人教版八年级下第十八章-平行四边形18.2特殊的平行四边形公开课

18.2.3正方形生活中的正方形思考1、正方形的四条边有什么关系？四个角呢？2、正方形是矩形吗？是菱形吗？3、正方形具有哪些性质呢？动手做一做（1）（2）1．正方形的定义

正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形。如图(1)。

四条边相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。正形方菱形矩形平行四边形四边形平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系结论:

正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。正方形的性质=菱形性质矩形性质

正方形性质:

边:对边平行、四边相等

角：四个角都是直角

对角线：相等、互相垂直平分、每条对角线平分一组对角。

图形的对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形。

你觉得什么样的四边形是正方形呢?正方形2.矩形有一组邻边相等3.菱形有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角1.平行四边形常见证明正方形的方法：１．一个矩形的两条对角线互相垂直，它是正方形吗？２．一个菱形的两条对角线相等，它是正方形吗？小试牛刀思考：例1：1、要使一个菱形成为正方形需增加的条件是

（填上一个条件即可）有一个角是直角或对角线相等2、要使一个矩形成为正方形需添加的条件是（填上一个条件即可）一组邻边相等（或对角线互相垂直）例２：下列正确的是Ａ.四边相等的四边形是正方形Ｂ．四角相等的四边形是正方形Ｃ．对角线垂直的平行四边形是正方形Ｄ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D范例精讲

．已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD相

求证：△ABO≌△BCO≌△CDO≌△ADO交于点O。例1求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N.

求证：BM＝CN

例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。证明：

∵四边形ABCD是正方形

∴OA＝OB,∠1＝∠2＝∠3＝45°

又∵MN∥AB∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45°

∴OM＝ON

∴OA－OM＝OB－ON

即AM＝BN

下面大家自己完成证明

练习1．已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB＝acm，如图(2)。

求：AC的长及正方形的面积S。

练习2．已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6cm求：正方形的面积S。

例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，

求证：∠MFD＝45°

例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，

求证：∠MFD＝45°

证明：∵CE⊥AF

∴∠ADC＝∠AEM＝90°

又∵∠CMD＝∠AME

∴∠1＝∠2

又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC

∴Rt△CDM≌Rt△ADF(AAS)

∴DM=DF

下面的证明请大家完成练习．如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。

求证：(1)△ACF≌△DCB(2)BH⊥AF

证明：

例4．如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。

求证：∠CEA＝∠ABG

证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。

∴AE＝ABAG＝AC∠1＝∠2＝90°

又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC

∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC

∴∠EAC＝∠BAG

∴△AEC≌△ABG(SAS)∴∠CEA＝∠ABG

例5、在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝ＤＤ`.四边形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？D`C`B`A`DCBA练习：在△ABC中,AB