浅谈矩阵的应用

浅谈矩阵的应用作者摘要：矩阵是数学的重要研究工具之一，其应用很广泛，矩阵的应用对于矩阵理论以及数学发展有着非常重要的作用。本论文主要讨论了矩阵在不同领域中的应用，有非常重要的理论及现实意义。本研究的开展以文献研究法为基础，通过具体实例来将矩阵在不同领域当中的应用问题解决。主要讨论的矩阵应用领域主要有经济生活、密码学、交通运输、文献管理以及在解方程组、矩阵秩、在计算机中、向量组秩领域。关键词：矩阵；应用；线性方程组1引言在汉代《九章算术》当中就已经提出了矩阵的概念，但并非为独立概念，主要是在实际的问题当中进行应用。至19世纪末，其概念逐渐形成。到了20世纪开始，矩阵迅速发展，且遍布生活的每个领域当中，随着现代科学的发展，矩阵在经济中广泛而深入的应用是当前经济学最为深刻的因素之一，矩阵的应用是具备重要的现实意义的，在不同领域当中都会有它的身影[1]。高校中的必须科目就是代数学，而矩阵的应用也是代数学的重要载体之一。因此，了解且掌握矩阵的应用，对于解决代数学等问题尤为重要。本文也将对有关矩阵应用的内容进行了解，并通过具体的例子来说明矩阵在经济学、密码学、交通运输、文献管理以及在解方程组、矩阵秩、在计算机中、向量组秩等方面的应用。2.预备知识由个数a(1,2,..j.=1.2...n)排成的行列的数表称为行列矩阵，简称行矩阵。只有一行的矩阵A=aa...a)称为行矩阵或行向量，只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量。矩阵计算的合适出发点是矩阵与矩阵的乘法。这一问题在数学上虽然简单,但从计算_上来看却是十分丰富的。矩阵相乘可以有好几种不同的形式，还将引入矩阵划分的概念，并将其用来刻画计算上的几种线性代数的“级”。如果一个矩阵具有某种结构，则它常常可以加以利用。例如一个对称矩阵，只需要一个一般矩阵的一半空间即可储存。在矩阵乘向量中如果矩阵有许多零元素，则可减少许多时间。矩阵计算是基于线性代数运算的，点积运算包括标量的加法和乘法。矩阵向量相乘由点积组成。（1）转置（2）相加（3）标量和矩阵相乘（4）矩阵和矩阵相乘此类运算均为构建矩阵计算基石对任意的数。(2)逆矩阵对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵，使，则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵，简称逆阵。如果矩阵是可逆的那么的矩阵是唯一的。的逆阵记作:1即若，则。.若矩阵可逆，则。若,则矩阵可逆，且，其中*为矩阵的伴随阵。3矩阵的应用下面将讨论矩阵在经济学、密码学、交通运输、文献管理以及在解方程组、矩阵秩、在计算机中、向量组秩方面的应用。3.1矩阵在经济学中的应用定义：矩阵乘法属于一种高效算法，能将一些一维递推优化到，还能求路径的方案等。因此，其更属于一种应用性非常强的算法。矩阵为线性代数当中的一个基本概念。一个的矩阵就是个数排成行列的一个数阵。因为其将很多数据集中在一起，因此有时能将某些复杂模型简单的表示。定理：设AB为属于P上的矩阵，则：也就是矩阵乘积行列式等于其因子的行列式乘积。探究：在现实生活中，我们会接触到各种各样的量，比如，水果店卖单一品种且单一等级的水果，用数表示单价.当出售的水果包括两种以上，例如苹果、梨，等级也分为优等、中等，那么如何列出价格表，标出不同品种，不同等级的水果单价呢。例1：小兰家里开一个超市，门口兼顾出售3种水果，它们的单价和利润如表所示：品种西瓜哈密瓜普通优等365中等254单价向量和利润向量构成的长方形数表为。从以上案例我们可以发现，现实经济学中的一些数据需要矩阵表示出来，这样有些关系例如不同品种的水果价格便于查询、计算和管理，为此，有必要对他们进行深入探究[2]。例2：发电厂需要使用煤也需要使用电，还需要一定程度的铁路运能。因此，系统当中的每一个生产部门也就是消耗部门，称消耗系统内部的产品为投入，生产获得的产品为本部门的产出。假设下表中给出的已知数据为：消耗部门生产部门煤矿电厂铁路煤矿0.000.360.41电厂0.210.060.16铁路0.410.160.16通过表中数据可以获得以下矩阵：现设三个企业订单分别是：煤矿订单为40000元，电厂订单为35000元，铁路订单为15000元。以下将对企业月总产出量是多少，才可以将订单任务完成。设，，依次为三个企业的产出，那么其产出要将系统内部所需满足，也要将订单任务满足，可以得到以下：令，，那么上述公式即是：也就是其中，是列昂节夫矩阵通过上述内容可以知道，不管外部存在任何的需求（其元是非负值），总可以获得的解。也就是说，此种经济系统是可行的。2.2矩阵在密码学中的应用定义：二阶单位矩阵：矩阵，叫做2阶单位矩阵，记作。定理：如果，都是方阵，那么的行列式完全可以写作的行列式乘以的行列式。如果矩阵是可逆矩阵，那么矩阵的逆矩阵是唯一的，记作的逆。密码是通讯双方的一种秘密约定，以防密码被第三者破译。本论文介绍一种新的编码方式，用矩阵来编码。密码发送、接受的原理是：发送方把要发送的明文信息用加密矩阵加密成密文发出，接收方收到后用解密矩阵对解密，获得明文通常，加密矩阵与解密矩阵是互逆的，即根据这一原理，矩阵成为密码应用的有力工具。具体方法是：将要发送的明文信息几数字化用矩阵表示，取可逆矩阵为加密密钥，用左乘得到密文发出，收方用解密密钥，左乘对密文解密，得到明文信息。本论文以二阶矩阵为例，矩阵在密码学中的作用[3]。二阶可逆矩阵：设定一个二阶方阵，若存在一个二阶方阵使得，则称是可逆的，且是的逆阵，记做。例3：已知矩阵，求。解：设，，，则，，，，得。例4：将英文字母数字化，，，···，发送方传出的密文为16，23，24，60，加密密钥矩阵为，试破解发送密码。解：设，数字矩阵为发送方传出的明文，那么，即，所以。即发送方传出的明文为2，1，3，11，将数字英文化，其实发送者想传递的信息是“back”[5]。2.3矩阵在交通运输中的应用定义：矩阵树定理是一个计数定理，常用于解决无向联通图的生成树计数问题。在交通运输中应用矩阵需要应用树定理：定理：若连通图的邻接矩阵为，将的对角线元素依次换为节点的度，其余元素取的相反数，所得矩阵记为，则的每个代数余子式相等，且等于的生成树的数目。四个城市间的单向航线如图1所示。如图1四个城市间的单向航线若令1，从i市到j市有1条单向航线四个城市之间的航线连接可用矩阵表示为：A=AA2表示从i市经一次中转到市的单向航线条数，如b42=2表示城市经过一次中转到城市有两条航线。类似可算出A3，A4···An，矩阵中的每个元素表示i市经两次，三次，···次中转到2.4矩阵在文献管理中的应用定义：在线性代数中，列向量是一个的矩阵，即矩阵由一个含有个元素的列所组成:列向量的转置是一个行向量，反之亦然。所有的列向量的集合形成一个向量空间，它是所有行向量集合的对偶空间。定理：假如数据库中包括了个文件，而搜索所用的关键词有个，如果关键词按字母顺序排列，我们就可以把数据库表示为的矩阵。其中每个关键词占矩阵的一行，每个文件用矩阵的列表示。的第列的第一个元素是一个数，它表示第一个关键词出现的相对频率；第二个元素表示第二个关键词出现的相对频率；…，依次类推。用于搜索的关键词清单用空间的列向量表示。如果关键词清单中第个关键词在搜索列中出现，则的第个元素就赋值1，否则就赋值0。为了进行搜索，只要把乘以[7]。下面我们来看一个例子：假如，数据库包含有一下书名：B1-应用线性代数，B2-初等线性代数，B3-初等线性代数及其应用，B4-线性代数，B5-线性代数应用，B6-矩阵代数及应用，B7-矩阵理论。而搜索的6个关键词组成的集按以下的拼音字母次序排列；初等，代数，矩阵，理论，线性，应用因为这些关键词在书名中做多出现1次，所以其相对频率数不是0就是1[8]。当第个关键词出现在第本书名上时，元素就等于1，否则就等于0。这样我们的数据库矩阵就可用下表表示：关键词书B1B2B3B4B5B6B7初等0110000代数1111110矩阵0000010理论0000001线性1111100应用1011110假如读者输入的关键词是“应用，线性，代数”，则数据库矩阵和搜索向量为：搜索结果可以表示为两者的乘积：，于是可得的各个分量就表示各书与搜索向量匹配程度。因为，说明四本书B1，B3，B4，B5必然包含所有三个关键词。这四本书就被认为具有最高的匹配度，因而在搜索的结果中会把这几本书排在最前面[9]。本例把线性变换的概念进一步扩展，它不一定是在具体的几何空间内进行的变量变换，在本例中是从“关键词”到“文献目录”的变换[10]。现代搜索中往往包括几百万个文件和成千的关键词，但由于矩阵和向量的稀疏性，节省计算机的存储空间和搜索时间。2.5矩阵在解方程组方面的应用定义：在数论当中，整数矩阵是一种有重要应用的矩阵。表示元素；均为整数阶矩阵。如果阶整数矩阵的行列式全为1，那么称作是幺模矩阵，一个整数矩阵存在逆整数矩阵，当且仅当此矩阵为幺模矩阵。定理：整矩阵的所有特征值为整数的充分必要条件为，其中与，是分量全部为整数的整向量且满足证充分性。例5：求解线性方程：解：编写一个函数，程序及结果见附录1.解得原方程组的解为:.这是方程组有唯一解的情况，下面我们来看一下方程组有无穷解的情况：例6求解线性方程组解:编写一个函数，程序及结果见附录2.解得原方程组的通解为:2.6在矩阵秩方面的应用定义：在线性代数中，一个矩阵的列秩是的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。定理：矩阵的秩等于非零子式的极大阶。例6：求矩阵的秩，其中；解：法一（定义1）有4个3阶子式，，，，.即它的所有3阶子式均为0.我们再随便写几个它的2阶子式，，故的秩为2.法二（定义2）令，，.则.显然中两两不成比例，故秩不可能是1，但可能是2，这还需要验证，令.则带入数据，即有，解得，即有，也就是能被线性表出。故其秩为2.法三（定义3），最终阶梯型矩阵不为0的行数是2，故其秩为2.2.7矩阵在计算机中的应用定义：变换矩阵为数学线性代数当中的概念之一。在线性代数当中，线性变换可以使用矩阵来进行表示。若为一个将映射至Rm的线性变换，并且为一个具有元素的列向量，则将的矩阵称作是的变换矩阵。定理：如果已经有一个函数型的线性变换，那么通过对标准基每个向量进行简单变换，然后将结果插入矩阵的列中，这样很容易就可以确定变换矩阵。例7：在二维直角坐标系中有三角形ABC，坐标分别为（2，3），（3，1），（1，1），现将其向轴正方向平移2个单位，向轴正方向平移2个单位，求平移后各点对应的齐次坐标及相应的变换矩阵？解：先写出ABC三点所对应的齐次坐标，（2，3，1），(3，1，1)，(1，1，1)平移的矩阵变换式为此处，，则变换矩阵为经上述变换后，点齐次坐标为（4，5，1）,点齐次坐标为(5，3，1),点齐次坐标为（3，3，1）。可以看出图形的一种变换对应着一个矩阵运算，也就是说二维图形变换可以表示为图形点集的齐次坐标矩阵与某一变换矩阵相乘的形式[11]。我们可以定义以下二维变换矩阵：这样，二维空间中的某点的二维变换可以表示成点的规范化齐次坐标矩阵与三维齐次坐标变换矩阵相乘的形式，即根据在变换中的具体作用，进一步可以将分成4个子矩阵。矩阵的作用是对点进行比例、对称、旋转和错切变换。矩阵的作用是对点进行平移变换。矩阵的作用是进行透视投影变换。矩阵的作用是产生整体比例变换。2.8求向量组秩方面的应用定义：向量组秩向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。定理：因为初等变换不将矩阵的秩改变，并且任意一个矩阵都能够经过一系列的初等行变换转化成阶梯矩阵。座椅，要将一个矩阵的秩确定，在其不是阶梯矩阵的时候，可先通过初等行变换将其化为阶梯矩阵，之后就能够由阶梯矩阵的秩将原矩阵的秩确定。例8：已知，求解：由于存在2个非零行向量，因此，。注：若要求向量组的秩，可以将每一向量当做矩阵的列，进而转化成为求矩阵的秩，还可以求最大线性无关组。如果求向量一个最大无关组，且将其余的向量使用最大无关组来表示。通过上述矩阵可以得到向量组的秩是2，为一个最大无关组，并且可以获得。这里需要应用矩阵乘法定理：两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。例9：设有向量组（1）.（2）试问：当为何值时，向量组（1）与（2）不等价？解：作初等航变换，有当时，有由于，线性方程组无解，故向量不能由线性表示.因此向量组（1）与（2）不等价。向量组的秩与向量组的最大无关组密切相关，向量空间的基的本质就是向量空间的一个最大无关组，向量组的秩又恰好等于其构成的矩阵的秩，这使得矩阵的秩与向量空间的维数和向量空间的基相联系[12]。因此，研究矩阵的秩、向量组的秩、向量空间的维数以及线性方程组解得理论和方法密不可分。结论在代数学领域中，矩阵式重要的工具，矩阵在生活中的经济等不同领域中都可以发挥着重要的作用。本文在有关文献研究的基础上对矩阵的应用做更进一步的研究，分别从矩阵的应用以及矩阵在其他领域当中的应用展开说明，并通过例题进行分析。关于矩阵的应用部分，分别从矩阵在经济学中、在密码学中、在文献管理中、在交通运输中、在解方程组方面、在矩阵秩方面、在计算机中以及求向量组秩方面的应用进行细致的说明[15]。同时本论文的开展也将对矩阵的认识加深，对矩阵的实际应用有了更深刻的了解。通过具体例子能够看出，矩阵的应用可以更加简便的将复杂的问题解决，且在解题的过程当中具备逻辑性，可以说学生对于矩阵的学习是非常有必要且具有重要的现实意义的，同时在更多领域中的广泛应用也是具有很好的发展前景的。

参考文献：[1].刘秋荣.[浅谈《高等代数》中的矩阵的秩].教育经验与德育园地,2000.[2].王玉富.[矩阵秩的不同定义及其比较].湖北民族学学院报,2011