专题4.18 实数（全章直通中考）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题4.18实数（全章直通中考）（培优练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2020·山东菏泽·统考中考真题）下列各数中，绝对值最小的数是（

）A． B． C． D．2．（2021·四川攀枝花·统考中考真题）以下各数是有理数的是（）A． B． C． D．π3．（2019·湖南常德·统考中考真题）下列各数中比3大比4小的无理数是（

）A． B． C．3.1 D．4．（2020·湖南株洲·中考真题）下列不等式错误的是（

）A． B． C． D．5．（2023·山东·统考中考真题）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（

）

A． B． C． D．6．（2020·贵州铜仁·统考中考真题）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b7．（2019·四川绵阳·统考中考真题）已知是整数，当取最小值时，的值是（

）A．5 B．6 C．7 D．88．（2020·四川巴中·统考中考真题）定义运算：若am＝b，则logab＝m（a＞0），例如23＝8，则log28＝3．运用以上定义，计算：log5125﹣log381＝（）A．﹣1 B．2 C．1 D．449．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（

）A． B． C． D．10．（2020·湖南长沙·统考中考真题）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”这个节日的昵称是“π（Day）”国际数学日之所以定在3月14日，是因为3．14与圆周率的数值最接近的数字，在古代，一个国家所算的的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主要标志，我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比；其中正确的是（

）A．②③ B．①③ C．①④ D．②④填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）化简：=．12．（2023·湖南·统考中考真题）的立方根是．13．（2021·内蒙古·统考中考真题）一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为．14．（2020·山东潍坊·中考真题）若，则．15．（2020·四川自贡·统考中考真题）与最接近的自然数是．

16．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，实数，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为．17．（2020·青海·统考中考真题）对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么．18．（2021·湖北随州·统考中考真题）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数……现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2018·黑龙江大庆·统考中考真题）求值：（﹣1）2018+|1﹣|﹣20．（8分）（2022·陕西咸阳·统考一模）阅读材料，解答问题：材料∵即，∴的整数部分为2，小数部分为．问题：已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．（1）的小数部分为______；（2）求的平方根．21．（10分）（2012·广东汕头·中考真题）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5==；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an==（n为正整数）；（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．22．（10分）（2019·重庆·统考中考真题）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“纯数”．定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“数”，例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；（2）求出不大于100的“纯数”的个数．23．（10分）（2021·重庆·统考中考真题）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：，因为，所以3507是“共生数”：，因为，所以4135不是“共生数”；（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有n．24．（12分）（2017·湖南张家界·中考真题）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：_________，___________；（2）计算：；（3）计算：.参考答案：1．B【分析】根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．解：，，，，∵，∴绝对值最小的数是；故选：B．【点拨】本题考查的是实数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．2．C【分析】根据有理数和无理数的分类判断即可；解：A．根据无理数的定义，是无理数，那么A不符合题意．B．根据无理数的定义，是无理数，那么B不符合题意．C．根据有理数的定义，是有理数，那么C符合题意．D．根据无理数的定义，π是无理数，那么D不符合题意．故选：C．【点拨】本题主要考查了实数的分类，准确分析判断是解题的关键．3．A【分析】由于带根号的且开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解．解：∵四个选项中是无理数的只有和，而＞4，3＜＜4∴选项中比3大比4小的无理数只有．故选A．【点拨】此题主要考查了无理数的定义，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．4．C【分析】选项A，根据两个负数绝对值大的反而小即可得；选项B，由3<π<4，即可得；选项C，由，6.25<10，可得；选项D，由可得．由此可得只有选项C错误．解：选项A，根据两个负数绝对值大的反而小可得，选项A正确；选项B，由3<π<4，可得，选项B正确；选项C，由，6.25<10，可得，选项C错误；选项D，由可得，选项D正确．故选C．【点拨】本题考查了实数的大小比较及无理数的估算，熟练运用实数大小的比较方法及无理数的估算方法是解决问题的关键．5．C【分析】根据数轴可得，，再根据逐项判定即可．解：由数轴可知，∴，故A选项错误；∴，故B选项错误；∴，故C选项正确；∴，故D选项错误；故选：C．【点拨】本题考查实数与数轴，根据进行判断是解题关键．6．D【分析】根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．解：根据数轴可得：，，且，则，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误；，选项D正确；故选：D．【点拨】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．7．A【分析】根据绝对值的意义，找到与最接近的整数，可得结论．解：∵，∴，且与最接近的整数是5，∴当取最小值时，的值是5，故选A．【点拨】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．8．A【分析】先根据乘方确定53=125，34=81，根据新定义求出log5125=3，log381=4，再计算出所求式子的值即可．解：∵53=125，34=81，∴log5125=3，log381=4，∴log5125﹣log381，＝3﹣4，＝﹣1，故选：A．【点拨】本题考查新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，掌握新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，解题关键理解新定义就是乘方的逆运算．9．D【分析】当时，计算出，会发现呈周期性出现，即可得到的值．解：当时，计算出，会发现是以：，循环出现的规律，，，故选：D．【点拨】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．10．A【分析】圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数；据此进行分析解答即可．解：①圆周率是一个有理数，错误；②是一个无限不循环小数，因此圆周率是一个无理数，说法正确；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，说法正确；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比，说法错误；故选：A．【点拨】本题考查了对圆周率的理解，解题的关键是明确其意义，并知道圆周率一个无限不循环小数，3.14只是取它的近似值．11．2【分析】根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根，特别地，规定0的算术平方根是0．解：∵22=4，∴=2，故答案为：2【点拨】本题考查求算术平方根，熟记定义是关键．12．2【分析】的值为8，根据立方根的定义即可求解．解：，8的立方根是2，故答案为：2．【点拨】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．13．2【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，将和相加等于0，列出方程，解出b，再将b代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数a，将算出后，求立方根即可．解：∵和是正数a的平方根，∴，解得，将b代入，∴正数，∴，∴的立方根为：，故填：2．【点拨】本题考查正数的平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是知道一个正数的两个平方根互为相反数．14．5【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．解：根据题意得，，，解得，，∴．故答案为：5．【点拨】本题考查了绝对值非负性，算术平方根非负性的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．15．2【分析】先根据得到，进而得到，因为14更接近16，所以最接近的自然数是2．解：，可得，∴，∵14接近16，∴更靠近4，故最接近的自然数是2．故答案为：2．【点拨】本题考查无理数的估算，找到无理数相邻的两个整数是解题的关键．16．-3【分析】先求出D点表示的数，再得到m的取值范围，最后在范围内找整数解即可．解：∵点B关于原点O的对称点为D，点B表示的数为，∴点D表示的数为，∵A点表示，C点位于A、D两点之间，∴，∵m为整数，∴；故答案为：．【点拨】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解等问题，解决本题的关键是牢记相关概念和性质，本题蕴含了数形结合的思想方法．17．【分析】根据新定义，将，代入计算即可．解：∵，∴，故答案为：．【点拨】本题考查实数的计算，解题的关键是将，正确代入再化简．18．【分析】根据“调日法”的定义，第一次结果为：，近似值大于，所以，根据第二次“调日法”进行计算即可.解：∵∴第一次“调日法”，结果为：∵∴∴第二次“调日法”，结果为：故答案为：【点拨】本题考查无理数的估算，根据定义，严格按照例题步骤解题是重点．19．【分析】按顺序分别进行乘方的运算、绝对值的化简、立方根的运算，然后再按运算顺序进行计算即可得．解：（﹣1）2018+|1﹣|﹣=1+﹣1﹣2=．【点拨】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键．20．（1）；（2）的平方根是【分析】（1）估算出的范围，即可得到的整数部分和小数部分；（2）根据5a＋2的立方根是3，3a＋b−1的算术平方根是4，c是的整数部分求出a，b，c的值，然后求出3a−b＋c的值，再求它的平方根．（1）解：∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴的整数部分是3，小数部分是−3，故答案为：−3；（2）解：∵5a＋2的立方根是3，3a＋b−1的算术平方根是4，c是的整数部分，∴5a＋2＝33＝27，3a＋b−1＝42＝16，c＝3，∴a＝5，b＝2，c＝3，∴3a−b＋c＝15−2＋3＝16，∴3a−b＋c的平方根是±4．【点拨】本题考查了无理数的估算，立方根，平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，不要漏解．21．（1）（2）（3）【分析】（1）（2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1．（3）运用变化规律计算即可.解：（1）a5=；（2）an=；（3）a1+a2+a3+a4+…+a100.22．（1）2019不是“纯数”，2020时“纯数”，见分析；（2）13个.【分析】（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”；（2）根据题意可以推出不大于100的“纯数”的个数，本题得以解决.解：（1）当时，，∵计算时，个位为，需要进位，∴2019不是“纯数”；当时，，∴个位为，不需要进位：十位为，不需要进位：百位为，不需要进位：千位为，不需要进位：∴2020是“纯数”；综上所述，2019不是“纯数”，2020时“纯数”.（2）由题意，连续的三个自然数个位不同，其他位都相同；并且，连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位；①当这个数为一位的自然数的时候，只能是0、1、2，共3个；②当这个数为二位的自然数的时候，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，共9个；③当这个数为100时，100是“纯数”；∴不大于100的“纯数”有个.【点拨】本题考查整式的加减、有理数的加法、新定义，解答本题的关键是明