人教A版（新）选择性必修一第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用

章末复习1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题.3.理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.5.会用向量法解决立体几何问题.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则答案问题导学

线线平行l∥m⇔a∥b⇔a＝kb

，k∈R线面平行l∥α⇔______⇔_______面面平行α∥β⇔μ∥v⇔____________线线垂直l⊥m⇔______⇔_______线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ，k∈R面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔_______a⊥μa·μ＝0μ＝kv，k∈Ra⊥ba·b＝0μ·v＝0线线夹角l，m的夹角为θ(0≤θ≤)，cosθ＝______线面夹角l，α的夹角为θ(0≤θ≤)，sinθ＝______面面夹角α，β的夹角为θ(0≤θ≤)，cosθ＝______答案知识点二用坐标法解决立体几何问题的步骤(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；(3)进行相关坐标的运算；(4)写出几何意义下的结论.关键点如下：(1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程.(2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题.(3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.返回解析答案反思与感悟类型一空间向量及其运算例1如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：题型探究

反思与感悟答案③④向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则运算律及其几何意义.反思与感悟解析答案由已知ABCD是平行四边形，类型二利用空间向量证明空间中的位置关系例2

如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.求证：(1)BC1⊥AB1；(2)BC1∥平面CA1D.解析答案反思与感悟证明如图，以C1为原点，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1，1,2).解析答案反思与感悟又ED和BC1不共线，所以ED∥BC1，又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，故BC1∥平面CA1D.(1)证明线与面的平行与垂直：如果直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，且直线不在该平面内，那么这条直线就与该平面平行.如果直线的方向向量与平面的一个法向量共线，则直线与平面垂直.(2)证明面与面的平行与垂直：如果两个不重合平面的法向量互相平行，那么这两个平面互相平行，法向量互相垂直，则这两个平面互相垂直.反思与感悟解析答案跟踪训练2

正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.解析答案证明如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为1，设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量，∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.解析答案类型三利用空间向量求角例3

如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；解交线围成的正方形EHGF如图：

解析答案(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.反思与感悟解作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.因为EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.设n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量，解析答案反思与感悟用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解.(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a方向向量a的夹角的余弦cos〈n，a〉，再利用公式sinθ＝|cos〈n，a〉|，求θ.反思与感悟(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.解析答案跟踪训练3

如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点.(1)求证：GF∥平面ADE；解析答案方法一证明如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，又F是CD的中点，由四边形ABCD是矩形得，AB∥CD，AB＝CD，

所以GH∥DF，且GH＝DF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，所以GF∥平面ADE.解析答案方法二证明如图，取AB中点M，连接MG，MF.又G是BE的中点，可知GM∥AE.又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE，所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD.又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE.所以MF∥平面ADE.又因为GM∩MF＝M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE.因为GF⊂平面GMF，所以GF∥平面ADE.解析答案返回(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.解析答案证明如图，在平面BEC内，过B点作BQ∥EC.因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1).因为AB⊥平面BEC，设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量.返回1.下列各组向量中不平行的是(

)A.a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)B.c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)C.e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)D.g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)解析答案D当堂训练

解析

A：b＝－2a⇒a∥b；B：d＝－3c⇒d∥c；C：而零向量与任何向量都平行.123452.若A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(

)A.不等边锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等边三角形12345解析答案A12345解析答案3.如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为(

)12345解析以点A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝AB＝AC＝2，答案D4.已知a，b，c是空间的一组基底，设p＝a＋b，q＝a－b，则下列向量中可以与p，q一起构成空间的另一组基底的是(

)A.a B.bC.c D.以上都不对12345解析答案解析

∵a，b，c不共面，∴a＋b，a－b，c不共面，∴p，q，c可构成空间的一个基底.C12345解析答案5.已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,1,1)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是____________.x＋y＋z＝0规律与方法(1)理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、数量积的坐标表示以及两点间的距离公式、夹角公式，利用空间向量的坐标运算可将立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如(1)判断线线平行或三点共线，可以转化为证a∥b(b≠0)⇔a＝λb；(2)证明线线垂直，转化为证a⊥b⇔a·b＝0，若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则转化为证x1x2＋y1y2＋z1z2＝0；(3)在立体几何中求线段的长度问题时，转化为a·a＝|a|2，或利用空间两点间的距离公式；(4)在求异面直线所成的角或线面角及二面角时，转化为计算向量的夹角，(2)利用空间向量解决立体几何中的平行问题①证明两条直线平行，可转化为证明这两条直线的方向向量是共线向量，但要注意说明这两条直线不共线.②证明线面平行的方法a.证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但要说明直线不在平面内.b.