高三数学下学期多选题单元 易错题综合模拟测评检测试题

一、函数的概念与基本初等函数多选题

1.已知函数“力=<；：：]，若存在实数。，使得则a的个数

不是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】ABD

【分析】

令/(a)=f,即满足/(r)=r,对t进行分类讨论，结合已知函数解析式代入即可求得满

足题意的3进而求得a

【详解】

令/(a)=f,即满足/(r)=f,转化为函数y=/(。与%=^有交点，结合图像

由图可知，/(，)=/有两个根/1=()或f=l

/、/\[2-a.a>1

(1)当£=1,即/(a)=l,由，得.=±1时，经检验均满足题意;

(2)当r=0，即/(a)=0,当aNl时，,f(a)=2-a=0,解得：a-2；当a<l

时,/(«)=a2=0,解得：(z=0；

综上所述：共有4个a.

故选：ABD.

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图像，利用数形结合的方法求解

2.函数“X)的定义域为O,若存在区间仁。使“X)在区间网用上的值域也是

[m.n\,则称区间卜%为函数的〃和谐区间〃，则下列函数存在〃和谐区间〃的是

()

A.f(x)=GB./(x)=x2—2x+2C./(x)=x+—

D."x)=L

x

【答案】ABD

【分析】

根据题意，可知若“X)在区间上”,〃]上的值域也是[m,〃],则“X)存在"和谐区

间"机,〃，且加<〃，则匕〉/或/，再对各个选项进行运算求解

L」[/(〃)=〃[n)-m

…,即可判断该函数是否存在"和谐区间

【详解】

解：由题得，若.f(x)在区间[〃?,〃]上的值域也是[加,〃],则〃x)存在"和谐区

间"[根,〃],

/(/〃)=，"

可知，m<n,则《以1/(〃)=加

/(〃)=〃

f(m]=yjm=mm=0

A：/(x)=Vx(x＞0),若＜；；，解得：＜

rn=1

所以/(X)=«存在"和谐区间"[0,1]；

f(m\=m2-2m+2=m

B：/(x)=x2-2x+2(xe/?),若,J(〃)=〃2_2〃+2=“，解得：,

n=2

所以/(%)=/-2x+2存在"和谐区间"[1,2]；

11

f(m)=:〃2H—=m：0

mm

C：/(x)=x+—(x^O),若＜I,得ZR＜，故无解;

1

/(〃)=〃+—二n0

nn

1

m-\——二n

1m

/("?)=："2d——=n

mm2+/77+1_0

若«，即\化简得:

1m4-1nzn(m2+1)

/(〃)=孔+—=m

n1

几十—=m

n

即机2+加+1=0，由于△=1?一4xlxl=-3vO，故无解;

若0<m<1v〃.・./(l)=wm=2,不成立

所以/(X)=X+L不存在"和谐区间"：

X

/(加)=—=n

D：/(x)=-(x^O),函数在(0,+8),(-8,0)单调递减，则｛1,不妨令

f(n]=—=m

n

，1

m=­

<2,

n=2

所以/(X)=,存在"和谐区间"1,2；

X—乙，

综上得：存在"和谐区间"的是ABD.

故选:ABD.

【点睛】

关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解

题的关键是理解"和谐区间"的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.

—f—2xx<0

3.己知函数/.(x)=1'，以下结论正确的是()

/(x-2),x>0

A.函数在区间[2,4]上是减函数

B./(2020)+/(2021)=1

C.若方程/")一一1=0(〃蚱/?)恰有5个不相等的实根，则me1一；,—g]

8

D.若函数y=/(x)—Z在区间(一8,6)上有8个零点七。<8/6?/'),则£王=16

/=1

【答案】BCD

【分析】

对于A,画出函数的图象即可判断；对于B,由函数的周期性可计算求解；对于C,方程

/(x)-/加一1=0(m€/?)恰有5个不相等的实根等价于y=/(x)与直线y=/wc+l有5

个交点，画出图形即可判断求解；对于D,函数y=/(x)—左在区间(-8,6)上有8个零

点，则丁=/(力与丁=左有8个交点，由对称性可求解.

【详解】

由题可知当x20时，/(X)是以2为周期的函数，则可画出/(x)的函数图象，

对于A,根据函数图象可得，/'(X)在(2,3)单调递增，在(3,4)单调递减，故A错误；

对于B,/(2020)=/(0)=/(—2)=0,/(2021)=/(1)=/(—1)=1,则

/(2020)+/(2021)=1,故B正确；

对于C,方程/(x)—，加一1=0。"eR)恰有5个不相等的实根等价于y=/(x)与直线

y=〃a+1有5个交点，如图，直线y=处+1过定点A(0,l),观察图形可知

kAB<m<kAC,其中8(4,0),C(6,0),则左八8=-!，加=一故相」一：，一故

46k407

C正确；

对于D,若函数y=.f(x)-左在区间(一8,6)上有8个零点，则y=/(x)与y=%有8个

8

交点，如图，可知这八个零点关于x=2对称，则工玉=4x4=16,故D正确.

Z=1

故选：BCD.

【点睛】

关键点睛：本题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是判断出函数的周期性，画出函

数的图象，即可将方程的解的个数问题、函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利

用数形结合的思想可快捷解决问题.

4.下列命题正确的有()

A.已知。>()/>()且。+人=1,则4<2"=<2

2

B.3"=4"=/，则9彩=血

ab

C.y=x3-3f-x的极大值和极小值的和为-6

D.过A(-1,O)的直线与函数y=有三个交点，则该直线斜率的取值范围是

(一■j,2)U(2,+oo)

4

【答案】ACD

【分析】

由等式关系、指数函数的性质可求2”占的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求

史当；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与y=V一》有

ab

三个交点，即可知/i(x)=Y—x—%有两个零点且x=_i不是其零点即可求斜率范围.

【详解】

A选项，由条件知b=l—a且所以a—b=2a—le(—1,1),即，<2"“<2；

2

B选项，3"=4〃=有a=log.?，b-log4V12.而

a+b11-八八-

——=-+7=2(log3+log,,4)=2；

ababl?

C选项，y'=3》2一6》一1中/>o且开口向上，所以存在两个零点尤|,々且X]+々=2、

%莅=—g，即知x?为y两个极值点，

22

所以y+%=(&+々)[(&+X2)-3X1X2]-3[(X1+x2)-2^%2]-(%1+%)=-6：

。选项，令直线为y=Hx+D与y=V-x有三个交点，即g(x)=(Y-左)。+1)有三

个零点，所以/l(x)=/-X-Z有两个零点即可

△=1+4〃>0解得壮T⑵UQ收)

〃(一1)=2—左。0

故选：ACD

【点睛】

本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范

围，属于难题.

5.已知函数/(X)=X+，91

g(x)=尤2+则下列结论中正确的是)

XX

A./(x)+g(x)是奇函数B./(x)-g(x)是偶函数

C./(x)+g(x)的最小值为4D./(x>g(x)的最小值为2

【答案】BC

【分析】

利用奇偶性的定义可得A错B对；利用均值不等式可得C对；利用换元求导可得D错.

【详解】

1I21

f(X)+g(x)=X-----i-x**+—

Xx~

1911+%2+4

「•/(r)+g(r)=_]_*+(T)+--XH---

-x(一。XX

/(x)+g(x)=/(-x)+g(_x)

.•./(x)+g(x)是偶函数，A错；

/(x)・g(x)=x+Jx2+-^-

f(一%),g(-x)=-XH----•(_*)-

/(-%)-g(-x)=/(%)•g(x)

.,./(x)-g(x)是偶函数，B对;

vf(x)+g(x)=X+-+X2+-^>2+2=4,当且仅当x=L和炉=二时，等号成立,

XXXX

即当且仅当炉=1时等号成立，C对；

/(X)•g(x)=*+三(尤2+?)

令『=x+g(/>2),贝iJ/(x>g(x)=Mr—2)=/—2r

，[/(x>g(x)]'=3*-2,令3产—2〉0,得/>远或"一巫

.•.此2时，/(x>g(x)单调递增

，当，=2有最小值，最小值为4,D错

故选：BC.

【点睛】

本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较

高，难度较大.

6.若〃x)满足对任意的实数%〃都有=9)且/⑴=2,则下列判

断正确的有()

A.“X)是奇函数

B./(x)在定义域上单调递增

C.当xe(0,+8)时，函数/(力>1

/(2),/(4)।/(6),/(2016),/(2018),

,川)/(3)/(5)/(2015)/(2017)/(2019)

【答案】BCD

【分析】

利用新定义结合函数的性质进行判断.计算出了⑴判断A；先利用/(D=2〉1证明所有

有理数P,有/(p)〉l,然后用任意无理数夕都可以看作是一个有理数列的极限，由极限

的性质得了(幻〉1，这样可判断C,由此再根据单调性定义判断B,根据定义计算

八(及eN),然后求得D中的和，从而判断D.

【详解】

令。=0/=1,则/⑴="1+0)=/⑴/(0),即2=2/(0),「./(0)=1,/。)不可

能是奇函数，A错；

对于任意xeR,/(X)H0,若存在使得/(公)=0,则

/(0)=f(x0+(-x0))=/(x0)/(-x0)=0,与/(0)=l矛盾，故对于任意XGR,

/(X)丰0,

2

(xx\XX

二对于任意xwR,fM=fM=f>0,

\22)2>2>(11

•・・/⑴=2>1,.・.对任意正整数〃，

(\

f=个"斗wm]=2〉i,...©>1,

“/In\njynj\nj[_\nJ

<嗯J'^ir

同理f(n)=/(I+1+.••+1)=

对任意正有理数P,显然有〃=一(加，〃是互质的正整数)，则

“d=/用=&(£)]>i，

对任意正无理数4,可得看作是某个有理数列P1,P2，P3,…的极限，而

表N,•••f(q)与/(pj的极限，，f(q)>l,

综上对所有正实数x,有f(x)>l,c正确，

设为<七；，则/一芯>0，,/(彳2—苍)>1，则

，(工2)=/(玉+(%2-%))=/(芭)・/。2—苞)>/(%)，/(X)是增函数，B正确;

由已知/(2〃)=/(2〃―1+1)=/(2"—1)/(1)=2/(2"—1),仔)2,

原+沏+邈+…S+S+S=^13=2xi0i0=202°

川)"3)“5)

,D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能

力，对学生要求较高，本题属于难题.

4

7.已知函数"x)=x'+—m为正整数)，则下列判断正确的是()

X

A.函数/(X)始终为奇函数

B.当”为偶数时，函数f(x)的最小值为4

C.当n为奇数时，函数f(x)的极小值为4

D.当〃=1时，函数y=/(x)的图象关于直线y=2x对称

【答案】BC

【分析】

4

由已知得了(—X)=(—*)“+7—",分n为偶数和n为奇数得出函数/(X)的奇偶性，可判

(r)

断A和；当n为偶数时，婷>(),运用基本不等式可判断B；当n为奇数时，令/=£,则

4

x>0j>0;x<0,r<0,构造函数g(f)=r+一,利用其单调性可判断c；当〃=1时，取函

数/(x)=x+±上点P(L5),求出点P关于直线y=2x对称的对称点，代入可判断D.

【详解】

因为函数=x"+二("为正整数)，所以/(T)=(一可”+-^-7,

X(-X)

44

当”为偶数时,f(-x)=+炉+，7=/&),函数/(幻是偶函数;

I)"

4

当n为奇数时,/(-x)=-xn+-=-/(%),函数”x)是奇函数，故A不正确;

-X

444

当”为偶数时,x〃>0,所以/(工)=/+=22卜〃・二二4,当且仅当x〃=-7时,

Xy/XX

即炉=2>0取等号，所以函数/(x)的最小值为4,故B正确;

当"为奇数时，令.=£，则x>0j>0;x<0,t<0,函数/(x)化为g(f)=f+q

而g(f)=f+；在(-8,-2),(2,+8)上单调递增，在(-2,0),(0,2)上单调递递减,

44

所以g⑺=1+—在，=2时，取得极小值g(2)=2+—=4,故C正确；

t2

当〃=1时，函数/(x)=x+g上点尸(1,5),设点P关于直线y=2x对称的对称点为

117

X。

%T2，解得，1,即兄17191719

则《,而将《代入

2K1+玉)=5+%~5'~5

%T

4

/(X)=尤+—不满足，

X

所以函数y=/(X)的图象不关于直线y=2x对称，故D不正确，

故选：BC.

【点睛】

本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.

-------,x>2

8.已知定义域为R的奇函数/*),满足/(x)=j2x-3,下列叙述正确的

X2-2x+2,Q<x<2

是()

A.存在实数k,使关于X的方程/(X)=近有7个不相等的实数根

B.当-1<玉<%<1时，恒有/(m)>/(々)

C.若当xe(0,0时，/(x)的最小值为1,则

2

33

D.若关于x的方程/(x)=—和/(*)=机的所有实数根之和为零，则机=一二

22

【答案】AC

【分析】

根据奇函数/(-x)=-/(x),利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析

式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案

【详解】

函数是奇函数，故"X)在R上的解析式为：

-------,x<-2

2x+3

—x~~2x—2,—2^x<0

0,x=0

X2-2X+2,0<X<2

—^―,x>2

l2x-3

对4如下图所示直线4与该函数有7个交点，故A正确;

对c：如下图直线，2：y=i,与函数图交于（1,1）,g,l）,

若使得其与fW=m的所有零点之和为0,

故选：AC

【点睛】

本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的

图象分析命题是否成立

9.下列命题正确的是()

A.已知某函数/(x)=(m+1)2在(0,+8)上单调递减则利=0或m=一2

B.函数/(x)=/-(2m+4)1+3根的有两个零点，一个大于0,一个小于0的一个充分

不必要条件是m<-\.

C.已知函数/(x)=x3+sinx+ln(M)，若/(2。-1)>0,则4的取值范围为

X+1

D.已知函数〃x)满足/(-x)+/(x)=2,g(x)=--，且/(x)与g(x)的图像的交点

X

为(石，苗),(工2，%)……(尤8，%)则2+々+…+/+y+必+…+%的值为8

【答案】BD

【分析】

根据基函数的性质，可判定A不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判

定，可得判定B是正确；根据函数的定义域，可判定C不正确；根据函数的对称性，可判

定

D正确，即可求解.

【详解】

对于A中，基函数/*)=。〃+1)2犷"1,可得加+1=±1,解得加=0或加=一2,

当加=0时，函数在。+8)上单调递减；当机=一2时，函数/。)=》在

(0,+8)上单调递增，所以A不正确；

对于B中，若函数/(%)=/一(2m+4A+3根的有两个零点，且一个大于0,一个小于

0,

则满足/(0)=3加<0,解得〃?<0,

所以/”<一1是函数/(x)=--(2m+4)x+3加的有两个零点，且一个大于0,一个小于

0的充分不必要条件，所以B是正确；

1_1_V*1_1_V*

对于C中，由函数/(x)=x3+sinx+ln(--),则满足——->0,解得一Ivxvl,

1-%1-x

即函数/(x)的定义域为(-1,1),所以不等式/(2«-1)>0中至少满足

即至少满足0<。<1,所以C不正确；

对于D中，函数/(x)满足/(一x)+/(x)=2,可得函数y=〃x)的图象关于(0,1)点对

称，

__Y]丫1

又由g(—x)=———=--，可得双一了)+8(元)=2,所以函数y=g(x)的图象关于

-XX

(0,1)点对称，则X]+/+…+/+X+%+…+线=。+4x2=8,所以D正确.

故选：BD.

【点睛】

本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本

性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

10.高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.

高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有"数学王子"之称.有这样一个函数就是以

他名字命名的：设xeR,用[可表示不超过x的最大整数，则,f(x)=[x]称为高斯函

数，又称为取整函数.如：/(2.3)=2,/(-3.3)=-4.则下列正确的是()

A.函数f(x)是R上单调递增函数

B.对于任意实数都有/(a)+/S)V/(a+A)

C.函数g(x)=/(x)-以(无。0)有3个零点，则实数a的取值范围是

34]「43

45J|_32

D.对于任意实数x,%则/(x)=/(y)是成立的充分不必要条件

【答案】BCD

【分析】

取反例可分析A选项，设出a,b的小数部分，根据其取值范围可分析B选项，数形结合

可分析C选项，取特殊值可分析。选项.

【详解】

解：对于Z选项，〃1)=〃L2)=1，故A错误；

对于8选项，令。=同+「，〃=回+以「,q分别为a,b的小数部分)，

可知0,,r=a-同<1,0„q-b-\b\<\,[r+^]>0,

则J(a+b)=[[a]+回+r+q[=[a]+回+[r+q]..同+回=+，故B错

误；

对于c选项，可知当左〈》<人+1,左wZ时，则/(%)=[%]=左，

可得/(x)的图象，如图所示：

函数g(x)=/(x)-以(xoO)有3个零点，

，函数“X)的图象和直线>有3个交点，且(0,0)为“X)和直线>=依必过的

点，

f341「43、

由图可知，实数a的取值范围是,故C正确；

对于D选项，当/(x)=/(y)时，即r,q分别为x,y的小数部分，可得0Wr<l,

k-丁|=卜]+-3-4=卜-4<|1-q=i；

当,一乂<1时，取x=-0.9,y=0.09,可得国=T,[y]=0,此时不满足

/(x)=/(y)，

故/(x)=/(y)是打一乂<1成立的充分不必要条件,故。正确；

故选：BCD.

【点睛】

本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合

思想；

二、导数及其应用多选题

11.已知函数/(x)=sin以一asinx,xe[0,2"],其中a-lna>l,则下列说法中正

确的是()

A.若J.(x)只有一个零点，则ae(0,£|

B.若/(x)只有一个零点，则/(x)20恒成立

C.若/(力只有两个零点，则

D.若/(X)有且只有一个极值点/,则/(%)<竺丁二1)恒成立

【答案】ABD

【分析】

利用/(0)=0以及零点存在定理推导出当a>1时，函数/(x)在［0,2旬上至少有两个零

点，结合图象可知当0<。<1时，函数.“X)在(0,2")上有且只有一个极值点，利用导数

分析函数“X)在(0,2")上的单调性，可判断A选项的正误；利用A选项中的结论可判断

B选项的正误；取。=；，解方程/(x)=0可判断C选项的正误；分析出当/(x)在

(0,2〃)上只有一个极值点时，0<a<l,分。=：、0<a<g、；<a<l三种情况讨

论，结合sinx<x可判断D选项的正误.

【详解】

1Y-］

构造函数g(x)=x-lnx-l,其中x〉0,则g<x)=l--=:一.

XX

当0<x<l时,g'(x)<0，函数g(x)单调递减；

当X>1时，g'(x)>o,此时，函数g(x)单调递增.

所以，g(xL=g6=°-

。一InQ>1,，a>0且aw1.

/(x)=sinax-asinx,则/(0)=0.

所以，当a>l时，函数〃x)在区间［0,2句上至少有两个零点,

所以，当函数/(x)在区间［0,2句上只有一个零点时，0<a<l.

对于A选项，当0<a<l时，f\x)~acosax-acosx-a(cosax-cosx).

a兀7i

・:0<。<1,则0<—<一,0<2arc<27r,

22

（兀、a兀

/"I—I=tzcos—>0,/'（2%）=a（cos2a7i一cos2»）=a（cos2CITV-l）<0,

由零点存在定理可知，函数/（X）在区间（1,2乃］上至少有一个极值点，

令r（x）=0,可得cosax=cosx,

当xe（O,2"）时，0<℃<%<2万，由cosar=cosx=cos（2;r-x）,可得

24

ax=2兀一x,解得光二----，

。+1

27r

所以，函数/（X）在区间（0,2%）上有且只有一个极值点x=/石.

作出函数弘=cosar与函数%=cosx在区间［0,2句上的图象如下图所示：

由图象可知，函数y=cosax与函数％=cosx在区间（0,2万）上的图象有且只有一个交

点，

记该交点的横坐标为力,当0<x</时，cosax>cos%,此时/'（x）>0；

当x（）<x<2万时，cosaxccosx,此时

所以，函数/（x）在区间（0,天）上单调递增，在区间（X。,2乃）上单调递减.

所以，7（力2=/（』）>〃°）=°，又"2%）=sin2丽.

若函数/（x）在区间［0,2句上有且只有一个零点，则/（2万）=sin勿万>0.

*/0<a<1>则0<2。4<2%,所以，0<2。万<乃，解得0<a<‘，A选项正确；

2

对于B选项，若函数/（x）在区间［0,2句上有且只有一个零点时，

由A选项可知，函数/（X）在区间（0,%）上单调递增，在区间（七,2万）上单调递减.

Q/（0）=0,/（2"）=sin2ar>0,所以,对任意的xe［0,2句，/（x）>0,B选项正

确；

对于c选项，取。=‘，贝I」

2

x.xI..x.xx.x

f(x)=sin------sinx=sin——sin—cos—=sin—1-吟,

v7222222

XXX

・:0<x<2万，则04］《万，令/(x)=0,可得sin±=0或cos±=l,可得4=0或

222

x

一=71,

2

解得x=0或尢=2).

所以，当a时，函数/(x)有两个零点，C选项错误；

对于D选项，当。>1时，若0cxe2不，则0varv2a;r,且勿4>24，

当)«0,2万)时,令/"(x)=0,可得出cosox=cosx=cos(2左乃±x)(keZ),至少可

得出“¥=24一x或依=1+24，

即函数/(X)在区间(0,2")上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，0<a<l.

rr

下面证明：当。vxv7时，sinxvx,

2

构造函数〃(x)=x-sinx,其中0cx<],则”(x)=1-cos%>0,

所以，函数"(x)=x-sinx在区间(o,?上为增函数，所以，〃(x)>〃(0)=0,即

sinx<x.

分以下三种情况来证明/(1)<"ITT-71恒成立.

•・•/'(%)=〃(cos叫一cosx0)=0,可得cosax()=cosx0,

27r

,/0<ax<x<2TT,由cosar。=cosx()可得出ax()=24一玉)，所以，x=-----

()00。+1

则sino^=sin(27r-)=-sin.

[21

①当〃时，x0»则/'(x)usin^—§sinx,

3兀.〃1.3〃42万

sin------sin—=一<—,

23233

6Z4-1-|3«-1|

即〃/)<•1成立;

2

[27r茨2万)，

②当0<。<一时，xo=-----G

3Q+1

24

则/(x0)=sin-4zsinxo=-sinx0-tzsinx0=-(6f4-l)sinx0=-(a+l)sin

Q+1

=(a+1)sin(--=(Q+1)sin(2万一=(。+1)sin<(〃+1)•=2a7r

Q+1一j3a_

=--------!---------7T；

2

③当g<a<l时,

/(七)=sin"—asin/=—sin%—asin%=—(a+l)sin/=(a+l)sin(一%)

/、/、/、(2兀、/、(\-a\7r/、(1一〃)乃

=(a+1)sin(%一1)=(a+1)sin(------7rJ=(a+l)sin-----—<(a+1)•------—

/、a+1一|3Q_11

=[l-a)7V=----------------7T.

综上所述，当函数〃X)只有一个极值点X。时，/(/)<"「?"一"万恒成立.

故选:ABD.

【点睛】

方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基

本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与X轴的交点问题，突出导数的工具作用，

体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由/(x)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线y="

与函数y=g(x)的图象的交点问题.

YI

12.已知函数/。)=/，8。)=1〃万+5的图象与直线"=07分别交于48两点，则()

A./(x)图像上任一点与曲线g(x)上任一点连线线段的最小值为2+/2

B.3m使得曲线g(x)在8处的切线平行于曲线/(x)在A处的切线

C.函数/(x卜g(x)+m不存在零点

D.3m使得曲线g(x)在点B处的切线也是曲线f(x)的切线

【答案】BCD

【分析】

利用特值法，在/(x)与g(x)取两点求距离，即可判断出A选项的正误；解方程

/'(/〃〃?)=g'(2e*)，可判断出8选项的正误；利用导数判断函数k/⑴r。)+加的单

调性，结合极值的符号可判断出C选项的正误；设切线与曲线y=g(x)相切于点C(〃，

g(〃))，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出。选项

的正误.进而得出结论.

【详解】

在函数/(》)=6、公(》)=1吗+；上分别取点/3(0,1),。(2,3),则|PQ|=呼，而

姮<2+ln2(注In2ao.7),故A选项不正确；

2

x11

Q/(x)=,g(x)=ln-+-,则/'(x)=",gr()=-,

22xx

曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为f'(历喻=m,

曲线y=g(x)在点B处的切线斜率为g'(2/W)=」T,

2em2

।_1।1।

m

令fVn,n)=g,(2eU)，即,”=不，即2me1^=1，则=n满足方程=1'

2e2乙

.-.3^使得曲线y=f(x)在A处的切线平行于曲线y=g(x)在B处的切线，B选项正确;

y1,1

构造函数尸(%)=f(x)-g(x)^m=ex-In-+m——,可得尸(x)=ex——,

22x

函数尸(x)=e、-L在(0,+8)上为增函数，由于尸d)=〃-2<0,F'(1)=e—l>0,

xe

则存在reg,1),使得F'(r)=e'—；=0,可得f=T%

当0cxe，时，F(x)<0；当工时，Ff(x)>0.

F(x).=F(t)=er-ln—+m——=d-btf+m+ln2——

nun222

1._1/1._13..八

=-+/+〃？+In2—>2At—F〃？+ln2—=—+ln2+机>0,

222

函数尸(幻=/(x)-g(©+6没有零点，C选项正确；

设曲线y=/(x)在点A处的切线与曲线y=g(x)相切于点C(〃,g(〃)),

则曲线y=/(x)在点A处的切线方程为y-m=eh,,n(x-Inm),即y=+m(\-lnm),

同理可得曲线y=g(x)在点C处的切线方程为y=-x+ZttJ-i,

n22

加二一I

"n，消去〃得"一("2-+ln2+—=0,

m(l-Inm)=ln—~—

22

1r-11

令G(x)=x-(x-l)lnx+/〃2+—,则G'(x)=1---------bvc=——Inx,

2xx

函数y=G'(x)在(0,+o。)上为减函数，QG'(1)=l>0,G'(2)=g-/〃2<0,

则存在se(1,2),使得G'(S)=1-/〃S=0,且「〃：.

ss-e

当0<x<s时，G\x)>0,当x>s时，G\x)<0.

函数y=G(x)在(2,+oo)上为减函数，

517

QG(2)=/>0,G(8)=万一20/〃2<0,

由零点存定理知，函数y=G(x)在(2,+o。)上有零点，

即方程他一(〃?-1)/""?+/"2+,=0有解.

2

：.3m使得曲线y=/(x)在点A处的切线也是曲线y=g(x)的切线.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转

化思想和数形结合思想，属难题.

13.己知函数/(X)对于任意xeR,均满足〃x)=/(2—x).当X41时

/、finx,O<x<l/、­/、

/(1”1上.。，若函数g(x)=〃?W-2-7(x),下列结论正确的为()

A.若加<0,则g(x)恰有两个零点

B.若］<m<e,则g(x)有三个零点

C.若0<m《耳，则g(x)恰有四个零点

D.不存在也使得g(x)恰有四个零点

【答案】ABC

【分析】

设刈力=加国—2,作出函数g(x)的图象，求出直线丁=如一2与曲线

y=Inx(0<x<1)相切以及直线y=2过点A(2』)时对应的实数m的值，数形结合

可判断各选项的正误.

【详解】

由/。)=〃2-力可知函数/(x)的图象关于直线x=l对称.

令g(x)=0,即加国一2=f(x),作出函数〃x)的图象如下图所示:

令7?("=加国—2,则函数g(x)的零点个数为函数〃x)、々X)的图象的交点个数,

的定义域为R,Hh(-x)=m|-x|-2=m|x|-2=A(JC),则函数/i(x)为偶函

数，

且函数"(x)的图象恒过定点(0,-2),

3

当函数的图象过点A(2,l)时，有〃⑵=2加―2=1,解得加=]

过点(0,一2)作函数y=lnx(O<x<l)的图象的切线，

设切点为(毛，In/),对函数y=lnx求导得y'=L

所以，函数y=lnx的图象在点(玉),皿毛)处的切线方程为y-lnXo='(x-Xo),

*0

切线过点(0,-2),所以，一2-解得/=工，则切线斜率为e,

e

即当m=e时，函数y=〃(x)的图象与函数y=111%(0<%<1)的图象相切.

若函数g(x)恰有两个零点，由图可得，篦<0或相=e,A选项正确；

若函数g(x)恰有三个零点，由图可得5<e,B选项正确；

3

若函数g(x)恰有四个零点，由图可得C选项正确，D选项错误.

故选：ABC.

【点睛】

方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基

本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与％轴的交点问题，突出导数的工具作用，

体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由/(x)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线y

与函数y=g(x)的图象的交点问题.

14.下列不等式正确的有()

A.V31n2<ln3B.In兀C.2^<15D.3eln2<4