高中数学必修二经典练习题

高数学必修二第二章经典练习题

3.平面a内有一四边形ABCD,P为a外一点，P点到四边形ABCD各边的距

离相等，则这个四边形（）

第I卷（选择题）

请修改第I卷的文字说明A必有外接圆B必有内切圆C既有内切圆又有外接圆

评卷人得分D必是正方形

—•、单项选择

4.已知六棱锥/38EF的底面是正六边形，K41平面/3C,PA=

1.在空间，下列哪些命题是正确的（）.

2AB,则下列结论正确的是（）

①平行于同一条直线的两条直线互相平行

A.PB\_ADB.平面平面依C

②垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C.直线3C//平面R4ED.直线至与平面/3C所成的角为45°

③平行于同一个平面的两条直线互相平行

5.若a,b是异面直线，直线c〃a,则c与b的位置关系是（）

④垂直于不一个平面的两条直线互相平行

A.相交B.异面C.平行D.异面或相交

A.仅②不正确B.仅①、④正确

C.仅①正确D.四个命题都正确

6.设四棱锥0-/S8的底面不是平行四边形，用平面a去截此四棱锥

（如图），使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面。（）

2.如果直线a是平面a的斜线，那么在平面a内（）

A不存在与a平行的直线B不存在与a垂直的直线

C与a垂直的直线只有一条D与a平行的直线有无数条

A.-Bo-Co-

532

10.已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面外尸,则下列命题中

正确的是（）

A.不存在B.只有1个C.恰有4个D.有无数A若m/la,nua,则/InB.若ac。=ni,m_Ln,则〃±a

多个C.若〃?///〃//a,则〃?//"D.若m//a，mu=〃，则加//〃

7.设P是AABC所在平面外一点，P到aABC各顶点的距离相等，而且PH.在三棱柱ABC-A百G中，各棱长相等，侧接垂直于底面，点。是

到△ABC各边的距离也相等，那么4ABC（）侧面BBC。的中心，则与平面6BCC所成角的大小是（）

A是非等腰的直角三角形B是等腰直角三角形A.30°B.45°C.60°D.90w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

C是等边三角形D不是A、B、C所述的三角形

12.已知直线I、机，平面a、夕，且/J_a,mu尸，则a〃4是

8.已知正四棱锥S-ABCO的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中的

点，则AE,SO所成的角的余弦值为（）A.充要条件3.充分不必要条件

10G2C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

A.-B.—C.—D.-

3333

13.设b,c表示两条直线，a,月表示两个平面，下列命题中是真命题的是

9.正方体ABCD-ABCD中,E、F分别是AAi与CC的中点,则直线ED

与DF所成角的大小是()

baa)Oua]A.1B.3C.4D.1或4

A.'=Z?//cB.\ncIla

clla]bI!c\

cllaclla18.设a,b为两条直线,a,（3为两个平面，下列四个命题中真命题是（）

C.>=>a.LJ3D.=>c"

C"aIB

A.若a,b与a所成角相等，则a//b

14.在下列四个正方体中，能得出力8,⑦的是（）B.若a//a,b//p,a邛,则aj_b

C.若a?a,b?p,a±b,则a邛

D.若ala,bip,alp,则aj_b

15.在正方体AbCD-A修GR中，。为正方形A6CD中心，则4O与平

面ABCD所成角的正切值为（）

19.如图正四面体D-ABC中，PC面DBA,则在平

A.V2B.—C.1D.—

23

面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有（）

16.在正方体ABC。-4旦G。中，若E是4G的中点，则直线CE垂A.0条B.1条C.2条D.3条

直于（）

20.已知AA是两条异面直线的公垂线段，E、F分别是异面直线上任意两

AACBBDCA。DA"

点，那么线段AA'与EF的长度关系是（）

17.四条不共线的线段顺次首尾连接，可确定平面的个数是（)AEF<AABEFwAACEF>AADEF>AAZ

A.至少有一条B.至多有一条C.有且只有一条D.不可能有

21.已知a、夕是平面，〃?、w是直线，下列命题中不正确的是（）

A.若加〃〃，_La,则〃_LaB.若〃z_La,mu廿，25.若平面外的一条直线上有两个点到一个平面的距离相等，则这条直

则aJ-力线和这个平面的位置关系是（）

C.若〃z_La,m_L/7,则a4夕D.若"？//a,af］用=〃，A.平行B.相交C.垂直D.平行或相交

则"？IIn

26.直线与平面平行的充要条件是（）

22.三个角是直角的四边形（）A.直线与平面内的一条直线平行B。直线与平面内的两条直线

A.一定是矩形不相交

B.一定是空间四边形C.直线与平面内的任一直线都不相交Do直线与平行内的无数条直

C.是四个角为直角的空间四边形线平行

D.不能确定

27.下列四个结论：

23.如图长方体中，AB=AD=2V3,CC尸泥,则二面角G—BD—C的大⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。

小为（）⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。

A.30°B.45°C.60°D,90°⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

24.直线a//平面a,平面a内有n条直线交于一点，那么这n条直线⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平

中与直线a平行的（）面平行。

其中正确的个数为（）（2）两条异面直线在同一平面内的射影是两条相交直线；（3）两条平行

A.0B.1C.2D.3直线在同一平面内的射影是两条平行直线；（4）一个锐角在一个平面内

的射影一定是锐角。以上命题正确的有（）

28.如图，正方体AG的棱长为1,过点A作平面的垂线，垂足为

A0个B1个C2个D3个

点H.则以下命题中错误的是（）

31.正四棱锥P-ABC。的所有棱长相等，E为PC的中点，那么异面直

线BE与PA所成角的余弦值等于（)

10C.也D.立

A.-B.-

2233

32.对于任意的直线，与平面a,在平面a内必有直线〃?，使机与/

A.点H是AAfO的垂心B.AH垂直平面C4R

（）

C.AH的延长线经过点GD.直线和所成角为45。（A）平行（B）相交

（C）垂直（D）互为异面直线

29.空间四边形ABCD中，ACLBD,且AC=BD,E,F,G,H分别是AB,BC,

CD,DA的中点，则四边形EFGH是（）33.已知a、b、c均是直线，则下列命题中，必成立的是（）

A.菱形B.矩形C.梯形D.正方形A.若aj_b,b±c,则aj_cB.若a与b相交，b与c相交，则a与

c也相交

30.命题：（1）一个平面的两条斜线段中，较长的斜线段有较长的射影;

C.若2〃垓b〃c,则a〃cD.若a与b异面，b与c异面，则a与

C也是异面直线37.已知a,b是两条不重合的直线，a,夕是两个不重合的平面，下列

命题中正确的是（）

34.在正四棱锥P-ABCD中，点P在底面上的射影为0,E为PC的中点,

A.allh,hila,则。〃a

则直线AP与0E的位置关系是（）

B.a,bua,all（3,b//（3,则。〃6

A.平行B.相交C.异面D,都有可

C.a±a,blla,则a_Lb

能

D.当aua,且hue时，若。IIa,则。Hb

500K

35.三棱锥P—ABC的四个顶点都在体积为不一的球的表面上，AABC所

38.与空间四点距离相等的平面共有（）

在的小圆面积为16%则该三棱锥的高的最大值为（）A.3个或7个B.4个或10个

A.7B.7.5C.4个或无数个D.7个或无数个

C.8D.9

39.已知直线，勿与平面a,P，/满足/0/=/，/〃a,〃?ua,,则

36.已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，5A有（）

垂直于底面ABC,SA=3,那么直线A8与平面S3。所成角的正弦值为（A）a±yJ].mH[}（B）a_Ly且/_L〃？

（）（C）mH0且ILm（D）a〃,且a_Ly

(A)半⑻手（04（吟

440.在棱长为1的正方体ABCD-AB.C.D,中，与平面ABCD所成的角

为（）

——arctan——一

A、6B、3c、3D、

arctan——

2

第H卷（非选择题）

请修改第II卷的文字说明

43.m、〃为直线，a、P为平面，给出下列命题：

评卷人得分

①若_La,，〃u尸，则aJ.1；

②若mua,neta,m,〃是异面直线,则a_L/?;

41.已知直线。和平面试利用上述三个元素并借助于它们之间的

③若mua,〃ua,加〃尸，〃〃夕，则a〃夕;

位置关系，构造出一个条件，使之能判断出,这个条件可以

④若a^\/3-m,n//m,〃aa,〃/?,则〃〃。且〃〃/7.

是.

其中正确命题序号是.

42.已知三个平面a、B、y,a,b是异面直线，a与a,

44.已知平面a,直线/，加满足：aLy,yC\a=m,-y^/3=l,lA.m,

3,Y分别交于A、B、C三点，b与a、B、y分别交于D、E、F三点,

那么

连结AF交平面B于G,连结CD交平面B于H,则四边形BGEH必为

①n/J■尸；②/_La;③尸J_7；®aL/3.

可由上述条件可推出的结论有（请将你认为正确的结论的序号

都填上）.

45.已知平面&/?和直线，给出条件:AD=y[2,E为。。的中点，将AfiCE沿座折起，使得COLDE,其

①相〃a;②m_La;③/wua；④a_L£;®a//p.中点。在线段。E内.

(i)当满足条件时，有〃z〃，；(ii)当满足条件(1)求证：CO_L平面ABE。；

时，有(2)问NCEO(记为。)多大时，三棱锥C-AQE的体积最大？最大值

(填所选条件的序号)为多少？

评卷人得分

三、解答题

46.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1,AB=2,

ZPAB=120,NPBC=90.

48.如图,ABCD是正方形,0是正方形的中心,POJ_面ABCD,E是PC的中点.

求证：(DPA〃平面BDE

(2)平面PAC_L平面BDE

(1)求证:平面以£>_!_平面PAB；

(2)求三棱锥D-PAC的体积；

47.如图，直角梯形ABCO中，AB〃CD,AD±AB,CD^2AB^4,

302‘，平面"5'6.

49.如图,已知四棱台ABCD-ABCD的侧棱AAi垂直于底面垂CD,底面

ABCD是边长为2的正方形，四边形ABCD是边长为1的正方形，DD,=2.

(I)求证：平面AMC」平面BBDDi；

(II)求四棱台ABCD-ABCD的体积;

(III)求二面角B—3C—D的余弦值.

50.如图所示的几何体是将高为2,底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面

切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的.A,A',民分别为

CD,CD',DE,D'E'的中点，分别为CD,CD',

DE,DE的中点.

(1)证明：四点共面；

(2)设G为A4'中点，延长A'O：到〃'，使得=证明：

参考答案

一、单项选择

1.【答案】B

【解析】①该命题就是平行公理，即课本中的公理4,因此该命题是正确的；②如图，

直线a_L平面a,bua,cua,^.bC\c=A,则aA.c,即平面a内两条

直交直线》，c都垂直于同一条直线“，但匕，。的位置关系并不是平行.另外，b,c

的位置关系也可以是异面，如果把直线力平移到平面a外，此时与。的位置关系仍是垂

直，但此时，b,c的位置关系是异面.

③如图，在正方体ABC。—4用中，易知4片〃平面ABC。，AQ〃平面ABCQ,

但44n4A=4,因此该命题是错误的.

④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的.综上可知①、④正确.

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】D

【解析】r/。与依在平面/8C内的射影不垂直，A不成立；又平面A13J_平

面RtE,，平面平面依。也不成立；■.,8％40,「.SC力平面ZM。，.,.直线3c

//平面A4E也不成立.在RtZ\R4。中，PA=AD=2AB,：.APDA=45°,，D正确.

5.【答案】D

6.【答案】D

【解析】设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为相、“，直线加、〃确定了一个平面?.

作与万平行的平面。，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形.而

这样的平面。有无数多个.

7.【答案】C

8•【答案】连接AC、BD交于0,连接0E,因0E〃SD.所以NAE0为所求.设侧棱长与底面

边长都等于2,则在/AE0中,0E=1,A0=&,AE=A/F=I=g,

于是cosZAEoJ扬2=3=走【答案】C

2xV3xlV33

9.【答案】A

10.【答案】D

11.【答案】C

【解析】取BC的中点E,则4石_1面5片。0,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

..AEA.DE,因此AO与平面所成角即为NAOE,设AB=a,则4七=当。，

DE=-,即有tanZADE=瓜：.ZADE=60°.

2

12.【答案】B

13.【答案】C

14.【答案】A

【解析】••・切在平面腿内，力8是平面板的斜线，由三垂线定理可得A.

15.【答案】A

16.【答案】B

17.【答案】D

【解析】可以是平面四边形，也可以是空间四边形，所以正确选项为D.

18.【答案】D

【解析】正四棱锥P-ABCD中，PA、PC与底面ABCD所成角相等，但PA与PC相交，，A

错；如图⑴正方体中，a由b//c,满足a//a,b//p,alp,故B错；图(2)正方体中，

上、下底面为B、a,a、b为棱，满足a?a,b?p,a±b,但故C错；

19.【答案】C

【解析】在平面DAB内过点B与直线BC成60"角的直线共有2条,

故在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有2条。

20.【答案】D

21.【答案】D

依次画出各选项的示意图:

【解析】依次画出各选项的示意图:

显然D不正确，选D

22.【答案】D

【解析】若此四边形是平面图形，则一定是矩形.若为空间图形，则为有三个角为直角

的空间四边形.

23.【答案】A

24.【答案】B

【解析】过。与该点作一平面与平面a相交，则交线与a平行，那么在平面。内过该点

的直线中，除这一条直线外，其余的与a都不平行，所以正确选项为B.

25.【答案】D

【解析】考虑平面外的直线与平面有两种位置关系可得正确选项为D.

26.【答案】C

27.【答案】A

【解析】⑴两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能

⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内

28.【答案】D

29.【答案】D

【解析】由中位线定理得四边形是平行四边形，再由已知可得相邻两边垂直且相等，所

以正确选项为D,即有

1又EF//AC

EF//-AC

=2EH//BD

\nEFHGH,nEF_LGH,EF=EH

=AC1BD

GH//—AC

=2AC=BD

四边形EFGH是正方形.

30.【答案】A

31.【答案】D

32.【答案】C

33.【答案】C

34.【答案】A

35.【答案】C

【解析】•「△ABC所在小圆面积为⑸,

，小圆半径r=0'A=4,

500兀4兀R3500冗

又球体积为一】

O

球半径R=5,/.00r=3,

故三棱锥的高为P0'=R±00'=8或2,故选C.

36.【答案】D

【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。

过A作AE垂直于BC交BC于E,连结SE,过A作AF垂直于SE交SE于F,连BF,•.・正

三角形ABC,E为BC中点，BC1AE,SA1BC,/.BC±®SAE,/.BC1AF,AF±

SE,AF_L面SBC,•；/ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3,，

AE=Q,AS=3「.SE=2后，AF=-,/.sinZABF=-

24

37.【答案】B

38.【答案】D

【解析】若4B、C、。四点不在一个平面内，如果一边3个，另一边1个，适合题意

的平面有4个;如果每边2个，适合题意的平面有3个，共7个.若4B、C、。四点

在一个平面内,则距离相等的平面有无数个.

39.【答案】B

mua,m±/=>«±/,又Iuynm工I.

40.【答案】D

二、填空题

auaalia

41.【答案】或*

a(3

42.【答案】平行四边形

【解析】由a//(3"丫，a与AF相交于A有：BGu面ACF,

BG//CF,同理有：HE//CF,.-.BG//HE.同理BH//GE,四边形BGEH为平行四边

形.

43.【答案】①②

44.【答案】②④

45.【答案】③⑤②⑤

【解析】若mua,allp,则加/£;

若〃z_La,allpy则根_L。

三、解答题

46.【答案】(1)证明：•••ABCD为矩形

，AD±ABSL.AD//BC

,:BCLPBDA±PBS.ABp\PB=B

，D4,平面的，又：D4u平面PAD

.•.平面抬。_L平面的

（2）•Vn.pAC=Vp-OAC=Vp-ABC=^C-PAB

由（1）知D4_L平面且AO〃BC，BC_L平面ftAB分

iiii

V=-S.„.BC=——PAABsinNPABBC=-xlx2x—xl=—

cC-PAB3^ABB32626

47.【答案】（1）在直角梯形438中，CD^2AB,E为CD的中点，则AB=DE,

又A3〃DE,

ADLAB,知BEJ_C。.在四棱锥C-ABEO中，BE^DE,BE±CE,

CEp[DE=E,虑,。后<=平面。。£,则3E_L平面CDE.因为COu平面CDE,所以

BE上CO.又COLDE,且BE,DE是平面ABEZ）内两条相交直线，故CO_L平面

ABED.

⑵由⑴知CO_L平面A6E。，

知三棱锥C-40E的体积V=1SMO£OC=|x|xOExADxOC

由直角梯形ABC。中，C£）=2AB=4,AO=&,