甘肃省兰州市2022届高三诊断考试数学（文科）试题（含答案解析）

甘肃省兰州市2022届高三诊断考试数学(文科)试题

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.设i为虚数单位，若复数0+i)(l+ai)是纯虚数，则实数。=()

A.-1B.0C.1D.2

2.己知集合加=卜”=$访%;<：€1<},^={X|X2-X-2<0),则()

A.(—1,1]B.[―1,2)C.(-1/)D.[―1,1)

3.已知同=3,忖=2,1与5的夹角为(，则忸-35卜()

A.6B.3娓C.36-3&D.3&

4.圆V-2x+y2-3=0的圆心到直线y=x的距离是()

A.J2B.!C.1D.正

22

5.已知一个半径为4的扇形圆心角为6(0<。<2万)，面积为2乃，若lan(e+s)=3,

则tane=()

A.0B.~C.2D.—

22

6.己知f(x)是奇函数，当x>0时，/(x)=-log2(ar),若/(Y)=3,贝/=()

I3

A.—B.-C.2D.1

322

7.2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京盛大开幕，中国冬奥健儿在赛

场上摘金夺银，在国内掀起一波冬奥热的同时，带动了奥运会周边产品的热销，其中

奥运吉祥物冰墩墩盲盒倍受欢迎.已知冰墩墩盲盒共有7个，6个基础款，1个隐藏

款，随机购买两个，买到隐藏款的概率为()

A.-B.-C.-D.-

3775

8.已知/、/»、〃为空间中的三条直线，a为平面.现有以下三个命题：①若/、/、〃

两两相交，则/、，〃、〃共面；②若wua,I//a,则////；③若Rua,/J_a,则

/-Ln.其中的真命题是()

A.①②③B.①③C.①@D.③

9.已知〃x)=；sin(0x+^[o>O)在[a,6]上单调，月.值域为,b-a=7r,

则田()

A.1B.昱C.《D.-

4124

10.如图，在网格上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，若此

多面体的所有顶点均可以放置在一个正方体的各面内，则此正方体的对角线长为

)

A.2夜B.4百C.2面D.26

11.已知定义在R上的奇函数〃x)满足"4-x)=/(x).当04x42时，

f(x)=y+a,则〃2021)+〃2022)=()

A.7B.10C.-10D.-12

12.已知椭圆+]=⑹与双曲线G有公共的焦点-、K，A为曲线G、

在第一象限的交点，且鸟的面积为2,若椭圆G的离心率为G，双曲线的离

心率为。2，则=+~T=()

e

\。2

14

A♦gB.2C.1D.-

23

二、填空题

x+y-5<0,

13.若实数x、y满足<2x-y-540,则z=2x-y的最大值是.

x2-2,

14.为了践行绿色发展理念，近年来我国一直在大力推广使用清洁能源.2020年9月

我国提出了“努力争取2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和”的新目标.下图是

2016至2020年我国清洁能源消费占能源消费总量的比重y的数据统计图，由图中数据

可以得到y关于年份序号x的回归直线方程：y=0.0132x+0.179,根据回归方程可预

测2022年我国的清洁能源消费占能源消费总量的比重约为%.

件国霸吃翻都徵战嬲耨赞总堂的翻t

繇*1

遂雅髓麟

i产"

中造

1134^18

15.在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边,若(2b-c)cosA-acosC=0,

而在玄方向上的投影是的g，AABC的面积为3g,则。=.

Y—fx>0

,C有三个零点七,々,匕，且为<々<*3，则%+々+工3的

｛一厂-4x-r,x>0

取值范围是.

三、解答题

17.在①/=g,②的是q和斯的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下面问

题中，并解答.

问题：已知公差d不为0的等差数列｛凡｝的前〃项和为S“，%=6.

(1),求数列｛4｝的通项公式；

(2)若数列勿=2。”,cn=an+bn,求数列｛.｝的前〃项和7；.

18.自“双减”政策颁布实施以来，为了研究中小学各学科作业用时的平衡问题，某市

教科研部门制定了该市各年级每个学科日均作业时间的判断标准.下表是初中八年级

A学科的判断标准.

日均作业时间(分钟)［。，4)[4,8)图2)[12,16)不低于16分钟

判断标准过少较少适中较多过多

之后教科研部门又随机抽取该市30所初中学校八年级A学科的作业时间作为样本，得

到A学科日均作业时间的频数分布表见下表.

日均作业时间（分钟）[4,8)[8/2)[12,16)[16,20)[20,24]

学校数2310105

（1）请将同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，估计该市初中八年级学生完成A

学科作业的日平均时间（结果精确到0.1）；

（2）针对初期调查所反映的情况，该市进行了4学科教师全员培训，指导教师对作.业设

计进行优化，之后教科研部门又随机抽取30所初中学校进行了调查，获得了下表数

据.

日均作业时间（分钟）[4,8)[812)[12,16)[16,20)[20,24]

学校数510852

若A学科日均作业时间不低于12分钟，称为“作业超量”，填写列联表，判断是否有

99%的把握认为作业是否超量与培训有关.

-be)'

(a+b)(c+d)(〃+c)(Z?+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

列联表

作业未超量作业超量

未培训

培训

19.已知四棱锥尸-中，底面ABC。为菱形，点E为棱PC上一点（与P、C不

重合），点”、N分别在棱P。、PB上,平面EMN〃平面A5CO.

p

A乙-----------

B

(1)求证：平面4WN；

TT

(2)若E为PC中点，PC=BC=BD=2,/PBC=一,PC±BD,求点A到平面仍。

4

的距离.

20.已知函数/("ue'-ox2-sinx,e为自然对数的底数.

⑴求〃x)在x=0处的切线方程；

(2)当x20时，/(x)>l-x-sinx,求实数。的最大值.

21.已知抛物线£：/=22*5>0)的焦点为凡过点尸且倾斜角为?的直线交抛物线

于M、N两点，|加凶=8.

(1)求抛物线E的方程；

(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A,过A作抛物线E的切线交x轴于点B,点

4在直线x=-1上的射影为点C,试判断四边形ACB尸的形状，并说明理由.

X=4f2—1

22.平面直角坐标系下，曲线G的参数方程为/'C为参数)，曲线G的参数

y=4t

I%—cosoc

方程为‘一'(a为参数).以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标

[y=sina

系.

⑴求曲线G，G的极坐标方程；

(2)过极点的直线/与曲线£交于A、8两点，与曲线G交于用、N两点，求

145HMM的最小值.

23.已知函数〃x)=|2xT|+2|x+f|.

⑴当f=l时，解关于x的不等式〃x)26；

⑵当f>0时，“X）的最小值为6,且正数4力满足〃+b=r.求•L+：+-'r的最小值.

abab

参考答案:

1.c

【解析】

【分析】

先化简复数，再利用复数的相关概念求解.

【详解】

复数(l+i)(l+4i)=(l-a)+(a+l)i,

因为复数(l+i)(l+"i)是纯虚数，

1-4=0

所以，解得。

4+1

故选：C

2.A

【解析】

【分析】

由正弦函数性质可得集合M,解一元二次不等式可得集合M然后由交集定义可得.

【详解】

由正弦函数值域可知M={y1-14y41},

由f-x-2<0解得N={x|-l<x<2}

所以MnN={x|-l<x41},即(一1,1]

故选：A

3.A

【解析】

【分析】

由数量积公式结合|2&-3同=J(2&-35)2得出答案.

【详解】

一71

ab=3x2xcos—=3

3

|2«-3.="(25-35)2=y]4a2-l2a-b+9b2=74x9-12x3+9x4=6

故选：A

4.D

答案第1页，共14页

【解析】

【分析】

根据已知条件把圆的一般方程转化为标准方程，从而可得到圆心坐标，再代入点到直线的

距离公式即可.

【详解】

由题意可得：圆的一般方程为/-2》+丁-3=0,

转化为标准方程：(X-1)2+V=4,

即圆的圆心坐标为(1,0),

因为直线方程为x-y=0,

所以圆心到直线的距离为d=上雪=9

Vl2+122

故选：D

5.B

【解析】

【分析】

由扇形面积公式可求得。，由两角和差正切公式可构造方程求得结果.

【详解】

:扇形面积S=，6-42=2万，:.0=—,

24

.・,(。+同=罟誓吆=产=3,解得…V.

1-tantan(p1-tancp2

故选：B.

6.C

【解析】

【分析】

根据/(X)是奇函数求出44)=一火一4),根据x>0时大x)的解析式即可求”的值.

【详解】

由题可知"4)=—〃T)=-3,

/（4）=—log2（4a）=-3=>a=2.

答案第2页，共14页

故选：c.

7.B

【解析】

【分析】

利用古典概型的概率求解.

【详解】

解：已知冰墩墩盲盒共有7个，6个基础款，1个隐藏款，随机购买两个共有《种,

其中买到隐藏款有种，

r'c12

所以随机购买两个，买到隐藏款的概率为P=~,

J7

故选：B

8.D

【解析】

【分析】

由直线与直线、直线与平面的位置关系判断即可.

【详解】

对于①：当/、加、〃两两垂直且相交于一点时，/、，"、"不共面；

对于②：若”ua,l//a,则/与〃平行或异面；

对于③：由线面垂直的性质可知，③正确；

即③为真命题

故选：D

9.B

【解析】

【分析】

由题可知，区间司的长度兀即为於）最小正周期，由此求出。，从而可求

【详解】

设7为左）的最小正周期，；段）在k可上单调，则“4=74],

又•.•〃力=*18+3（°>0）且在小仪上值域为,

2\o722

答案第3页，共14页

故b-a=7r=三,故7=2兀，故co=l,故/(x)=；sin(x+?

故选：B.

10.D

【解析】

【分析】

根据三视图还原出直观图，将图形放到正方体内可得正方体棱长，即可求解体对角线长.

【详解】

由已知三视图三个图形都为正方形可以看出，

直观图中各个顶点在正方体的面中心位置，

如上图中AB为正视图中两个小正方形的边长，得到AB=2,

所以可以得到正方体的棱长为2,

所以正方体的体对角线长为V22+22+22=,

故选：D

11.C

【解析】

【分析】

由奇函数结合〃4T)=〃X)得出数/(x)是周期为8,再由周期性求解即可.

【详解】

,.•/(X)在R上是奇函数，二/(0)=l+a=0,a=T

•."(4一(Y—x))=-x),即/(8+x)=—/(4+x)

答案第4页，共14页

/(4+x)=/(4-(4+x))=/(-x)=-/(x)

:.f(x)=f(x+8),即函数〃x)是周期为8的函数

/(2021)+/(2022)=/(8x252+5)+/(8x252+6)

=/(5)+/(6)=/(4-5)+/(4-6)

=/(-1)+/(-2)-/(D-/(2)-(3'-1)-(32-1)=-10

故选：C

12.B

【解析】

【分析】

先由桶圆定义和余弦定理结合面积公式求出入，再由双曲线定义和椭圆定义找到a,

"的关系，代入目标式化简可得.

【详解】

记椭圆中的几何量为a，b,c,双曲线中的几何量为AFx=m,AF2=n,

则由椭圆和双曲线定义可得m+〃=2«…①，机-〃=2a'…②，

两式平方相减整理得/-a”=,加

记/耳4乙=0,则由余弦定理得〃?2+«2—2/nncos^=4c2

①2-③得2zn〃(l-cos0)=4a2-4c2=4b2=8…④

由面积公式可得;，“〃sin6=2,即加〃=白，代入④整理得sin(e+?)=#

因为。e(07),所以孚)，所以0+£=孚，得。=[

444442

所以/一"2=4,即/=/_4

11a-+a'2〃-4

所rrrl以寻+言=下

-a2-2

故选：B

答案第5页，共14页

【解析】

【分析】

作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义找出使得z=2x-y取得最大值时

对应的最优解，即可得到最大值.

【详解】

x4-y-5<0,

作出不等式组<2x-y-540,所表示的可行域如图中阴影部分所示，

x>-2,

平移直线z=2x-y,当该直线经过可行域的顶点B和C时，即直线z=2x-y与

2x-y-5=0重合时，在y轴上的截距最小，此时z取最大值，即2四=5.

故答案为：5.

14.27.14

【解析】

【分析】

答案第6页，共14页

2022年对应的年龄序号为7,结合回归直线方程得出答案.

【详解】

由题设条件可知，2022年对应的年龄序号为7,^=0.0132x7+0.179=0.2714

即2022年我国的清洁能源消费占能源消费总量的比重约为27.14%

故答案为：27.14

15.9

【解析】

【分析】

根据正弦定理求出角A,结合向量投影，建立b,c边长关系，通过已知三角形面积求出

b,c具体值，再用余弦定理求得a

【详解】

解：由正弦定理三=3=三，将原式(助-c)cosA-acosC=0,

sinAsinBsine'

化为(2sin3-sinC)cosA-sinAcosC=0,

因为sinA♦cosC+sinC-cosA=sin(A+C)=sin为-B)=sinB

所以原式化简为2sin8-cosA=sinB,因为sinBoO,所以cosA=；,

因为4«0,乃)，所以A=?.

又因为通在次方向上的投影是|就|的g,

所以|而|-054=；©=2同=：人，即,=：〃，

因为=~^csinA=—fe2=,解得b=3,c=4.

由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA

a2=9+16-2x3x4x--13,所以a=屈.

故答案为：回.

16.[-4,-2)

【解析】

【分析】

答案第7页，共14页

2"x＞0

由题意将问题转化为g(x)=的图象与直线交点的横坐标分别为

司,々,毛，画出函数图象，结合图象求解即可

【详解】

2\x>0

设g(x)=

-X2-4X,X<0

2、一Z＞x20一

因为函数/(x)=-/-4犬-仃＞0有三I零点4"，且占＜%＜不，

所以g(x)的图象与直线y=f交点的横坐标分别为斗七，不，且N＜当＜七，

作出g(x)的图象如图所示,

-xjx-yO的两个实根,

-4

所以玉+x=-=-4

2-1

因为W满足2--7=0,即X3=l°g2，，

因为14f<4,所以log214log2f〈log?4,

所以04%＜2,

所以-44玉+当+七＜-2,

即x,+x2+X?的取值范围是［-4,-2),

故答案为：17，-2)

17.(1)答案见详解；

⑵7；=〃2+〃+34"-1)

【解析】

【分析】

答案第8页，共14页

(1)选①根据等差数列求和公式化简求出公差，即可求通项；选②根据等比中项公式化简

求出公差，从而求出通项；

(2)利用分组求和法即可求解结果.

(1)

选①：由于$5=54，59=9(4广)=眄

所以差=咨=:，又见=6,所以%=1。，故d=-见)=2

所以=4+(〃-3)1=2〃；

选②：%是和4的等比中项，则4=%“4，

所以—d)-=(6—24)(“3+")，又6=6,解得d=2,d=0(舍去)

所以=4+(“-3)4=2〃；

(2)

£=2。”=4",c“=a“+R=2〃+4",则

7；=(2+4)+(2x2+4)+…+(2〃+4")

=2(1+2+---+Z7)+(4+42+---4-4M)

=n-+n+------=+〃+—⑷-1)

1-43V'

18.(1)15.7

⑵有

【解析】

【分析】

(1)利用平均数公式求解；

(2)根据列联表，求得R2值，与临界值表对照下结论.

(1)

解：6x—+10x—+14x—+18x—+22x—«15.7

3030303030

⑵

列联表

答案第9页，共14页

作业未超量作业超量

未培训525

培训1515

因为我>60(5>15-15义25)2

=7.5>6.635

'20x40x30x30

所以有99%的把握认为作业是否超量与培训有关.

19.(1)证明见解析

⑵在

2

【解析】

【分析】

(1)由已知条件结合面面平行的性质可得MN〃80,再利用线面平行的判定可证得结

论，

(2)由已知可得PC,平面A8CD,设点A到平面仍。的距离为d,然后根据已知条件利

用^E-ABD=^A-EBD可求得结果

(1)

证明：因为平面项火〃平面ABCD,平面EMNn平面平面A3C£)n

PBD=BD，

所以MN〃8£>,

因为“Nu平面AMN,BOz平面AMN,

所以8。〃平面AAW,

(2)

因为PC=BC=BZ)=2,ZPBC=-,

4

所以NPBC=NB尸C=C,

4

TT

所以NPC8=式，所以PCLCB,

2

因为尸C_L8D,CBRBD=B,

所以PC，平面ABC。，

答案第10页，共14页

因为C£)u平面ABC。，所以PC_LCD,

设点A到平面E8。的距离为d,

因为E为尸C中点，PC=2,

所以EC=，PC=1,

2

因为四边形A8C。为菱形，BC=BD=2,

所以。=2,AABRACBQ为全等的等边三角形，

所以DE=BE=回币=不，

所以,JBE2一(；8〃)=gx2x区1=2,

因为^E-ABD=^A-EBD，

所用久谢衣=柒加4

—xx4x1=—x2J»解得

3432

所以点A到平面EBD的距离为更

2

20.(l)y-l=0

【解析】

【分析】

(1)根据导数的几何意义求解即可，

(2)由题意得e2>\-x,当x=0时，上式成立，当x>0时，

“二'+目x>0),构造函数g(x)=e'+/%>0),利用导数求出其最小值即可

(1)

由/(x)=e'—or?-sinx,得/(x)=e*-2oc-cosx,则

/(0)=e0-0-sin0=l,f'(0)=e0-0-cos0=0,

所以/(x)在x=0处的切线方程为y-l=0,

(2)

由/(x)21—x—sinx,得e*—ax2-sinx>1—x-sinx>

答案第11页，共14页

即er-ax2>\-x,

当x=0时，上式成立,

pxV--1

当x>0时，由e*-ax2>\-x,得aW-------——(x>0),

P*+X—]

令g(x)=--------—(X>0),

X

则g,(©=(e*+l)x2-2x(e，+x-l)=(x-2)(ef,

x4x3

当0vx<2时，g'(x)<0,当x>2时，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,2)上递减，在(2,xo)上递增，

所以当x=2时，g(x)1nM=g(2)=匕^^=蓼，

所以a4的L

4

所以实数。的最大值为包»

4

21.(l)y2=4x

(2)四边形AC8F为菱形，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)将过点尸且倾斜角为£的直线与抛物线方程联立，由韦达定理以及抛物线的性质得

出抛物线E的方程；

(2)设联立切线和抛物线方程，由判别式等于。得出8(-七,0),进而由抛物

线定义得出18F1=14F1=1AC|,最后由AC//BF得出四边形ACBF为菱形.

(1)

设过点F且倾斜角为£的直线方程为y=x-4，代入V=2px(p>0)

Wx2-3px+—=0,若加(西,%),%(%，%)，则占+々=3。

所以|MN|=X+*2+P=4p=8,则p=2

即抛物线E的方程为y?=4x

(2)

设A(用,%),则在4作抛物线E的切线为即x=+x0

答案第12页，共14页

2

代入/=4x,整理得ky-4y+4y0-ky^=0

因为此直线与抛物线相切，所以公=4(4-的，。+公%=0,即的。-2)2=0,忆=2

%

2/、

所以过A的切线为y-%=—(x-x。)

%

令y=o得x=-x°,即8(-%0),所以|即RAFRACI

又ACHBF,所以四边形AC8尸有一组对边平行