2.5专题强化三　动态平衡　临界、极值问题讲

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2.5专题强化三动态平衡临界、极值问题（讲)第二章相互作用专题强化三动态平衡临界、极值问题一、动态平衡1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。2.做题流程3.常用方法（1）图解法此法常用于定性分析三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况。（2）解析法对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程或根据相似三角形、正弦定理，得到因变量与自变量的函数表达式（通常为三角函数关系），最后根据自变量的变化确定因变量的变化。二、临界、极值问题1.当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：（1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。（2）绳子恰好绷紧，拉力F=0.（3）刚好离开接触面，支持力FN=0.2.平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。考点一动态平衡问题一、三力平衡、合力与分力关系如图，F1、F2、F3共点平衡，三力的合力为零，则F1、F2的合力F3′与F3等大反向，F1、F2、F3′构成矢量三角形，即F3′为F1、F2的合力，也可以将F1、F2、F3直接构成封闭三角形。二、动态平衡问题1.一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，比较力的大小变化，利用三角函数关系确定三力的定量关系。基本矢量图，如图所示2.一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。基本矢量图，如图所示3.一力恒定（如重力），其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边相比相等。基本矢量图，如图所示基本关系式：==典例精析变式巩固【例题】。1．一盏电灯重力为G，悬于天花板上A点，在电线O处系一细线OB，使电线OA偏离竖直方向的夹角为β=30°，如图所示。现保持β角不变，缓慢调整OB方向至虚线位置，则下列说法正确的是（）A．OA中的张力先减小后增大B．OB中的张力先增大后减小C．OA中的张力不断增大D．OB中的张力不断减小【答案】C【详解】对O点受力分析，重力为恒力，OA绳的拉力方向不变，OB绳的拉力大小和方向均变化在转动，则构成三力平衡的一类动态平衡，由图解法作图如图所示当时，最小，整个转动过程，先减小后增大，与重力的合力不断增大，即OA绳的张力不断增大。故选C。【变式题1】2．如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A的圆半径为球B的半径的3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态。设墙壁对B的支持力为F1，A对B的支持力为F2，若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F1、F2的变化情况分别是（）A．F1减小 B．F1增大 C．F2增大 D．F2减小【答案】AD【详解】法一：解析法以球B为研究对象，受力分析如图所示由平衡条件可得F1=GtanθF2=当A向右移动少许后，θ减小，则F1减小，F2减小，AD正确。故选AD。法二：图解法先根据平衡条件和平行四边形定则画出如图所示的矢量三角形当A向右移动少许后，θ减小，从图中可直观地看出，F1、F2都减小，AD正确。故选AD。【变式题2】3．如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中（）A．斜面对球的支持力逐渐增大 B．斜面对球的支持力逐渐减小C．挡板对小球的弹力先增大后减小 D．挡板对小球的弹力先减小后增大【答案】BD【详解】球受重力、斜面支持力和挡板支持力，将与合成为，如图小球一直处于平衡状态，三个力中的任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线，故与合成的合力一定与重力等大、反向、共线。从图中可以看出，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，越来越小，先变小，后变大。故选BD。【例题2】4．如图所示，质量分布均匀的细棒中心为O点，O1为光滑铰链，O2为光滑定滑轮，O2在O1正上方，一根轻绳一端系于O点，另一端跨过定滑轮O2，由水平外力F牵引，用FN表示铰链对细棒的作用，现在外力F作用下，细棒从图示位置缓慢转到竖直位置的过程中，下列说法正确的是（）A．F逐渐变小，FN大小不变 B．F逐渐变小，FN大小变大C．F先变小后变大，FN逐渐变小 D．F先变小后变大，FN逐渐变大【答案】A【详解】画出细棒的受力分析，如下图所示。根据三角形定则及相似三角形可知因OO1和O1O2不变，则FN大小不变；随着OO2的减小，F逐渐减小。故选A。【变式题】5．如图所示为一简易起重装置，（不计一切阻力）AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓缓变小，直到∠BCA=30°。在此过程中，杆BC所产生的弹力（）A．大小不变 B．逐渐增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大【答案】A【详解】对结点B受力分析，由平衡条件可画出受力示意图，如图所示由相似三角形可得可得杆对B点的弹力大小为在变小的过程中，由于AC、BC长度不变，故N大小不变。故选A。【例题3】6．如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N．初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（）．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程中()A．MN上的张力逐渐增大B．MN上的张力先增大后减小C．OM上的张力逐渐增大D．OM上的张力先增大后减小【答案】AD【详解】以重物为研究对象，受重力mg，OM绳上拉力F2，MN上拉力F1，由题意知，三个力合力始终为零，矢量三角形如图所示，在F2转至水平的过程中，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确；B、C错误．【例题4】7．《大国工匠》节目中讲述了王进利用“秋千法”在1000kV的高压线上带电作业的过程。如图所示，绝缘轻绳OD一端固定在高压线杆塔上的O点，另一端固定在兜篮D上。另一绝缘轻绳跨过固定在杆塔上C点的定滑轮，一端连接兜篮，另一端由工人控制。身穿屏蔽服的王进坐在兜篮里，缓慢地从C点运动到处于O点正下方E点的电缆处。绳OD一直处于伸直状态，兜篮、王进及携带的设备总质量为m，可看作质点，不计一切阻力，重力加速度大小为g。关于王进从C点缓慢运动到E点的过程中，下列说法正确的是（）

A．绳OD的拉力一直变小B．工人对绳的拉力一直变大C．OD、CD两绳拉力的合力小于mgD．当绳CD与竖直方向的夹角为30°时，工人对绳的拉力为【答案】D【详解】AB．对兜篮、王进及携带的设备整体受力分析，如图所示

绳OD的拉力为，与竖直方向的夹角为；绳CD的拉力为，与竖直方向的夹角为，则由几何关系得由正弦定理可得解得α增大，θ减小，则增大，减小，故AB错误；C．两绳拉力的合力大小等于mg，故C错误；D．当时根据平衡条件有可得故D正确。故选D。【变式题】8．质量为的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，为半圆的最低点，为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为的小滑块。用推力推动小滑块由A点向点缓慢移动，力的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是（）A．推力先增大后减小B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大C．墙面对凹槽的压力先增大后减小D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大【答案】C【详解】AB．对滑块受力分析，由平衡条件有滑块从A缓慢移动B点时，越来越大，则推力F越来越大，支持力N越来越小，所以AB错误；C．对凹槽与滑块整体分析，有墙面对凹槽的压力为则越来越大时，墙面对凹槽的压力先增大后减小，所以C正确；D．水平地面对凹槽的支持力为则越来越大时，水平地面对凹槽的支持力越来越小，所以D错误；故选C。例59．如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G。现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近（C点与A点等高）。则在此过程中绳中拉力大小（）A．先变大后不变 B．先变大后变小C．先变小后不变 D．先变小后变大【答案】A【详解】对滑轮受力分析如图甲所示，由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等，即F1＝F2，由几何关系易知绳子拉力方向与竖直方向夹角相等，设为θ，可知如图乙所示，设绳长为L，由几何关系，即其中d为两端点间的水平距离，由B点向C点移动过程中，d先变大后不变，因此θ先变大后不变，由上式可知绳中拉力先变大后不变，A正确，BCD错误。故选A。考点二平衡中的临界、极值问题1.临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：（1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。（2）绳子恰好绷紧，拉力F=0.（3）刚好离开接触面，支持力FN=0.2.极值问题平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。3.解题方法（1）极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。（2）数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）。（3）物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。典例精析变式巩固【例题1】10．如图所示，两质量均为的物体甲、乙静置于水平地面上，两物体与地面间的动摩擦因数均为，两物体通过一根不可伸长的细绳绕过光滑的动滑轮连接，滑轮质量，现用一竖直向上的力拉滑轮，当滑轮拉起至细绳伸直，甲、乙两物体刚要开始滑动时，连接乙的细绳与水平方向的夹角为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，下列说法正确的是（）A．力的大小为B．力的大小为C．轻绳对中物体的拉力大小为D．轻绳对甲物体的拉力大小为【答案】B【详解】对甲乙两物体分别受力分析，由平衡可知解得绳子的拉力T=50N则对滑轮受力分析可知故选B。【变式题1】11．如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】当木板与水平面的夹角为时，两物块刚好滑动，对A物块受力分析如图沿斜面方向，A、B之间的滑动摩擦力根据平衡条件可知对B物块受力分析如图沿斜面方向，B与斜面之间的滑动摩擦力根据平衡条件可知两式相加，可得解得故选C。【变式题2】。12．筷子是中国人常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一，筷子在先秦时称为“梜”，汉代时称“箸”，明代开始称“筷”，如图所示，用筷子夹质量为m的小球，筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为θ，已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ（μ＜tanθ），最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。为使小球静止，求每根筷子对小球的压力FN的取值范围。

【答案】【详解】筷子对小球的压力最小时，小球恰好不下滑，小球所受最大静摩擦力沿筷子向上，如图甲所示

则2FNsinθ＋2Ffcosθ＝mgFf＝μFN联立解得筷子对小球的压力最大时，小球恰好不上滑，小球所受最大静摩擦力沿筷子向下，如图乙所示

有2FN′sinθ＝mg＋2Ff′cosθFf′＝μFN′联立解得综上可得，筷子对小球的压力的取值范围为【例题2】13．如图，表面粗糙的楔形物块A静置在水平地面上，斜面上有小物块B，用平行于斜面的力F拉B，使之沿斜面匀速上滑。现逆时针缓慢旋转该力至图中虚线位置，并保证在旋转该力过程中物块B一直处于匀速上滑状态，且在B运动的过程中，楔形物块A始终保持静止。则在力F旋转的过程中，下列关于各力变化的说法正确的是（）A．F可能一直减小 B．物块B受到的摩擦力可能不变C．物块的对斜面的作用力一定减小 D．地面受到的摩擦力大小可能不变【答案】AC【详解】AB．拉力F平行斜面向上时，先对物块B受力分析，根据平衡条件，平行斜面方向F＝Ff＋mgsinθ垂直斜面方向FN＝mgcosθ其中Ff＝μFN解得F＝mg（sinθ＋μcosθ），Ff＝μmgcosθ拉力改变方向后，设其与斜面夹角为α，根据平衡条件，平行斜面方向F′cosα＝Ff′＋mgsinθ垂直斜面方向FN′＋F′sinα＝mgcosθ其中Ff′＝μFN′解得F′＝Ff′＝μ（mgcosθ－F′sinα）比较两式得到滑动摩擦力减小，拉力F可能变大，也可能减小，故A正确，B错误；C．对A受力分析，受重力、支持力、B对A的压力、B对A的滑动摩擦力、地面对A的静摩擦力，由牛顿第三定律知Ff″＝Ff，FN″＝FN根据平衡条件，水平方向有Ff静＝FN″sinθ＋Ff″cosθ结合前面A、B选项分析可知，当拉力改变方向后，FN″和Ff″都减小，故Ff″和FN″的合力一定减小。因B对A的力就是Ff″和FN″的合力，即物块对斜面的作用力一定减小，C正确。D．对A进行分析，根据平衡条件可知，地面对A的摩擦力大小等于B对A作用力FBA在水平方向的分力大小，因为FBA方向不变且变小，所以地面对A的摩擦力一定变小，则地面受到的摩擦力一定变小，故D错误。故选AC。【变式题1】14．如图所示，一个重为5N的大砝码用细线悬挂在O点，在力F作用下处于静止状态，现不断调整力F的方向，但砝码始终静止在如图所示的位置处，则下列说法正确的是（）A．调整力F的方向的过程中，力F最小值为2.5NB．力F在竖直方向时，力F最小C．力F在竖直方向时，另一侧细线上的张力最小D．当力F处于水平方向和斜向右上与水平方向夹角60°时，力F大小相等【答案】ACD【详解】AB．对砝码受力分析如下图所示根据平行四边形定则，可知当F的方向与细线垂直时，力F最小，最小值为故A正确，B错误；C．当力F在竖直方向时，另一侧细线上的张力最小，故C正确；D．当力F处于水平方向时，力F与细线拉力T的合力竖直向上大小等于mg由几何关系得当力F处于斜向右上与水平夹角60°时，此时F、细线拉力T与竖直方向夹角相等，则两力大小相等合力竖直向上大小等于mg，由几何关系得故D正确。故选ACD。【变式题2】15．三角形具有稳定性，生活中随处可见利用三角形支架固定的物体。浴室里洗手盆下的支架、空调外挂机的支架、手机支架……等等如图甲所示。现有一个悬挂物体的支架，如图所示乙所示，倾斜支撑杆端用可自由转动的铆钉固定在墙上，拉杆左端可上下移动并且可伸缩以便调节拉杆的长度，轻绳一端固定在点，另一端悬挂重物。已知初始时杆水平，杆与竖直方向成60°角，悬挂物质量为，另一端悬挂重物。重力加速度为。求：(1)初始状态下，、杆的作用力分别为多少；(2)保持点不动，调节拉杆的长度同时左端向上移动到某点后固定，可使拉杆上的作用力最小，此时与竖直墙面的夹角为多少？此时的作用力分别为多少？【答案】(1)；；(2)30°；；【详解】(1)对点受力分析建立坐标系可得：

①

②联立可得：

③

④(2)受力分析竖直拉力大小方向不变，方向不变，当方向与方向垂直时，上的拉力最小。可得此时与竖直墙面的夹角为30°⑤受力分析建立坐标系可得：

⑥

⑦联立可得

⑧

⑨（2019·全国）16．如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N．另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°．已知M始终保持静止，则在此过程中（）A．水平拉力的大小可能保持不变B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加【答案】BD【详解】如图所示，以物块N为研究对象，它在水平向左拉力F作用下，缓慢向左移动直至细绳与竖直方向夹角为45°的过程中，水平拉力F逐渐增大，绳子拉力T逐渐增大；对M受力分析可知，若起初M受到的摩擦力f沿斜面向下，则随着绳子拉力T的增加，则摩擦力f也逐渐增大；若起初M受到的摩擦力f沿斜面向上，则随着绳子拉力T的增加，摩擦力f可能先减小后增加．故本题选BD．（2017·天津）17．如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态．如果只改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是

(

)A．绳的右端上移到b′，绳子拉力变小`B．绳的两端高度差越小，绳子拉力越大C．将杆N向右移一些，绳子拉力变大D．若换挂质量更大的衣服，则衣服架悬挂点右移【答案】C【详解】AB．因为衣服钩时光滑的，所以绳子两端的拉力大小相同，设两杆间距为d，绳子长为L，左右两端绳子长度分别为L1、L2，绳子拉力为T，两部分与竖直夹角分别为、，根据题意有因为衣架钩是光滑的，绳子拉力相等，所以即所以绳的右端上移或绳的两端高度差改变，d与L均为定值，所以为定值，为定值，绳子拉力不变，故AB错误；C．杆N向右移一些，d变大变大，变小，拉力变大，故C正确；D．挂质量更大的衣服，d与L均不变，绳中拉力变大，位置不变，故D错误。故选C。（2022·湖南）18．2022年北京冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛场地边，有一根系有飘带的风力指示杆，教练员根据飘带的形态提示运动员现场风力的情况。若飘带可视为粗细一致的匀质长绳，其所处范围内风速水平向右、大小恒定且不随高度改变。当飘带稳定时，飘带实际形态最接近的是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由于风速水平向右、大小恒定且不随高度改变，可认为单位长度飘带受到的风力相同，假设飘带总长为，质量为，由飘带自由端向上选取任意一段，该部分飘带的重力和所受风力分别为该部分飘带稳定时受力平衡，受力分析如图所示重力与风力的合力与剩余部分间的张力是平衡力，设