟踪训练5

用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)能被5整除的五位数；解析答案(2)能被3整除的五位数；解能被3整除的条件是各位数字之和能被3整徐，则5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}两种情况，(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240135是第几项.解由于是六位数，首位数字不能为0，即240135是数列的第193项.解析答案返回解析答案达标检测1.用1,2,3，…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为(

)A.324 B.224 C.360 D.64812345B解析答案2.6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(

)A.36 B.120C.720 D.240解析6个人站成两排，每排3人，12345C解析答案3.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有________种参赛方案.12345解析方法一从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：12345第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，解析答案方法二从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，12345由分步乘法计数原理可知，方法三(排除法)：不考虑甲的约束，6个人占4个位置，答案240解析答案4.高二(一)班学生安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同的排法的种数是______(填数字).123453600解析答案5.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是____.解析将5张参观券分成4堆，有2个联号的有4种分法，1