专题12-分离法-教师版

【二轮复习—分离法】专题12分离法1.利用分离参数法来确定不等式fx,a≥0，x∈D恒成立或有解问题中参数a的取值范围，有如下三个步骤：第一步：参数与变量分离，化为f1a≥f2x或f1a≤f2x；第二步：求f2xmax或f2xmin，x∈D；第三步：解f1a≥f2x)max(f2x)min)或f1a≤f2xmin(f2xmax).2.分离参数法可以避免对参数范围的讨论，简化解题过程，但需注意两点：①函数是否可以分离参数，②如果变性后得到的函数形式太复杂，则不宜采用参变分离法。3.常见单变量不等式问题的最值转化：（1）∀x∈D,则fx>a恒成立⇒fxmin>a;（2）∃x∈D,则fx〕>a恒成立⇒fxmax>a;（3）∀x∈D,则fx〕<a恒成立⇒fxmax<a; ,fℎmx−fx,即可转化为∀x∈D,则ℎ9x>0恒成立，则ℎoxmin>a.特别说明:∀x∈D，fx)>gx恒成立不可以转化为：fxmin>gxmax.理由:fx和gx自变量都是x,自变量一样是一个函数的问题,不能分为两个函数理解.4.常见双变量不等式问题的最值转化：（1）∀x1∈D1,∃x2∈D2,fx1>g0x2⇒fx1min>g0x2min;（2）∀x1∈D1,∃x2∈D2,fx1)<gx2⇒f0x1max<gx2max;（3）∀x1、x2∈D,fx1〕>gx2)⇒f0x1min>g0;（4）∃x1、x2∈D,fx1)>g0⇒f0x1max>gx2)min;（5）∀x1∈D1,∃x2∈D2,fx1)=gx2⇒fx的值域是gx的值域的子集.（6）∃x1∈D1,∃x2∈D2,fx1)=g0⇒fx〕的值域与gx的值域的交集不是空集.【二轮复习—分离法】例1.(2023·江西省·月考试卷)已知对一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2−xy+y2≥0恒成立，则实数m的取值范围是()2yx2yx令t=∈1,3，则原题意等价于对一切t∈1,3，m≥t−t2恒成立，12∵y=t−t2的开口向下，对称轴12故实数m的取值范围是m≥0.故选：C.练1-1(2023·福建省·单元测试)设实数m>0，若对任意的正实数x，不等式emx⩾恒成立，则m的最小值为A.B.D.解：因为实数m>0，当0<x⩽1时，不等式emx⩾恒成立；当x>1时，不等式emx⩾，即memx≥lnx，mxemx⩾xlnx=elnx·lnx;当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，故不等式mxemx⩾elnx·lnx等价于g(mx)⩾g(lnx)，【二轮复习—分离法】当1<x<e时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)⩽f(e)=，所以m⩾1,e综上所述，m的最小值为.故选^.练1-2(2022·江苏省模拟)已知数列{an}的前n项和为sn，且an>0，2sn=a+an，若不等式2sn+9≥(−1)nkan.对任意的n∈N∗恒成立，则k的取值范围是.解：因为2sn=a+an，故2sn+1=an+12+an+1，两式相减得：2an+1=an+12−an+an+1−an，即an+1+anan+1−an−1=0，又因为an>0，所以an+1−an=1，又a1=1，故数列{an}是1为首项，1为公差的等差数列，所以an=n;由不等式2sn+9≥(−1)nkan.对任意的n∈N∗恒成立，故n2+n+9≥−1nkn，对任意的n∈N∗恒成立，即−1nk≤n++1，当n为奇数时，得−k≤n++1对任意的n∈N∗恒成立，9n又因为n9n≥2n×=6，当且仅当n=3时，等号成立．故−k≤7，解得k≥−7;当k为偶数时，得k≤n++1，对任意的n∈N∗恒成立，令f(n)=n+，当n=4时，n+取最小值4+=，故k≤+1=，综上k的取值范围是−7,.利用导数解决函数零点、方程根的问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质做出图像，然后将问题转化为函数图像与坐标轴的交点问题，（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图像的交点问题（3）分离参数法：由f(x)=0分离变量得出a=g(x)，将问题等价转化为直线y=a与函数y=g(x)的图像的交点问题.【二轮复习—分离法】例2.(2022·河北省模拟)已知函数f(x)=3+2axlnx(a∈R)图象上存在点M，函数g(x)=2−4aeln(2−x)(e为自然对数的底数)图象上存在点N，且M，N关于点(1,1)对称，则实数a的取值范围是()A.(0,]解：因为函数g(x)=2−4aeln(2−x)与函数y=4aelnx的图象关于点(1,1)对称，由题意可知：方程3+2axlnx=4aelnx有解，显然a≠0，所以问题转化为(x−2e)lnx=有解，设ℎ(x)=(x−2e)lnx，则ℎ'(x)=lnx+1为增函数且ℎ'(e)=0，所以ℎ(x)在(0,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增，且x→+∞时，ℎ(x)→+∞,所以实数a的取值范围是(−∞,0)∪[，+∞)，故选：C.练2-1(2023·江苏省·模拟题)若函数f(x)=m−x2+2lnx在[,e]上有两个零点，则实数m的取值范围为A.(1,e2−2]解：函数f(x)定义域为0,+∞,令f(x)=0可得m=x2−2ln∴g(x)在[,1]上单调递减，在(1,e]上单调递增，∴当x=1时，g(x)取得极小值，也是最小值，g(1)=1，又g()=+4，g(e)=e2−2，【二轮复习—分离法】∴g()<g(e)，∵m=g(x)有两解， e4 e4故选：.+4.练2-2(2022·广东省月考)已知f(x)=lnx+x2+ax(a∈R)(1)讨论f(x)的单调区间；(2)g(x)=2x2，若曲线y=f(x)和y=g(x)在,3上有且仅有两个交点，求a的取值范围.解：(1)函数f(x)=lnx+x2+ax(a∈R)的定义域为：(0,+∞)，f'(x)=+2x+a=，令f'(x)=0，即2x2+ax+1=0，则Δ=a2−8①当−22≤a≤22时，即Δ=a2−8≤0，此时f'(x)≥0恒成立，则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a<−22时，即Δ=a2−8>02x2+ax+1=0的两个根为x1=−a−4a2−8,x2=−a+4a2−8，且x1>0,x2>0当x∈(0,−a−4a2−8)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(−a−4a2−8,−a+4a2−8)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(−a+4a2−8,+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；③当a>22时，即Δ=a2−8>02x2+ax+1=0的两个根为x1=−a−4a2−8,x2=−a+4a2−8，且x1<0,x2<0此时f'(x)>0恒成立，则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；综上：当a<−22时，f(x)的增区间为(0,−a−4a2−8)和(−a+4a2−8,+∞)，减区间为(−a−4a2−8,−a+4a2−8)；当a≥−22时，f(x)的增区间为(0,+∞).(2)由题可知f(x)=g(x)在,3上有两个根，则lnx+x2+ax=2x2，即a=x在,3上有两个根， x1