选修4-4曲线的参数方程

一曲线的参数方程选修4-4坐标系与参数方程第二讲参数方程1.参数方程的概念

如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时时机呢？提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时,开始投放物资？？救援点投放点xy500o物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。

如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时时机呢？xy500o

如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时时机呢？一、方程组有3个变量,其中的x,y表示点的坐标,变量t叫做参变量,而且x,y分别是t的函数。二、由物理知识可知,物体的位置由时间t唯一决定,从数学角度看,这就是点M的坐标x,y由t唯一确定,这样当t在允许值范围内连续变化时,x,y的值也随之连续地变化,于是就可以连续地描绘出点的轨迹。三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对(x,y)之间有一一对应关系。

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数

并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个与物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.1.参数方程练习：指出下列参数方程中的参数(2)加减消参法：

sin2

＋cos2

＝1;cos2

＝2cos2

－1＝1－2sin2

;sin2

＝2sin

cos.(1)代入消参法；

注意:普通方程中

(x,y)的范围应该符合参数方程的限制条件.2.参数方程化为普通方程练习1.把下列参数方程化为普通方程.练习2.

复习回顾3.练习(1)参数方程表示的曲线是()A.直线B.圆C.线段D.射线复习回顾3.练习(2)在方程表示的曲线上一个点的坐标是()所复习回顾3.练习(2)在方程表示的曲线上一个点的坐标是()C所几种曲线的参数方程(二)第二讲参数方程圆周运动是生活中常见的.当物体绕定轴作匀速转动时,物体中各个点都作匀速圆周运动.那么,怎样刻画运动中点的位置呢？1.圆的参数方程概念如果在时刻t,点M转过的角度是

,坐标是M(x,y),那么

＝

t.设|OM|＝r,那么由三角函数定义有即1.圆的参数方程概念

这就是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程.其中参数t有明确的物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻).讲授新课

考虑到

＝

t,也可以取

为参数,于是有

这也是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程.其中参数

的几何意义是OM0绕点O旋转到OM的位置时,

OM0转过的角度.练习.(1)(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为A.(－1＋cos

,sin

)B.(1＋sin

,cos

)C.(－1＋2cos

,2sin

)D.(1＋2cos

,2sin

)()练习.(1)(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为A.(－1＋cos

,sin

)B.(1＋sin

,cos

)C.(－1＋2cos

,2sin

)D.(1＋2cos

,2sin

)()D练习.的圆心为_________,半径为______.练习.的圆心为_________,半径为______.(4,0)练习.的圆心为_________,半径为______.(4,0)22.参数法求轨迹方程例1.

如图,圆O的半径为2,P是圆上的动点,Q(6,0)是x轴上的定点,M是PQ的中点.当点P绕O作匀速圆周运动时,求点M的轨迹的参数方程.练习.(1)由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是()A.一个定点B.一个椭圆C.一条抛物线D.一条直线练习.(1)由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是()DA.一个定点B.一个椭圆C.一条抛物线D.一条直线(2)若直线与圆相切,则直线的倾斜角为()练习.(2)若直线A与圆相切,则直线的倾斜角为()练习.

小结(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为(2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为

课后作业1.圆的方程为直线方程为(1)求出圆与直线的普通方程；(2)设直线与圆交于A、B,求|AB|.2.

为参数,A(4sin

,6cos

),B(－4cos

,6sin

),求线段AB中点的轨迹.

讲授新课

经过点M0(x0,y0),倾斜角为

的直线l的普通方程是思考

怎样建立直线l的参数方程呢？

因此,经过点M0(x0,y0),倾斜角为

的直线l的参数方程为xyO

课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习圆周运动是生活中常见的.当物体绕定轴作匀速转动时,物体中各个点都作匀速圆周运动.那么,怎样刻画运动中点的位置呢？1.圆的参数方程概念如果在时刻t,点M转过的角度是

,坐标是M(x,y),那么

＝

t.设|OM|＝r,那么由三角函数定义有即1.圆的参数方程概念

这就是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程.其中参数t有明确的物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻).讲授新课

考虑到

＝

t,也可以取

为参数,于是有

这也是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程.其中参数

的几何意义是OM0绕点O旋转到OM的位置时,

OM0转过的角度.练习.(1)(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为A.(－1＋cos

,sin

)B.(1＋sin

,cos

)C.(－1＋2cos

,2sin

)D.(1＋2cos

,2sin

)()练习.(1)(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为A.(－1＋cos

,sin

)B.(1＋sin

,cos

)C.(－1＋2cos

,2sin

)D.(1＋2cos

,2sin

)()D练习.的圆心为_________,半径为______.练习.的圆心为_________,半径为______.(4,0)练习.的圆心为_________,半径为______.(4,0)22.参数法求轨迹方程例1.

如图,圆O的半径为2,P是圆上的动点,Q(6,0)是x轴上的定点,M是PQ的中点.当点P绕O作匀速圆周运动时,求点M的轨迹的参数方程.练习.(1)由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是()A.一个定点B.一个椭圆C.一条抛物线D.一条直线练习.(1)由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是()DA.一个定点B.一个椭圆C.一条抛物线D.一条直线(2)若直线与圆相切,则直线的倾斜角为()练习.(2)若直线A与圆相切,则直线的倾斜角为()练习.

小结(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为(2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为

课后作业1.圆的方程为直线方程为(1)求出圆与直线的普通方程；(2)设直线与圆交于A、B,求|AB|.2.

为参数,A(4sin

,6cos

),B(－4cos