广东省河源市福和高级中学2022高三数学理模拟试卷含解析

广东省河源市福和高级中学2022高三数学理模拟试卷

含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共5（）分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

L某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一

名“献爱心”志愿者，抽到高一男生的概率是0.2,先用分层抽样的方法在全校抽

取100名志愿者，则在高二抽取的学生人数为（）

A40B60C20D30

参考答案:

D

略

COS（__.©2

2.设函数"W-的最大值为“，最小值为M则（M+N-D的

值为

A1B、2C、

230ttI）、3aM

参考答案：

_ax^20）+（*+靖_siiixx.—+/+2«K2A

由已知XWK,17h+

sin2cx

令g“一V”,易知乐*）为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值

和为0,

（力♦l+g.C0+l=2,（M故选4

3.设过曲线/（x）=4-x+3«i（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为4,总存在过

曲线双目=（*一1）°+2cos]上一点处的切线弓，使得则实数a的取值范围是

A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-1,2]

D.[-2,1]

参考答案：

C

“助使（TJDG1-2媪Q=-1成立

=a-.~24a—“*M2-2+*WaM2+.

即«*,+1/+1

4.已知直线x-9y-8=0与曲线C：y=x：'-px'+3x相交于A,B,且曲线C在A,B处的切线

平行，则实数P的值为（）

A.4B.4或-3C.-3或-1D.-3

参考答案：

B

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【分析】求出原函数的导函数，设出A,B点的坐标，得到函数在A,B点处的导数值，由

A,B点处的导数值相等得到3x「-2pxi+3=3x/-2px2+3=m,把Xi,x?看作方程3x?-2px+3

2

-m=0的两个根，利用根与系数关系得到Xi+X2=5p,进一步得到AB的中点坐标，然后再

证明AB的中点在曲线C上，最后由AB中点的纵坐标相等求得实数p的值，注意检验.

【解答】解：由y=x"px?+3x,得y'=3x?-2px+3,

设A（xi,yi）,B（x2,y2）,

则曲线C在A,B处的切线的斜率分别为3x0-2pxi+3,

2

3X2-2Pxz+3,

•.•曲线C在A,B处的切线平行，

/.3xi2-2pxi+3=3xs2-2Px2+3,

令3xiZ-2pxi+3=3x2Z-2Pxz+3=m,

Ax,,X2是方程3x"-2px+3-m=0的两个根，

2

则Xi+X2=3p,

下面证线段AB的中点在曲线C上，

3232

X1-PX1+3X|+X2-PX2+3X2

・・・2

22

(Xj+x2)[(xj+x2)3xjx21-p[(xj+x2)-2勺乂21+3(町+,)

=2

2P、P2

=2=P-27P3,

X]+x2X]+x?X[+x2]]

而(-2一)3-p(-2—)2+3?-2—=27p3-

2

=p-27p3,

...线段AB的中点在曲线C上，

2111

由xi+x?=3p,知线段的中点为(3p,9(3p-8)),

_8_2_

-9+27p=p-27p：i,解得p=-1,-3或4.

当p=-1时，y=x3+x2+3x的导数为y'=3x2+2x+3>0恒成立,

即函数为递增函数，直线与曲线只有一个交点，舍去；

p=-3,或4时，y=x，-px?+3x不单调,成立.

故选：B.

5.某高中共有2000名学生，其中各年级男生、女生的人数如表所示，已知在全校学生中

随机抽取1人，抽到高二年级女生的概率是0.19,现用分层抽样的方法在全校抽取64名

学生，则在高三年级中应抽取的学生人数是()

高一图二高三

女生373mn

男生377370P

A.8B.16C.28D.32

参考答案：

B

【考点】系统抽样方法.

【分析】根据题意，在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19,可得

m

2000=0.19,解可得m的值，进而可得高三年级人数，由分层抽样的性质，计算可得答

案.

【解答】解：根据题意，在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19,

有2000=0.19,解可得m=380.

则高三年级人数为n+p=2000-=500,

现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，

64

应在高三年级抽取的人数为2000X500=16；

故选:B.

6.设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a#0),已知关于x的五个方程及其相异实根个数如下表

所示：

方程根的个数方程根的个数

f(x)-5=01f(x)+4=03

f(x)-3=03f(x)+6=01

f(x)=03

若a为关于f(x)的极大值，下列选项中正确的是()

A.-6<a<-4B.-4<a<0C.0<a<3D.3<a<5

参考答案：

D

【考点】利用导数研究函数的极值.

【专题】数形结合；导数的综合应用.

【分析】方程f(X)-k=0的相异实根数可化为方程f(x)=1<的相异实根数，方程f

(x)=k的相异实根数可化为函数y=f(x)与水平线y=k两图形的交点数.则依据表格可

画出其图象的大致形状，从而判断极大值的取值范围.

【解答】解：方程f(x)-k=0的相异实根数可化为方程f(x)=k的相异实根数，

方程f(x)=k的相异实根数可化为函数y=f(x)与

水平线y=k两图形的交点数.

依题意可得两图形的略图有以下两种情形：

(1)当a为正时，如右：

(2)当a为负时，如下：

因极大值点a位于水平线y=3与y=5之间，

所以其y坐标a(即极大值)的范围为3<aV5.

故选：D.

【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的应用及数形结合思想的应用，属于中档题.

7.某天清晨，小明同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温

基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下

面大致能反映出小明这一天（0时~24时・）体温的变化情况的图

是()

37

参考答案:

C

略

8.下列说法正确的

是（）

人.“4>1”是“/。）=1喝4入3>0.。*1）在（。+«）上为增函数，，的充要条件

B.命题“BxwR使得炉+笈+3<0，，的否定是：“VxeR./+2x+3>0„

<2.“入=-1”是“工2+2x+3=0”的必要不充分条件

D.命题p：“Vxe&,$mx+cosx*JL，,则-1P是真命题

参考答案：

略

9.执行如图的程序框图，如果输入的a,b,%分别为1.2,3,输出的

“邛，那么判断框中应填入的条件为（

)

n>kC.W<t+1D,"Nt+l

参考答案:

C

10.

在X的展开式中一的系数是()

A.240B.15C.-15D.-240

参考答案：

答案：D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.已知过抛物线/(°)t/(2)v./=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，

|AF|=2,则|BF|=.

参考答案：

2

略

12.若随机变量X〜N(1,4),P(xWO)=m,则P(0<x<2).

参考答案：

1-2m

考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

专题：计算题；概率与统计.

分析：根据随机变量x〜N(1,4),得到正态曲线的对称轴是x=l,得到P(xWO)=P

(x22),根据所给的条件P(x<0)=m,得到P(x22)=m,又根据概率之和是1,得到

要求的结果.

解答：解：•..随机变量x〜N(1,4),

...正态曲线的对称轴是x=l,

.*.P(xWO)=P(x>2)

VP(x<0)=m,

AP(0<x<2)=1-m-m=l-2m.

故答案为：1-2m.

点评：本题考查正态分布的特点，是一个基础题，解题时注意正态曲线的对称性和概率之

和等于1的性质，比较基础.

13.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(l,1)、D@2)、

E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是(结

果用分数表示).

参考答案：

【解析】已知AC、民尸共线；A以。共线।六个无共线的点生成三角形总数为：

或；可构成三角形的个数为：C"C：=15,所以所求概率为：

UW3

3

答案：4

f2x-3y+6>0

卜x+丁-2go

14.已知实数x,y满足不等式组|y+12°

,则z二|xI+y的取值范围为

参考答案：

-3”620

不等式制2x*y-2£。所■定的中MM减记为

『♦120

[x+v・*20

|.t|>y»].当位于。中

ras(-r4-y.x<0

,怖八命(包括p输)时，/,：xy-0.

平移(可用1■¥+>€1-1,2]；当M(x.p)仙「。中

p岫左俐时./?：-N+puO.ffJ/jlifWr+rV€•

7

=的枇侑施旭为

15.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,若点A、B、C、D都在

一个以0为球心的球面上，则球0的体积为。

参考答案：

3y/2

----n

3

16.设集合力二仁3.8=(I.力•则工U3=A

参考答案：

0231

17.曲线V=X3-33有一条切线与直线3x+_y=°平行，则此切线方程为

参考答案：

>=-3x+l

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.在△A8C中，角A,B,C的对边分别是a,h,c,+^)~2.

(1)求cosC；

(2)若b=7,。是BC边上的点，且△AC。的面积为6百，求sinNAOB.

参考答案：

12^

(1)7；(2)13.

【分析】

c.W

(1)根据诱导公式和二倍角公式，将已知等式化为角,关系式，求出2,再由二倍

角余弦公式，即可求解；

(2)在A4CD中，根据面积公式求出长，根据余弦定理求出40,由正弦定理求出

anZiiDC,即可求出结论.

【详解】⑴♦叫T.峰.动-亨b亨T一峰，

（2）在A4CD中，由（1）得7,

幼=6瓦6=3

27

由余弦定理得

AD^-b^-^CD^-lbCDMSC-«-»-9-2X7X3X--52

二&二2而，在44CD中,

7J百

ADAC

sin/LADC-2^

-C^n/ADC"2V13

j.mZADB=sinZADC=------

13.

【点睛】本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查计

算求解能力，属于中档题.

19.经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间“刈的函数，且

_1/+109

销售量近似地满足g⑷'~（1</<100,/€^）o前40天价格为

%)=%+22

（MM40Z"）,后60天价格为九…/汽（4MG00Z”）

⑴试写出该种商品的日销售额$与时间：的函数关系

⑵求出日销售额s的最大值。

参考答案:

2398

15：＜40

s=124

715668

5—f+41SfS100

⑴I623

⑵当£=io活『=11时=幻6

20.己知数列桓・｝（"=1"•…）满足/二20•，且4,4+1,多成等差数列，设

10

（1）求数列（/1,aj的通项公式.

（2）求数列a•。的前。项和4.

参考答案：

（1）fl.«-2a.，二（aj为等比数列，其公比为2.

•.•4,4+1,■成等差数列，

.•.N4+I）=4+«J,即啊+D=q+M,解得:4=2.

二。」4尸々，

ij,-21^^-10>3tag,2a-10^-10,

故4-7,T。

（2）由4・立-1°,可得间的前几项和为'■产""7）.

当T&W3时，*.<•,艮/7，~夕4即；

、T-X-2SL=-17）+24=

当同94时，可得：••f2r2

综上可得，

也卢5jWnW3

(«W)

W-nR+a

2~

21.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机

从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该

项质量指标值落在［100,120）内，则为合格品，否则为不合格品.表1是甲套设备的样本的

频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.

表1：甲套设备的样本的频数分布表

质量指

[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]

标值

频数14192051

图1：乙套设备的样本的频率分布直方图

0.056“

0.044,1

0.036

0.020

0.008

9510010511011S120125

（1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品

的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关;

甲套设备乙套设备合计

合格品

不合格品

合计

（2）根据表1和图1,对两套设备的优劣进行比较;

（3）将频率视为概率.若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不

合格品的个数为X,求X的期望E（X）.

附：

Pgko)0.150.100.0500.0250.010

2.0722.7063.8415.0246.635

参考答案：

3

（1）见解析；（2）见解析；（3）25

试题分析：（1）根据表1和图1即可完成填表，再由（a**）（c+rf）（a+c）（A+rf）

将数据代入计算得3953>2706即把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有

关

（2）根据题意计算甲、乙两套设备生产的合格品的概率，乙套设备生产的产品的质量指

标值与甲套设备相比较为分散，从而做出判断（3）根据题意知满足I25人代入

即可求得结果

解析：（1）根据表1和图1得到列联表

甲套设备乙套设备31・

合格品484391

不合格品279

合计5050100

将列联表中的数据代入公式计算得