安徽省安庆市太湖中学2024届高三总复习双向达标12月月考调研卷 数学试题（含解析）

2023～2024学年度高三总复习双向达标月考调研卷数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则（

）A． B． C． D．3．已知角的终边过点，则（

）A． B． C． D．4．已知平面向量与的夹角是，且，则（

）A． B． C． D．5．设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．7．设是与的等差中项，则的最小值为（

）A． B．3 C．9 D．8．已知函数的定义域为，且对任意，恒成立，则的解集是（

）A． B．C． D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（

）A．若函数的定义域为，则函数的定义域为B．图象关于点成中心对称C．的最大值为D．幂函数在上为减函数，则的值为110．已知的内角的对边分别为，则下列结论正确的是（

）A．若，则为等腰三角形B．若，则C．若，则D．若，则为直角三角形11．已知为数列的前和，下列说法正确的是（

）A．若数列为等差数列，则，，为等差数列B．若为等比数列，则，，为等比数列C．若为等差数列，则，，为等差数列D．若为等比数列，则，，为等比数列12．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．的最大值为2C．的图象关于直线对称D．在上单调递减三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．关于的不等式的解集为，则.14．设等差数列，的前n项和分别为，，且，则.15．已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则.16．设是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数（）在区间恰有3个不同的零点，则的取值范围是四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列是等差数列，其前项和为，且，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.18．已知函数（其中）的部分图像如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．

(1)求与的解析式；(2)令，求方程在区间内的所有实数解的和．19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求A；(2)若，求面积的最大值.20．已知数列满足：,数列的前n项和(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n项和．21．已知函数是定义在上的奇函数．(1)判断并证明函数的单调性；(2)是否存在实数，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．22．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数的极大值为2，求实数的值；(3)在（2）的条件下，方程存在两个不同的实数根，证明：.1．B【分析】根据二次函数值域可求得，解对数不等式可得，即可求出.【详解】根据二次函数性质可知，又因为，可得，所以可得；由对数函数定义解不等式可得，因此或，所以.故选：2．B【分析】根据复数的除法运算，求出复数，然后利用即可求解.【详解】因为复数满足，所以，所以.故选：B.3．A【分析】先根据三角函数的定义求出，再根据两角差的正弦公式即可得解.【详解】因为角的终边过点，所以，所以.故选：A.4．C【分析】利用模的公式可得到，然后利用数量积的运算律即可得到答案【详解】由可得，因为平面向量与的夹角是，且所以故选：C5．A【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】由等比数列的通项公式可得，，当且时，则，且单调递减，则是递减数列，故充分性满足；当是递减数列，可得或，故必要性不满足；所以“且”是“是递减数列”的充分不必要条件.故选：A6．D【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，求得和，即可求解.【详解】由指数函数在定义域上为单调递增函数，所以，又由对数函数在上为单调递减函数，所以，所以，即.故选：D.7．C【解析】根据等差中项的定义，利用对数的运算得到，然后利用这一结论，将目标化为齐次式，利用基本不等式即可求最小值.【详解】解：是与的等差中项，，即，即，则，当且仅当，即时取等号.故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值中的其次化方法，涉及等差中项概念和对数运算，难度中等.当已知（都是正实数，且为常数），求，为常数的最小值时常用方法，展开后对变量部分利用基本不等式，从而求得最小值；已知（都是正实数，且为常数），求，为常数的最小值时也可以用同样的方法.8．D【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，利用函数的单调性可求得原不等式的解集.【详解】设，该函数的定义域为，则，所以在上单调递增．由可得，即，又在上单调递增，所以，解得，所以原不等式的解集是，故选：D．9．BD【分析】根据函数的定义域、对称性、最值、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，函数的定义域为，所以对于函数，有，即的定义域是，A选项错误.B选项，，所以图象关于点成中心对称，B选项正确.C选项，，所以，即的最小值为，C选项错误.D选项，是幂函数，所以，解得或，当时，，在上递减，当时，，在上递增，所以D选项正确.故选：BD10．ACD【分析】利用正弦定理化边为角，再结合两角差的正弦公式即可判断A；举出反例即可判断B；根据大角对大边，再结合正弦定理化边为角及二倍角的余弦公式即可判断C；利用余弦定理化角为边即可判断D.【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，即，又，则，所以，即，所以为等腰三角形，故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，若，则，则，所以，故，即，故C正确；对于D，，因为，所以，即，所以为直角三角形，故D正确.故选：ACD.11．AC【分析】根据等差数列以及其前n项和的性质逐项判断即可.【详解】对于B和D，当公比时，且m为偶数时，，此时，，不为等比数列；，此时，，不为等比数列，则B和D错误；对于A，若数列为等差数列，设公差为，则，，，由等差数列片段和性质知，，为等差数列，公差为,A正确；对于C，若为等差数列，设公差为，则，，，则，所以，，为等差数列，C正确；故选：12．BD【分析】由、是否成立判断A、C；由，结合余弦函数、二次函数性质判断B、D.【详解】由，所以不是的周期，A错；由，所以的图象不关于直线对称，C错；由，而，所以，B对；由在上递减，且，结合二次函数及复合函数的单调性知：在上单调递减，D对.故选：BD13．##【分析】分析可知，、是关于的方程的两根，利用韦达定理可得出的值.【详解】因为关于的不等式的解集为，则，且、是关于的方程的两根，由韦达定理可得，，解得，所以，.故答案为：.14．##【分析】根据给定条件，利用等差数列性质化简计算作答.【详解】等差数列，的前n项和分别为，，所以.故答案为：15．2【分析】根据数量积的性质，结合投影定义求解可得.【详解】∵，∴，∴，∵向量在向量方向上的投影为，∴，∴，∴，∴.故答案为：216．【分析】先判断函数为周期是4的周期函数，再根据偶函数画出函数在上的图像，根据图像得到，计算得到答案.【详解】对于任意的,都有，函数是一个周期函数，且当时，，且函数是定义在R上的偶函数故函数在区间上的图象如下图所示:若在区间内关于的方程恰有个不同的实数解，即与恰有个不同的交点，由图像可得：，解得:故答案为【点睛】本题考查了函数的零点问题，转化是函数的交点是解题的关键，综合考查了函数的奇偶性，周期性，函数图像，意在考查学生的综合应用能力.17．(1)(2).【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解；（2）分组求和方法求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，又，，所以，解得，，所以的通项公式.（2）由（1）知，所以.18．(1)，(2)【分析】（1）由函数图象可得即周期，即可求出，再利用待定系数法求出，即可求出函数的解析式，再根据平移变换的原则即可求得函数的解析式；（2）先求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质即可得解.【详解】（1）由图可知，，函数的周期，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，所以；（2），由，得，因为，所以，所以或或或，所以或或或，所以方程在区间内的所有实数解的和为．19．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案;（2）由余弦定理结合基本不等式可求得，再利用三角形面积公式求得答案.【详解】（1）根据正弦定理及，得.∵，∴.∵，∴.（2）由（1）知，又，由余弦定理得，即，∵，∴，即，当且仅当时取等号.∴.∴的最大值为.20．(1)(2)【分析】(1)根据数列的递推关系式判断数列类型求出通项公式,根据的前n项和,利用,求出数列的通项公式即可,注意检验;(2)根据数列通项公式的特殊性,利用错位相减法,求出其前n项和即可.【详解】（1）解:由题知,是以2为公比的等比数列,,的前n项和,时,当时,,故,综上:;（2）由(1)知,,,①,②②-①可得:故.21．(1)是上的增函数，证明见解析(2)存在；【分析】(1)先利用奇函数的性质求出字母，再根据函数单调性定义取证明即可；(2)先假设存在，利用第一问函数单调性结论得出两个等式，再结合两个等式的特点转化为一个方程，使用换元法可得一个一元二次方程两个不等正根的问题，结合一元二次方程根与系数关系即可求解.【详解】（1），所以是上的增函数，证明如下：设，，，∴，，，，∴是上的单调增函数．（2）假设存在实数，使之满足题意．由（1）可得函数在上单调递增，∴，∴∴，为方程的两个根，即方程有两个不等的实根．令，即方程有两个不等的正根．，∴故存在，实数的取值范围为：22．(1)答案见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）对函数求导，对参数进行分类讨论即可得出的单调性；（2）结合（1）中的结论和极值的定义可得，可解得；（3）根据方程存在两个不同的实数根，可构造函数，并证明其单调性即可得时满足，即可证明不等式.【详解】（1）因为，可得函数的定义域为，所以，当时，在恒成立，故函数在上单调递增；当时，若，则，故函数在上单调递增；若，则，故函数在上单调递减；综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）因为的极大值为2，