小学数学疑难难题汇总

1.【题目】甲乙两人从周长为1600米的正方形水池ABCD相对的两个顶点A、C同时出发绕水池的边沿顺时针方向行走.甲的速度是每分钟50米，乙的速度是每分钟46米，那么甲乙第一次在同一边上行走，是发生在出发后的第多少分钟？第一次在同一边上行走了多少分钟？【解答】要使两人在同一边行走，甲乙相距必须小于一条边，并且甲要迈过顶点。甲追乙1600÷4＝400米，至少需要400÷〔50－46〕＝100分钟，此时甲行了50×100＝5000米，5000÷400＝12条边……200米。因此还要行200÷50＝4分钟，出发后100＋4＝104分钟在同一边上行走。此时甲乙相距400×2－104×〔50－46〕＝384米，乙行完这条边还有16米，因此第一次在同一边上走了16÷46＝8/23分钟。2.【题目】甲乙两地相距35千米,小张,小李都要从甲地去乙地,他们只有一辆自行车,小张先步行,小李先乘车,同时出发.小张步行的速度是每小时5千米,小李步行的速度是每小时4千米.两人乘车的速度都是每小时20千米.那么两人从甲地到乙地最短需要时间多少小时?【解答】如图，假设小李先乘车到丙地再步行，小张步行到丙地再乘车，要使两人时间最短，那么必须满足同时到达。那么有从甲地到丙地两人的时间差相当于两人从丙地到乙地的时间差。从甲地到丙地，车和小张的速度比是20：5＝4：1，时间比是1：4；从丙地到乙地，小李和车的速度比是4：20＝1：5，时间比是5：1；由于时间差相同，那么相差[3，4]＝12份的时间。那么有从甲地到丙地，车和小张的时间比是4：16还有从丙地到乙地，小李和车的时间比是15：3行完全程车行了7份的时间，那么每份的时间是35÷20÷7＝1/4小时每人行完全程用了19份的时间，那么共用去19×1/4＝19/4小时。3.【题目】现有速度固定的甲、乙两车。如果甲车以现在速度的2倍追乙车，5小时能追上；如果甲车以现在速度的3倍去追乙车，3小时能追上，那么甲以现在的速度去追乙车，几小时能追上乙车？【解答】根据牛吃草问题的工程解法并且这题的速度的倍数的特殊性来解答。因为2×2－3＝1，所以1÷〔1/5×2－1/3〕＝15小时。4.→B→C→D；蓝甲虫沿A→D→C→B.9：30红甲虫爬到AB间距离A点10米的E点后继续向前爬去，10：15到BC间的F点，再经C向前爬去.蓝甲虫爬到AD间距离D点5米的G点休息了一会儿再往前爬去.当两个甲虫在CD上的H点相遇时，凑巧四边形EFHG的面积是正方形面积的一半.求蓝甲虫在G点休息了多长的时间？【解答】要满足面积是一半，由于F、G不在同一水平线上，H、E在同一竖直线上，EH垂直正方形的边AB。那么有红甲虫比蓝甲虫多行〔17－10〕×2＝14米。每米需要30÷10＝3分钟，所以蓝甲虫休息了14×3＝42分钟。5.【题目】甲、乙两地公路长74千米，8：15一辆汽车从甲地到乙地，半个小时后，又有一辆同样速度的汽车从甲地开往乙地.王叔叔8：25从乙地骑摩托车出发去甲地，在差5分不到9点时，他遇到了第一辆汽车，9：16遇到第二辆汽车，王叔叔骑摩托车的速度是多少？【解答】汽车和摩托车的速度比是〔51－30〕：〔40－31〕＝7：3，摩托车行完需要40÷3/7＋30＝370/3分钟。摩托车小时行74÷370/3×60＝36千米6.【题目】红光农场原定9时来车接601班同学去劳动，为了争取时间，8时同学们就从学校步行向农场出发，在途中遇到准时来接他们的汽车，于是乘车去农场，这样比原定时间早到12分钟。汽车每小时行48千米，同学们步行的速度是每小时几千米？【解答】学生步行的路程，汽车需要12÷2＝6分钟，说明是在9：00前6分钟接到学生，即8：54分，说明学生行了54分钟。汽车的速度是步行的54÷6＝9倍，步行的速度是每小时行48÷9＝16/3千米。7.【题目】一条公路，由甲乙两个筑路队合修要12天完成。现在由甲队修3天后，再由乙队修1天，共修这条公路的3/20，如果这条公路由甲队单独修要多少天完成？【解答】把甲队修3天乙队修1天，看作合修1天甲队又修2天。那么甲队2天修了3/20－1/12＝1/15所以甲队单独修需要2÷1/15＝30天8.题目】一批任务，师徒二人合作了30天完成，合作时，徒弟中途休息5天，然后又合作完成全部任务。结果师傅做的是徒弟的二倍。师傅每天比徒弟多做2个，求全部任务是多少？【解答】师傅和徒弟的工作效率的比是〔30－5〕：〔30÷2〕＝5：3徒弟每天做2÷〔5－3〕×3＝3个，徒弟做了3×〔30－5〕＝75个全部任务就是75×〔1＋2〕＝225个。9.【题目】一件工程，甲独做50小时完成，乙独做30小时完成，现在甲先做1小时，然后乙做2小时，再由甲做3小时，接着乙做4小时，……，两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？【解答】由于单独做甲50小时，乙30小时，所以交替做的天数要超过30小时。工作1＋2＋3＋…＋6＋7＋8＝36小时完成了〔1＋3＋5＋7〕×1/50＋〔2＋4＋6＋8〕×1/30＝74/75,还剩下1－74/75＝1/75，此时是甲做，需要1/75÷1/50＝2/3小时,因此共需要36小时40分钟10.【题目】一项工程，如果甲队独做，正好在方案规定的时间内完成，如果乙队独做，那么要超过方案规定的时间10天才能完成，如果甲乙两队先合作6天。然后让乙队单独做，那么正好在方案规定的时间完成。完成这项工程方案用多少天？【解答】甲队做6天相当于乙队做10天，单独做甲队比乙队少做10天，甲队需要10÷〔10－6〕×6＝15天,即方案用的天数15天11.【题目】甲乙两名工人加工数量相等的一批零件，甲先花去2.5小时改装机器才开始工作，因此前4小时后甲比乙少做400个零件，又同时工作4小时后，甲总共加工的零件反而比乙多4200个，求甲乙每小时各做多少零件？【解答】甲4小时比乙多做4200＋400＝4600个,甲2.5小时做4600＋400＝5000个,甲每小时做5000÷2.5＝2000个,乙每小时做〔2000×1.5＋400〕÷4＝850个12.【题目】一件工程甲独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了假设干天后，在由已接着甲单独做完余下的局部，这样前后共用了16天，甲做了多少天？【解答】假设16天都是乙做的，就会差1－16/18＝1/9没有完成,甲参加一天，就会多做1/12－1/18＝1/36,所以甲做了1/9÷1/36＝4天13.【题目】甲、乙、丙三个仓库，各存放着同样数量的化肥，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，需要5小时候才能把甲仓库搬空；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，需3小时才能把乙仓库搬空；丙仓库有两台皮带输送机，如果要求2小时把丙仓库搬空，同时还需要多少名工人？〔皮带输送机的成效相同，每个工人每小时的搬运量相同，皮带输送机与工人同时往外搬运化肥。〕【解答】与大家分享四种解法。解法一：假设每个工人每小时做1份，甲仓库需要工人搬了12×5＝60份，乙仓库工人搬了28×3＝84份，相差的84－60＝24份，就是皮带运送机5－3＝2小时搬的。说明皮带运送机每小时送24÷2＝12份，总共有〔12＋12〕×5＝120份，两台皮带运送机2小时运送2×12×2＝48份，工人2小时运送120－48＝72份，那么工人每小时运送72÷2＝36份，即配备36个工人。解法二：假设每个工人每小时做1份，甲仓库需要工人搬了12×5＝60份，乙仓库工人搬了28×3＝84份，相差的84－60＝24份，就是皮带运送机5－3＝2小时搬的。说明皮带运送机每小时送24÷2＝12份，丙仓库如果2台皮带运送机需要5小时，多出的5－2＝3小时的运送量，需要配备12×3＝36个工人。解法三：比拟甲乙两个仓库，相差28－12＝16个工人，工作效率相差1/3－1/5＝2/15，每个工人每小时做2/15÷16＝1/120。综合甲乙两个仓库2皮带运送机和28＋12＝40个工人每小时运送1/3＋1/5＝8/15，比规定的多了8/15－1/2＝1/30，那么需要减少1/30÷1/120＝4个工人，即需要配备40－4＝36个工人。解法四：甲乙两个仓库工作效率的比是3：5，那么甲仓库每小时相当于〔28－12〕÷〔5－3〕×3＝24个工人做的。一个皮带运送机就相当于24－12＝12个工人送的。那么每个仓库2台运送机可以运送5小时，多出的3小时需要配备3×12＝36个工人。14.【题目】加工一个零件，甲、乙、丙所需时间分别是6分钟、7分钟、8分钟。现在有3650个零件要加工，如果规定3人用同样的时间完成任务，各应加工多少个？【解答】工作效率的比是1/6：1/7：1/8＝28：24：21，完成任务时，甲做28/73，乙做24/73，丙做21/73。甲加工了3650×28/73＝1400个，乙加工了3650×24/73＝1200个，丙加工了3650×21/73＝1050个。15.【题目】货场上有一堆沙，如果用3辆卡车来运4天就可以运完。如果用4辆马车来运5天可以运完，如果用20辆小板车来运6天可以运完。现在用2辆卡车、3辆马车、七辆小板车共同运了2天，余下的改用小板车云且要在2天内运完，那么每天要用多少辆小板车？【解答】与大家分享两种解法。解法一：份数法假设小板车每天运1份，共有20×6＝120份。每辆卡车每天运120÷3÷4＝10份，每辆马车每天运120÷4÷5＝6份。2天搬完，每天搬120÷2＝60份，需要小板车60－2×10－3×6＝22份。剩下的就需要22－7＝15辆小板车。解法二：工程法2辆卡车2天运了2×2÷〔3×4〕＝1/3，3辆马车2天运了3×2÷〔4×5〕＝3/10，7辆小板车2天运了2×7÷〔20×6〕＝7/60，剩下1－1/3－3/10－7/60＝1/4，每天运1/4÷2＝1/8，需要1/8×20×6＝15辆小板车。16.【题目】两只小爬虫甲和乙，从A点同时出发，沿长方形ABCD的边，分别按箭头方向爬行，在离C点32厘米的E点它们第一次相遇，在离D点16厘米的F点第二次相遇，在离A点16厘米的G点第三次相遇，长方形的边AB长多少厘米？

【解答】如图2，每次相遇两虫都是合行1周，那么每次相遇乙虫行的路程相同。蓝色路线和紫色路线比拟，CF比AB短16厘米，那么BE比CE短16厘米，可以知道BE＝32－16＝16厘米。根据长方形对边相等，可以知道DG＝CE＝32厘米。比拟蓝色路线和红色路线，可以知道AB＝DG＝32厘米。解法二：第三次相遇，用AG替换DF，可以知道乙每次相遇行长方形的长。第一次相遇和第二次相遇比拟，AB＋BE＝BE＋EC，即AB＝EC＝32厘米。17.【题目】在一个周长400米的圆形跑道上，甲乙两车同时从一点A沿相反方向出发，甲车每小时行18千米，乙车每小时行72千米，当两辆车第一次相遇时，甲车速度提高，每秒比原来多走1米，乙车那么每秒少走1米，仍各自按原方向行进，以后每次两车相遇，两车的速度都如此变化，直到两车第18次相遇.那么在此过程中，两车有没有恰在A点相遇过？如果有，说明理由并求出是哪几次相遇？【解答】甲车和乙车速度分别是5米/秒和20米/秒。由于速度和不变，那么把总路程看作20＋5＝25份，甲行的路程和是25的倍数时，就相遇在A点。甲行的路程的份数是5＋6＋7＋8＋…。经检验，当相遇次数是16时，甲车行了〔5＋20〕×16÷2＝200份，是25的倍数。18.【题目】梯形ABCD底边BC上一点E，角AED＝90°，角C＝45°。各边长度已经标在了图上。求梯形ABCD的面积。【解答】如下列图，过点A作AF垂直BC，过点D作DG垂直BC。长方形AFGD的面积是20×15＝300，DG长300÷25＝12，CG长12，EG长21－12＝9，EF长是25－9＝16，BF的长也是16。那么梯形面积是〔25＋16×2＋21〕×12÷2＝468。19.【题目】ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，ABCDEFG表示1～9中不同的数字，ABCD＋EFG＝2005，那么ABCD×EFG的最大值和最小值的差是多少？【解答】和的数字和除以9余数是7，那么加数的数字和除以9的余数是7。7个数字的数字和在28～42之间，那么数字和是34。9个数字中去掉的两个数字的数字和是45－34＝11。有四种情况：2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6。A不能是2，只能是1。如果D＋G＝5，那么C＋F＝10，B＋E＝9，数字和不是34。只有D＋G＝15，C＋F＝9，B＋E＝9才符合条件。由于两数和一定，乘积的有最大值，那么两数尽量接近。所以E最大是7，B就是2，D就只能是6，G只能是9，去掉的两个数字是3和8。那么C＝4，F＝5。由此当乘积最大时两数是1246和759，乘积最小时两数是1759和246。那么乘积之差是

1246×759－1759×246＝〔1000＋246〕×759－〔1000＋759〕×246＝1000×759＋246×759－1000×246－759×246＝1000×759－1000×246＝1000×〔759－246〕＝1000×513＝51300020.【题目】有六个不同的自然数的倒数之和为1，且六个自然数恰好能分成三组数，每组中两数成2倍关系，那么这六个数中的最大数最小是多少？【解答】设这六个自然数分别是a，2a，b，2b，c，2c，那么有1/a＋1/〔2a〕＋1/b＋1/〔2b〕＋1/c＋1/〔2c〕＝1，整理得1/a＋1/b＋1/c＝2/3。设a＜b＜c，那么a＜4，因为1/4＋1/5＋1/6＜2/3。当a＝2时，有1/b＋1/c＝1/6，b和c最接近的是10和15。当a＝3时，有1/b＋1/c＝1/3，那么b和c分别是4和12最接近。因此这六个数中最大数2c＝24附：把分数拆分成1/n两个分数1/a与1/b的和的形式的公式。〔a－n〕〔b－n〕＝n×n。21.【交流题目】算式中填入数字，使等式成立有多少种可能。【题目】A和B是三位数，且1/A＋1/306＝1/B，使得等式成立有多少种可能。【解答】原式变形1/B－1/A＝1/306，有〔306－B〕〔306＋A〕＝306×306。设x＝306－B，y＝306＋A，因为A和B是三位数，那么有1＜x＜206，406＜y＜1305。因为306×306≈90000，x＞90000÷1305≈70，那么缩小x的取值范围为70＜x＜206。因为306×306＝2×2×3×3×3×3×17×17，在x的取值范围内可以取值为：①17×2×3；②17×3×3；③17×2×2×3；④3×3×3×3；⑤3×3×3×3×2；⑥3×3×3×2×2那么a的结果是204，153，102，225，144，198，且b的结果是612，306，153，850，272，561。即这题有6种情况可以使等式成立。附：此题利用一个拆分公式，在1/a－1/b＝1/n时，那么〔n－a〕〔n＋b〕＝n×n22.【交流题目】根据条件填出九宫格中的每个数据。【解答】根据条件2，只有5，4，3才满足条件，可以确定“人〞＝5，“迎〞和“你〞不能确定。当“迎〞＝3时，“你〞＝4。那么“大〞和“附〞是1或6。如果“大〞是1，那么“欢〞是3，不符合条件；如果“大〞是6，那么“欢〞是8，这样就剩下2，7，9填中间，但“校〞比“中〞大4，没有符合条件的数。这样可推出，“迎〞＝4，“你〞＝3。这时，如果“大〞是6，“附〞是1，那么“欢〞是7，剩下2，8，9填第二行，“校〞比“中〞大4，没有符合条件的数。那么“大〞是1，“附〞是6，“欢〞是2，第二行中的“校〞比“中〞小1，剩下的数有7，8，9，那么最终有两种结果。“人大附中欢送你〞：516897243，51697824323.【解答】将这两个式子改变成如下形式：1000A＋110B＋C＝D×〔110×D＋E〕1000C＋110B＋A＝D×〔110×F＋G〕两式相减得999×〔A－C〕＝D×【110×〔D－F〕＋〔E－G〕】必有E－G＝D－F，两边除以111变形成9×〔A－C〕＝D×〔D－F〕，由于F≠0，那么D－F≠9，再因为D＞A且D＞C，可知D＞A－C，那么D是3的倍数。当D＝9时，99□×9＝899△，△只能是1，那么□是9，不符合要求。当D＝6时，66□×6＝399△，可△993不是6的倍数，也不符合要求。当D＝3时，33□×3＝100△，△001÷3是三位数，那么△＜3，那么只有△＝2时才可以。即334×3＝1002，667×3＝2001才满足条件，所以B＋D＋F＝0＋3＋6＝9。24.【解答】用含有未知数的式子代替进行计算。第二行分别是1＋x，x＋5，0，4，第三行分别是2x＋6，x＋5，4，第四行分别是3x＋11，x＋9第五行只能是4x＋8当x＝1时，余数是0；当x＝2时，余数是4；当x＝3时，余数是8；然后周期出现，那么最底层的数一共有3种取值，分别是0，4，825.【题目】由红点与蓝点组成的16行与16列的正方形点阵中，相邻同色两点用与点同色的线段连结，相邻异色两点均用黄色的线段连结．共有133个红点，其中32个点在方阵的边界上，2个点在方阵的角上．假设共有196条黄色线段，试问应有________条蓝色线段.【解答】把每个条线段都看作有方向的，角上每个点可以画出2条线段，边上每个点可以画出3条线段，中间每个点可以画出4条线段。133个红点有2个在角上，32个在边上，有133－2－32＝99个在中间，共可画出的有向线段长度是2×2＋32×3＋99×4＝496条，其中有196条连着蓝点，那么有496－196＝300条有向线段连着红点，即有300÷2＝150条红色线段。总共有15×16×2＝480条线段，那么蓝色线段有480－150－196＝134条。26.【解答】最小的十个合数分别是4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。要使最后一行的和尽量小，那么上面一行的数就尽量大。有几个数是很容易确定的。10和15分别填在5下面的两格；12和18分别填在6下面的两格；14和16分别填在2下面的两格；剩下的6和9填在3下面的两格；4和8填在4下面的两格。所以最下面一行的五个数的和是16＋9＋8＋15＋18＝66。27.【交流题目】共有多少种填法？【解答】根本思想：计算四个三角形的和时，小正方形的数加了两次。并且小正方形四个数的2倍加上大正方形四个顶点上的数，必定是4的倍数。第一问：如果四个顶点是奇数，每个三角形的三个数是两个偶数一个奇数，其和是奇数。可四个顶点：1＋3＋5＋7＝16，小正方形：2＋4＋6＋8＝20，三角形：〔20×2＋16〕÷4＝14。矛盾了。如果四个顶点的数都是偶数，那么三角形的三个数是一个偶数两个奇数，其和是偶数。可三角形三数之和是〔20＋16×2〕÷4＝13，因此矛盾了。第二问：⑴大正方形的四个顶点必须是两个奇数两个偶数，并且是4的倍数。无论是一个奇数三个偶数还是三个奇数一个偶数，和都是奇数，小正方形的和2倍是偶数，四个三角形的总和是奇数不是4的倍数。大、小正方形都是两个奇数两个偶数，其和都是偶数，小正方形的2倍是4的倍数，大正方形的四个数的和是4的倍数才能满足三角形的总和是4的倍数。⑵大正方形相对的两数和相等。因为每个三角形的数字和相等，去掉对着的两个三角形，剩下的两数和是顶点上的，和就应该是相等的。⑶大正方形四个顶点的数的和是12、16、20、24。四个数最小是1＋2＋3＋4＝10，最大是5＋6＋7＋8＝26，在这范围内，4的倍数有12、16、20、24。⑷分类进行探讨：①当四个数的和为12时，顶点的两数和为6，6＝1＋5＝2＋4，有一种情况满足条件。②当四个数的和为16时，顶点的两数和为8，8＝1＋7＝2＋6＝3＋5，那么有1、7、2、6和2、6、3、5两种情况。③当四个数的和为20时，顶点的两数和为10，10＝2＋8＝3＋7＝4＋6，那么有3、7、2、8和3、7、4、6两种情况。④当四个数的和为24时，顶点的两数和为12，12＝8＋4＝7＋5，有一种情况满足条件。因此一共有6种填法。28.【交流题目】求满足下面各小题条件的整数ａ【解答】第一题：a在最高位不能是0，a在个位必须是偶数，a4a的百位是偶数，偶数个100是8的倍数，那么看4a是8的倍数，那么只有a＝8时满足条件。第二题：根据9的倍数的特征，各位数字和是9的倍数，那么有5a＋10是9的倍数，也说明a＋2是9的倍数，那么a＝7满足条件。第三题：根据11的倍数的特征，奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，那么有5a－10是11的倍数，也说明a－2是11的倍数，由于a＜10，那么a＝2满足条件。29.【解答】要使末尾恰有5个零，那么质因数5和2的个数都不能少于5个。725里面包含2个质因数5，730里面包含1个质因数5，735里面包含1个质因数5，那么最后一个三位数至少包含1个质因数5。730里面包含1个质因数2，742里面包含1个质因数2，那么最后一个三位数至少包含3个质因数2。因为十万位数字是奇数，说明质因数2的个数只能是5个，那么最后一个三位数包含3个质因数2，如果质因数5的个数是2个，那么这个三位数是8×25＝200的倍数，显然不符合要求，那么质因数5的个数是1个，那么这个三位数是8×5＝40的奇数倍，那么最后一个三位数是760。29.【题目】如果六位数2005□□能被105整除，那么它的最后两位数是_____；如果将“2005〞改成其它四位数，可能会使得问题无解，这个是此题无解的四位数最小是_____。【解答】第一问：假设这个数是200599，它除以105后余数是49，所以□里面填99－49＝50。第二问：因为100099÷105的余数是34，那么最小的105的倍数是100065。这时，每增加一个105，那么百位增加1，当末两位要向百位进位时，百位就增加2，此时在百位只增加1，就满足条件了。当10065＋105×7时，末两位刚好进位。所以四位数最小是1000＋7＝1007。30.【解答】因为52＝13×4，那么六位数是4的倍数，末两位也是4的倍数，那么y是2或6。这个六位数也是13的倍数，根据7、11、13的倍数的特征，可以知道910＋y－100x－19＝891＋y－100x＝13×〔68－8x〕＋7＋y＋4x是13的倍数。那么7＋y＋4x是13的倍数，当y＝2时，x＝1满足条件。31.【分析】根据5的倍数的特征确定个位数字，根据7、11、13的数的特和3的倍数的特征，结合最小与最大综合考虑。【解答】根据5的倍数的特征，个位是0或者5。第一问：要求最小值，我们不妨假设这个五位数是10AB5，A＋B是3的倍数，AB5－10是11和7的倍数，由于差的个位是5，那么77×5＝385，AB5是395，3＋9＝12是3的倍数，符合条件。那么这个数是10395。第二问：要求最大值，我们不妨假设这个五位数是98CD5，C＋D除以3余2，CD5－98是11和7的倍数，由于差的个位是7，那么77×11＝847，CD5是945，数字9重复；或者77×1＝77，CD5是175。1＋7＝8除以3余2，符合条件，五位数是98175。如果假设这个五位数是98CD0，C＋D除以3余1，CD0－98是11和77的倍数，由于差的个位是2，那么77×6＝462，CD0是560，可5＋6＝11除以3余2，不满足条件。因此最大的五位数98175。32.【解答】19×23＝437，120000÷437＞274，商的个位数字是□2÷7＝6，〔12□□12－437×6〕÷10的最后一位是9，那么商的十位是□9÷7＝7，所以六位数是276×437＝120612，那么两个数字依次是0和6。33.【分析】两个九位数是9的倍数，差也是9的倍数，考虑这两个九位数的差是396÷9＝44的倍数。两个九位数的奇数位数字和与偶数位数字和相差是一样的，说明差就是11的倍数，那么只用根据4的倍数的特征分析差的最后两位数字就行了。【解答】要使两个九位数的差是4的倍数，其个位是偶数，那么剪开之处就应该是奇偶相同，即有可能在4、6；5、7；7、3之间。根据这三种情况进行计算：当在4、6之间时，差的最后两位是94－16＝78，不是4的倍数，那么差就不是4的倍数；当在7、3之间时，差的最后两位是83－57＝26，不是4的倍数，那么差就不是4的倍数；当在5、7之间时，差的最后两位是125－37＝88，是4的倍数，所以该从5和7之间剪开。34.【分析】132.□△不可能是77个杯子的。因为132是11的倍数，□△就同样是11的倍数，两位数中11的倍数的两位数字是相同的，这样与题目条件矛盾。因此132.□△是B型杯子的总价，123.○

是A型杯子的总价。【解答】通过分析可以知道，132.99÷75＝1.77……0.24，因为132.99－0.24＝132.75，末尾两位不同，那么B型杯子的单价是1.77元。元。35.【分析】45＝5×9，根据5的倍数的特征知个位是0或者5，再根据9的倍数的特征可知数字和是9的倍数，并且每个数除以9的余数与这个数的数字和除以9的余数相同。【解答】当个位数字是0时，N的最小值是9×9－1＝80，当个位数字是5时，N的最小值是4×9－1＝35。36.【题目】用数字1至9组成一个九位数，使得它从左数前m位形成的数恰能被m整除〔m=1、2、…、9〕，这个九位数是______。【解答】根据条件偶数位上是偶数，奇数位上是奇数，万位上是5，假设这个九位数是abcd5efgh。根据4和8的倍数，d的值有2或6两种可能，g的值也是2或6两种可能。根据3和6的倍数，可以知道d5e也是3的倍数，那么d5e可能是258也可能是654。分两种情况进行讨论：⑴当中间三位是258时，可知g＝6，b＝4，原数变成a4c258f6h。根据8的倍数可知，f为1或9。①当f＝1时，根据3的倍数，a和c没有可取的数。②当f＝9时，根据3的倍数，a和c只能取1或7。前七位利用倒除法那么需判断a4c1是否是7的倍数，在1471和7411中没有7的倍数。⑵当中间三位是654时，可知g＝2，b＝8，原数变成a8c654f2h。根据8的倍数可知，f为3或7。①当f＝3时，根据3的倍数，a和c可能是1和9，也可能是7和9。前七位用倒除法那么需判断a8c2是否是7的倍数，在1892，9812，7892，9872中没有7的倍数，那么f不是3。②当f＝7时，根据3的倍数，a和c可能是1和3，也可能是1和9。前七位利用倒除法，那么需判断a8c5是否是7的倍数，在1835，3815，1895，9815中只有3815是7的倍数。综上所述，这个九位数是381654729。37.【题目】小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？【解答】小轿车1/6小时行了9千米，小轿车每小时行9÷1/6＝54千米，面包车每小时行54－6＝48千米，面包车到达城门时行了9÷6＝1.5小时，所以从学校到城门的距离是48×1.5＝72千米。38.【题目】五个长方形，它们的长宽都是整数，并且5个长、5个宽恰好是1-10这10个整数，现用这5个长方形拼成一个大正方形，大正方形的面积的最小值为多少?【解答】因为1×10＋2×9＋3×8＋4×7＋5×6＝110，那么最小值可能是11×11＝121，因为11×11的拼法可以如下，因此最小值是12139.【题目1】现有四个自然数，它们的和是1111，如果要求这四个数的最大公约数尽可能大，那么这四个数的最大公约数最大可能是多少。〔101〕【解答】1111=11×101所以最大是101【题目2】A、B两城相距60千米，甲、乙两人都骑自行车从A城同时出发，甲比乙每小时慢4千米，乙到B城当即折返，于距离B城12千米处与甲相遇，那么甲的速度是多少。〔8千米/时〕【解答】相遇的时间是12×2÷4＝6小时，速度是〔60－12〕÷6＝8千米/时【题目3】10年前母亲的年龄是女儿的7倍，10年后母亲的年龄是女儿的2倍。现在母亲的年龄是多少岁？〔38岁〕【解答】画图解答一下。【题目4】在一个正六边形的纸片内有60个点，以这60个点和六边形的6个顶点为顶点的三角形，最多能剪出多少个？〔124个〕【解答】每增加一个点就增加两个三角形，加上原来六边形的4个三角形，所以是60×2＋4＝124【题目5】林玲在450米长的环形跑道上跑一圈，她前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒？〔55秒〕【解答】全程的时间是450÷〔5＋4〕×2＝100秒，前一半的时间450÷2÷5＝45秒，后一半就是100－45＝55秒。【题目6】抽干一口井，在无渗水的情况下，用甲抽水机要20分钟，用乙抽水机要30分钟。现因井底渗水，且每分钟渗水量相等，用两台抽水机合抽18分钟正好抽干。如果单独用甲抽水机抽水，多少分钟把水抽干？〔45分钟〕【解答】1÷〔1/18－1/30〕＝45分钟40.【题目】一个长方形长19cm、宽18cm，如果把这个长方形分割成假设干个边长为整数的小正方形，那么这些小正方形最少有多少个？如何分割？【答案】最少有7个小正方形，如下列图：41.【题目】甲乙两车同时从AB两地出发往返于两地之间，经48分钟相遇，相遇后又经12分钟甲被从A地返回的乙追上，甲到达B地时被乙追上几次？【解答】画个图就更清楚。乙行12分钟的路程甲需要行48×2＋12＝108分钟。乙的速度就是甲的108÷12＝9倍，甲行1个单程，乙行9个单程，乙每次返回追上甲一次，共追上4次。42.【题目】一支解放军队伍全长900米，排尾的通讯员骑摩托车从排尾赶到排头将电报交给排头的首长，然后以原速的1/8回到排尾将命令传达给指挥官，这时队伍共前进了900米，队伍匀速前进，当通讯员赶到排头时，解放军队伍已经行走了多少米？这段时间通讯员共走了多少米？【解答】设通讯员的速度是队伍速度的x倍。900÷〔x－1〕＋900÷〔x/8＋1〕＝900，解得x＝4，通讯员赶到排头时队伍已行了900÷〔4－1〕＝300米。通讯员共走了600×4÷8＋300×4＝1500米。43.【题目】一只船从甲港到乙港往返一次共用6小时，去时顺水比回来时每小时多行10千米，因此前3小时比后3小时多行25千米，这只船静水速度是多少千米/时，水流速度呢？【解答】水流速度是10÷2＝5千米/时，顺水时间是25÷10＝2.5小时，逆水时间是6－2.5＝3.5小时，逆水每小时行2.5×10÷〔3.5－2.5〕＝25千米，静水每小时行25＋5＝30千米。44.【题目】甲乙二人分别从A,B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C点。如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲乙还从A,B两地同时出发相向而行，那么相遇点D距C点10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲乙还从A,B两地同时出发相向而行，那么相遇点E距C点5千米，问甲原来的速度是多少？【解答】根据第一种假设，甲如果行到C点，甲需要再行10千米，乙需要再行4×5－10＝10千米，在同样的时间内，甲乙行的路程相等，说明甲乙此时的速度相等，也就说明原来甲每小时比乙多行4千米。根据第二种假设，乙行到C还要走5千米，甲就还要行3×5－5＝10千米，相同的时间，甲行的路程是乙的10÷5＝2倍，说明此时甲的速度是乙的2倍，也就是甲每小时多行3千米，就是乙的2倍。可以得出乙每小时行是3＋4＝7千米，甲每小时行7＋4＝11千米。45.【题目】客车和货车同时从A地出发反向行驶，5小时后客车到达甲地，货车离乙地还有90千米，A地到甲地的距离与甲乙两地间的距离比是1:3，货车与客车的速度比是5:3，甲乙两地间的距离是多少千米？【解答】客车行1份到甲地，货车就行5/3份距离乙地90千米，这90千米就是3－1－5/3＝1/3份，每份是90÷1/3＝270千米，甲乙两地间的距离是270×3＝810千米。46.【题目】某校在400米环行跑道上进行1万米比赛，甲、乙两名运发动同时起跑后乙的速度始终保持不变，开始时甲比乙慢，在第15分钟时甲加快速度并保持这个速度不变，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙。在第23分钟时甲再次追上乙，而在23分50秒时甲到达终点。那么乙跑完全程所用的时间是多少分钟？【解答】后来甲23－18＝5分钟就超过乙一圈，又行50秒就多行50/60÷5＝1/6圈。10000米是25圈，乙用23又5/6分钟行了25－1－1/6＝23又5/6圈，乙每分钟行1圈。乙行完全程需要25分钟。47.【题目】一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游50千米处。客船和货船分别从甲乙两个码头同时出发向上游行使。两船的静水速度相同且始终保持不变。客船出发时有一物品从船上掉入水中，10分钟后此物品距离客船5千米。客船在行使20千米后折回向下游追赶此物，追上时恰好与货船相遇。求水流的速度。【解答】船静水每小时行5÷10/60＝30千米，客船从返回到与货船相遇的时间是50÷〔30×2〕＝5/6小时，由于这个时候客船也追上了物品，客船逆水行20千米用了5/6小时，逆水每小时行20÷5/6＝24千米，水流每小时30－24＝6千米。48.【题目】在同一路线上有ABCD四个人，每人的速度固定不变。A在12时追上C，14时时与D迎面相遇，16时时与B迎面相遇。而B在17时时与C迎面相遇，18时追上D，那么D在几时迎面遇到C。【分析】把12时AB的距离看作单位1，四人速度分别用ABCD来表示。A和B4小时相遇，速度和是1/4，B和C5小时相遇，速度和是1/5。A2小时和D相遇，B6小时追上D，当2小时后，A和D相遇时，B还需要6－2＝4小时追上D，还需要4－2＝2小时和A相遇，说明A和B的速度和是B和D的速度差的4÷2＝2倍，那么B和D的速度差是1/4÷2＝1/8。12时A和C在同一个地方，A和D的距离就是C和D的距离。由于B和D的速度差是1/8，说明D的速度比B的速度少1/8，那么A和D的速度和就比A和B的速度和少1/8，由于A和B的速度和是1/4，所以A和D的速度和是1/4－1/8＝1/8，由于A和D是2小时相遇的，所以12点的时候，A和D的距离是1/8×2＝1/4，即C和D的距离是1/4。由于B和D的速度差是1/8，说明D的速度比B的速度少1/8，那么C和D的速度和比B和C的速度和少1/8，由于B和C的速度和是1/5，所以C和D的速度和是1/5－1/8＝3/40。有了C和D相距的路程和速度和以后，就可以计算出相遇时间是1/4÷3/40＝10/3小时，即在15时20分的时候C和D相遇。【解答】把12时AB的距离看作单位1，四人速度分别用ABCD来表示。A＋B＝1/4，B＋C＝1/5。2〔A＋D〕＋6〔B－D〕＝4〔A＋B〕，得出B－D＝1/2〔A＋B〕＝1/2×1/4＝1/8，12时C和D相距2×〔1/4－1/8〕＝1/4，C＋D＝1/5－1/8＝3/40，需要的时间是1/4÷3/40＝10/3小时，即在15时20分的时候C和D相遇。49.【题目】船顺流航行速度是每小时8千米，逆流而上的速度是每时7千米，两船同时从同一地点出发，甲船顺流而下，乙船逆流而上，然后返回，经过2时同时回到出发点，这2小时中有多少时间甲乙两船航行方向是相同的？【解答】2÷〔7＋8〕×〔8－7〕＝2/15小时50.【题目】一条公路上有相距120千米的两个汽车站A和B，一天24小时中每逢整点就有一辆汽车从A站出发开往B站，同时也有一辆汽车从B站出发开往A站，所有汽车的速度都一样。有一人早上7点钟骑自行车自A站出发沿公路向B站前进。在途中有8辆从A站驶往B站的汽车超过他，还有一辆与他同时到达B站。如果这个人在中途还遇到14辆从B站驶往A站的汽车，那么骑车的人平均时速最少是多少千米？51.【练习题目】鸡兔同笼问题【题目1】鸡兔共35只，关在同一个笼子里，腿总共有92条，鸡有多少只？兔有多少只？【解答】每只动物先算2条腿，共有35×2＝70条腿，另外的92－70＝22条腿，每只兔子少算的4－2＝2条腿，那么兔子有22÷2＝11只，鸡有35－11＝24只。【题目2】鸡兔共35只，关在同一个笼子里，兔腿总共比鸡腿多92条，鸡有多少只？兔有多少只？【解答】假设全部是兔子，兔子就比鸡多35×4＝140条腿，与实际相差140－92＝48条，增加一只鸡，差距缩短2＋4＝6条腿，那么鸡有48÷6＝8只，兔子有35－8＝27只。【题目3】鸡兔关在同一个笼子里，鸡比兔多35只，兔腿和鸡腿一共有94条，那么鸡有多少只？兔有多少只？【解答】如果去掉35只鸡，剩下的鸡兔的只数相同，腿共有94－35×2＝24条。一鸡一兔配对每对2＋4＝6条腿，那么有24÷6＝4对，即有4只兔子，4＋35＝39只鸡。【题目4】鸡兔关在同一个笼子里，鸡比兔多35只，兔腿比鸡腿多94条，那么鸡有多少只？兔有多少只？【解答】如果增加94÷2＝47只鸡，鸡就比兔多35＋47＝82只，且兔和鸡的腿同样多。2鸡1兔配对腿同样多，那么兔有82÷〔2－1〕＝82只，鸡有82＋35＝117只。【题目5】鸡兔关在同一个笼子里，鸡比兔的2倍多35只，兔腿和鸡腿一共有94条，那么鸡有多少只？兔有多少只？【解答】去掉35只鸡，鸡是兔的2倍那么鸡腿和兔腿同样多，共有94－35×2＝24条腿，那么兔有24÷2÷4＝3只，鸡有3×2＋35＝41只。【题目6】衣裤21件共439元，其中上衣每件24元，裤子每条19元，上衣有多少件？裤子有多少条？【解答】每件先计算19元，还差439－21×19＝40元，每件上衣还要计算24－19＝5元，那么上衣有40÷5＝8件，裤子有21－8＝13条。【题目7】大小寝室一共有20间，大寝室可住6人，小寝室可住4人，并且大寝室中的人数比小寝室中的人数多30人，问大寝室有几间？小寝室有几间？【解答】如果大小寝室各20÷2＝10间，大寝室就比小寝室多10×〔6－4〕＝20人，大寝室替换小寝室，一间就拉开差距4＋6＝10人，那么需要增加〔30－20〕÷10＝1间大寝室，那么大寝室有10＋1＝11间，小寝室10－1＝9间。【题目8】给大班和小班的同学分桔子，大班每人发5个，小班每人发3个，小班比大班多7人，总共分了101个桔子。问大班有多少人？小班有多少人？【解答】小班去掉7人，大小班人数相同，共分101－7×3＝80个桔子，一个班一个人配对每对分5＋3＝8个，那么有80÷8＝10对，即大班有10人，小班有10＋7＝17人。【题目9】工厂生产某种零件，开始采用旧工艺生产零件，每天可生产20个；后来采用了新工艺生产零件，每天可以生产50个。如果开始的阶段比后来多10天，后来生产的零件比开始多220个那么开始阶段有几天？【解答】如果后来再生产10天，两段时间就相同了，能再生产50×10＝500个零件，那么共比开始多生产500＋220＝720个零件，后来每天比原来多生产50－20＝30个零件，说明开始阶段有720÷30＝24天。【题目10】有蜘蛛蜻蜓蝉三种动物一共21只，蜘蛛有8条腿没有翅膀，蜻蜓有6条腿2对翅膀，蝉有6条腿1对翅膀。三种动物一共140条腿，23对翅膀。蜻蜓蜘蛛蝉各有几只？【解答】每种动物都计算6条腿，共6×21＝126条腿，相差的140－126＝14条腿是14÷〔8－6〕＝7只蜘蛛没有计算到的，那么蜻蜓和蝉共有21－7＝14只，这两种动物都计算一对翅膀，那么有23－14＝9对翅膀没有计算，每只蜻蜓少算了1对，说明有9÷1＝9只蜻蜓，那么有14－9＝5只蝉。52.【题目】如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的25倍，这个五位数最大是多少？【解答】a×b×c×d×e＝25×〔a＋b＋c＋d＋e〕，其中必有2个数字是5，那么变形为abc＝a＋b＋c＋10。当最大数是9时，那么有9×a×b＝a＋b＋19，21≤9ab≤37，当ab是3或4时都不符合要求。当最大数是8时，那么有8×a×b＝a＋b＋18，20≤8ab≤34，当ab为3或4时都不符合要求。当最大数是7时，那么有7×a×b＝a＋b＋17，19≤7ab≤31，当ab为3时有7×3＝3＋1＋17那么最大五位数是75531。53.【题目】有10对夫妇共20人参加一次圣诞晚会，其中每位男宾与其他每一个人握一次手〔他的夫人除外〕，女宾与女宾都不握手，晚会上这20人之间一共互相握了多少次手？【解答】第一种思考方法：每位男宾握手后都离开。第一个男宾和18个人握手，第二个男宾和17个人握手，第三个男宾和16个人握手，……，因此握手次数一共是18＋17＋16＋…＋9＝135次。第二种思考方法：男宾先和女宾握手，然后男宾和男宾握手。10个男宾都和9个女宾握手，共握手10×9＝90次。10个男宾相互握手10×9÷2＝45次。因此一共握手90＋45＝135次。第三种方法：每对夫妻完成握手后离开。第一对夫妻握手次数是18＋9＝27次，第二对夫妻握手次数是16＋8＝24次，第三对夫妻握手次数是14＋7＝21次，……，因此握手总次数是27＋24＋21＋…＋3＝135次。54.【题目】ABC三个小朋友互相传球，先从A开始发球〔作为第一次传球〕，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到了A手中，那么不同的传球方式共有多少种？【解答】第一次传球传给B，有五种方式可以传回A如下：A→B→A→B→C→A；A→B→A→C→B→A；A→B→C→A→B→A；A→B→C→A→C→A；A→B→C→B→C→A。同理，A第一次传给C也有5种不同方式。所以不同的传球方式共有5×2＝10种。55.【题目】爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶，假设只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？【解答】相当于以一个人为根底，其他三人进行排列。因此共有3×2×1＝6种不同的入座方法。56.【题目】某人射击8枪，命中4枪，命中4枪中恰好有3枪连在一起的情况的种数是多少？【解答】分两种情况进行分析第一，连三在两端。这样去掉4个位置，另外有4个位置可以任选1枪。那么有4×2＝8种第二，连三的在中间。这样需要去掉5个位置，另外有3个位置可以任选1枪。那么有3×4＝12种因此一共有12＋8＝20种不同的情况。57.……，从第12个数字起，首次出现3个连排的1，那么从第几个数字起将首次出现5个连排的2。【解答】在222和223之间第一次出现5个2连续出现的。1～221共有1×9＋2×90＋3×122＝555个数码，所以从第556个数码起，将首次出现5个连排的2。58.【题目】：如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC的中点，F是DE的中点。求△DFG的和四边形AEFG的面积的比是多少？【解答】连接CD和AF，那么有△CDF、△CEF、△ADF和△AEF面积都相等，可以得出△ACF的面积是△CDF的2倍，进一步得出△AFG的面积是△DFG的2倍，把△DFG的面积看作1份，那么△AFG的面积就是2份，△AEF的面积就是3份。所以阴影局部△DFG和四边形AEFG面积的比是1：〔2＋3〕＝1：559.【题目】在直角梯形ABCD中，AB=15厘米，AD=12厘米，阴影局部的面积为15平方厘米。梯形ABCD的面积是多少平方厘米？【解答】连接AE，有△AEF和△BCF面积相等，可得EF＝15×2÷15＝2厘米。△BCF的面积是△BCE的1－2/12＝5/6，那么△BCE的面积是15÷5/6＝18cm²。梯形面积就是15×12＋18＝198cm²。60.【题目】美术馆的门票是10元一张，每人限购一张。在刚开始售票的某个时间段里，有10位参观者先后前来购票，可是其中有5位参观者身上只带了10元面值的钞票，另外5人身上只带了20元的钞票，而粗心的营业员偏偏任何零钱都没准备。幸运的是他每次总能找得开零钱。售票员总能找得开零钱的情况共有多少种？【解答】利用标注法可以知道共有42种情况。61.月儿对你说：米老鼠和唐老鸭比赛，按原来的速度，他们同时出发后，米老鼠比唐老鸭早到终点1分钟，在比赛前，米老鼠喝兴奋剂使自己的速度提高20％，唐老鸭穿上魔力鞋使自己的速度提高了25％，比赛中魔力鞋发生故障原地修理了2分钟，最后结果是唐老鸭比米老鼠早到1分钟，求唐老鸭跑完全程实际一共用了多少分钟？【分析】唐老鸭后来实际行的时间看作单位1，那么米老鼠实际行的时间1多3分钟。唐老鸭原来的时间比后来多25％，米老鼠比后来的时间多20％还多3×〔1＋20％〕＝3.6分钟。因为原来唐老鸭用的时间比米老鼠多1分钟，那么唐老鸭后来时间的25％－20％＝5％的时间是3.6＋1＝4.6分钟，所以唐老鸭实际行的时间是4.6÷5％＝92分钟，实际用了92＋2＝94分钟。【解答】唐老鸭后来行的时间：【〔1＋2〕×〔1＋20％〕＋1〕】÷〔25％－20％〕＝92分钟，实际用的时间：92＋2＝94分钟。62.【题目】甲乙两车分别从A、B两地同时开出，相对而行，4小时后甲车行了全程的1/4，乙车行的路程比全程的12.5%少60千米，甲乙两车继续行驶735千米相遇。求AB两地相距多少千米？【解答】乙车再行60千米，就行了全程的12.5％，那么剩下的路程就是735－60＝675千米。剩下的路程占全程的1－1/4－12.5％＝5/8，那么两地之间相距675÷5/8＝1080千米。63.【题目】B处的兔子和A处的狗相距56米。兔子从B处逃跑，狗同时从A处跳出追兔子，狗一跳2米，狗跳3次的时间和兔子跳4次的时间相同。兔子跳出112米后被狗追上，问兔子一跳多少米？【解答】狗和兔子的速度比是〔112＋56〕：112＝3：2，狗跳3次跳了2×3＝6米，兔子就跳6×2/3＝4米，所以兔子每跳一次4÷4＝1米64.【题目】甲乙丙三个车站在同一条公路上，乙站在中间，且他们之间路程相等，A，B两人分别从甲丙两站相向而行，A在超过乙站150米处和B相遇，然后两人继续前行，A在到丙站后，立即返回，在经过乙站450米处，追上了B。求甲丙两站的距离。【解答】追上时A行的路程是相遇时行的3倍，B被追上时行的也是相遇时的3倍，甲丙两站的距离是〔450＋150×3〕÷〔1/2×3－1/2〕＝900米。【思考二】因为追上时，A行的路程是相遇时的3倍，那么两人共行了3个单程，又因为第二次迎面相遇时，两人共行的路程也是3个单程，说明第二次迎面相遇的地方和追上的地方相同，即在甲地。因此甲乙两地相距就是450米，那么可知道甲丙两地相距450×2＝900米。65.【题目】甲、乙二人同时从A、B两地相向而行，两人相遇的地点距离A地180千米。第二天，甲、乙二人又同时从A、B两地相向而行，甲把自己的速度提高到原来4倍，乙的速度不变，两人相遇的地点恰好又距离B地180千米，第三天，甲、乙二人还是同时从A，B两地相向而行，甲的速度与第一天速度相同，乙把自己的速度提高到原来的4倍，那么这次他们相遇的地点与A、B两地中点之间的距离是多少千米？【解答】根据条件可以知道，乙原来的速度是甲第一天和第二天速度的比例中项。可以知道甲乙原速的比是1：2，全程那么是180×〔2＋1〕＝540千米。第三天的速度比就是1：8，相遇点距离中点是〔1/2－1/9〕×540＝210千米。66.【题目】客货两车从甲乙两地同时相向而行分别到达两地立即反回，第二次相遇时，客车距乙地48千米。客货两车速度比为5：4，甲乙两地相距多少千米？【解答】第二次相遇，两人合行3个单程，客车行了5/9×3＝5/3个单程，第二次相遇点与乙地的距离占单程的5/3－1＝2/3所以甲乙两地相距48÷2/3＝72千米。67.【题目】甲乙两车同时从A、B两地相向而行，途中相遇，相遇时距A地90千米。相遇后两车继续以原速前进，到达目的地后立即返回，在途中第二次相遇。这时相遇点距A地50千米。从第一次相遇到第二次相遇的时间是4小时，求甲乙两车的速度？【解答】乙车每小时行〔90＋50〕÷4＝35千米甲车每小时行90÷〔4÷2〕＝45千米。68.【题目】小明家和小华家在一条之路上，两人从家中同时出发相向而行，在离小明家500米处第一次相遇，相遇后两人保持原速继续前进，到达对方家后立即返回，在离小华家600米处第二次相遇，求两家的距离是多少米？【解答】这是一个根底的屡次相遇的问题。第一次相遇共行1个单程，小明行500米，第二次相遇共行3个单程，小明行了500×3＝1500米，比一个单程多行了600米，那么一个单程是1500－600＝900米。69.【题目】甲乙两人同时从A地出发，背向而行，分别前往B、C两地，甲乙两人每小时共行96千米，两人恰好同时分别到达B、C。乙立即用原速度返回，当乙行2/3小时后，甲在B地得到通知，要求立即返回并且要与乙同时到达A地，甲返回时把原速度提高了20%，这样两人同时到达A地，问B、C两地之间的路程。【解答】把原来的相遇时间看作单位1，提速后可节省的时间占20％÷〔1＋20％〕＝1/6，那么相遇时间是2/3÷1/6＝4小时，可得出B、C两地之间的路程是96×4＝384千米。70.【题目】甲乙二人同时从A地到B地。甲每小时走的路程比乙走的3倍还多1千米。甲到达B地后，停留45分钟，然后从B地返回，在途中遇乙。这时距他们出发的时间恰好过了3小时。如果A、B两地相距25.5千米。求甲乙二人的速度。【解答】甲行的3－45/60＝9/4小时比乙行的9/4×3＝27/4小时还多9/4千米。乙每小时行〔25.5×2－9/4〕÷〔27/4＋3〕＝5千米，甲每小时行5×3＋1＝16千米。71.【题目】如上左图所示，科学家“爱因斯坦〞的英文名拼写为“Einstein〞，按图中箭头所示方向有多少种不同的方法拼出英文单词“Einstein〞。【解答】由“E→i→n→s→t→e→i→n〞的拼法如上右图所示。根据加法原理可得不同的拼法共有：30＋30＝60种。72.【题目】如左图，为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C走到D的不同的最短的路径有多少条？【解答】如右图，到各点的走法数如图所标示。所以最短路径有18条。73.【题目】从北京出发有到达东京、莫斯科、巴黎、纽约和悉尼的航线，其他城市间的航线如左图所示〔虚线表示在地球反面的航线〕，那么从北京出发沿航线到达其他所有城市各一次的所有不同路线数为多少条？【解答】先例举一种大的分类，然后再进行统计。第一站到东京的路线有10条，如右图。同理，第一站到悉尼、巴黎、莫斯科的路线各有10条。不同的路线共有40条。74.【题目】华杯赛口试，每个代表队要从小学、初一、初二年级各两名选手中选派3人。规定小学生至少1人，初二学生最多派1名。问一个口试队按年级组成方式有多少种？【解答】由所派3名选手中，“初二学生最多派1人〞，初二学生可派1人或0人。“小学生至少出1人〞，小学生可出1人或2人。派人方案可利用树型图表示，如下列图所示，所以一个口试队按年级的组成方式有4种。75.【题目】如图1所示，用水平线或竖直线连接相邻汉字，沿着这些线读下去，正好可以读成“祖国明天更美好〞，那么可读成“祖国明天更美好〞的路线有多少条？【解答】如图2所示。利用加法原理，将读到各个字的路线数写在每个字下方，共有不同的路线2^7－1＝127条。76.【题目】用两个1，一个2，一个3可以组成种种不同的四位数，这些四位数一共有多少个？【解答】可以用枚举法把这些数从小到大一个一个的写出来。1123，1132，1213，1231，1312，1321；2113，2131，2311，3112，3121，3211。一共个组成12个不同的四位数。【附录】当然也可这样计算：从四个位置里面选两个位置写2和3，然后这两个位置的2和3可以交换。那么是C〔4，2〕×2＝12个不同的四位数。77.【题目】有一楼梯共10级，规定每次只能跨上2级或3级，要登上第10级，共有多少种不同的走法？【解答】与大家共享几种常见方法。解法一：枚举法①5个2：2＋2＋2＋2＋2②2个3，2个2：2＋2＋3＋3；2＋3＋2＋3；2＋3＋3＋2；3＋2＋2＋3；3＋2＋3＋2；3＋3＋2＋2。所以，共有7种走法。解法二：计算法①5个2，一种情况。②2个3，2个2。从4个位置里面选2个位置填3，那么C〔4，2〕＝6，所以共有1＋6＝7种走法。解法三：标注法0，1，1，1，2，2，3，4，5，7。上10级台阶共有7种走法。78.【题目】从1，3，5，7，9中去出三个数字组成没有重复数字的三位数，在这些三位数中两两相减〔大减小〕，其差为198的两个三位数称为“一对〞，那么共有多少对？【解答】根据题意，每对数，个位相差2，十位相同，百位相差2。第一类：形如1□3和3□1，百位和个位交换的情况。当3□1－1□3时，□可以填5，7，9三种情况分成4类，3□1－1□3，5□3－3□5，7□5－5□7，9□7－7□9，所以有3×4＝12种。第二类：形如1□9和3□7，百位和个位的其他情况。那么有357－159，395－197，517－319，791－593，913－715，951－753。所以共有12＋6＝18种。79.【题目】在自然数中，恰好有4个约数的两位数共有多少个？【解答】有四个约数的数有两种情况：设a、b是质数，一种情况是a×b，另外一种情况是a×a×a。那么分类计数就行了。第一种情况：a×b2和〔5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47〕相乘有13个3和〔5，7，11，13，17，19，23，29，31〕相乘有9个5和〔7，11，13，17，19〕相乘有57和〔11，13〕相乘有2个第二种情况是a×a×a有3×3×3一种。因此共有1＋2＋5＋9＋13＝30个。80.牛吃草问题〔一〕常规解法【专题简析】

牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。“一堆草可供10头牛吃3天，供6头牛吃几天？〞这题很简单，用3×10÷6=5〔天〕，如果把“一堆草〞换成“一片正在生长的草地〞，问题就不那么简单了。因为草每天走在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定〔均匀变化〕的问题就是“牛吃草〞问题。

解答这类题的关键是要想方法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。★房间播送★【例1】一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么这片草地可供25头牛吃几天？[【培优】风采(34257032)发布]

【解答】5天

头数

时间

总草量

10头

20天

原有草＋20天生长草

15头

10天

原有草＋10天生长草

25头

？天

原有草＋？天生长草

【讲解】怎样解答这类问题呢？关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为1份，由条件可知，前后两次青草的总量相差为10×20－15×10＝50份，为什么会多出这50份呢？这是第二次比第一次少的那20－10＝10天生长出来的，所以每天生长的青草为50÷10＝5份，从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足5头牛吃。由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的5头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上原来有多少份的青草呢？〔10－5〕×20＝100份，把25头牛分两组，5头去吃生长的草，其余的20头去吃原有的草，那么可吃100÷20＝5天★房间播送★【练习1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10天，那么可供19头牛吃几天？[【培优】风采(34257032)发布]

【解答】12天

头数

时间

总草量

24头

6天

原有草＋6天生长草

20头

10天

原有草＋10天生长草

19头

？天

原有草＋？天生长草

【讲解】设1头牛1天吃的草为1份，由条件可知，前后两次青草的总量相差为10×20－24×6＝56份，这是第二次比第一次多的那10－6＝4天生长出来的，所以每天生长的青草为56÷4＝14份。从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足14头牛吃。由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的14头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？〔24－14〕×6＝60份，把19头牛分两组，14头去吃生长的草，其余的5头去吃原有的草，那么可吃60÷5＝12天★房间播送★【例2】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？[【培优】风采(34257032)发布]

【解答】5头

头数

时间

总草量

20头

5天

原有草－5天减少的

15头

6天

原有草－6天减少的

？头

10天

原有草－10天减少的

【讲解】设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃草20×5＝100份，15头牛6天吃草15×6＝90份。青草每天减少〔100－90〕÷〔6－5〕=10份，牛吃草前牧场有草100＋10×5=150份，150份草吃10天本可供150÷10=15头，但因每天减少10份草相当于10头牛吃掉，所以只能供牛15－10=5头★房间播送★【练习2】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天或可供16头牛吃6天。那么可供多少头牛吃8天？[【培优】风采(34257032)发布]

【解答】11头

头数

时间

总草量

20头

5天

原有草－5天减少的

16头

6天

原有草－6天减少的

？头

8天

原有草－8天减少的

【讲解】设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃草20×5＝100份，16头牛6天吃草16×6＝96份。青草每天减少〔100－96〕÷〔6－5〕=4份，牛吃草前牧场有草100＋4×5=120份，8天后，牛实际上只能吃到120－8×4＝88份，所以只能供牛88÷8=11头吃。★房间播送★【例3】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问该扶梯共有多少级台阶？[【培优】风采(34257032)发布]

【解答】150级

速度

时间

级数

20级

5分钟总级数－5分钟扶梯的

15级

6分钟总级数－6分钟扶梯的

【讲解】与前两个题比拟，“总的草量〞变成了“扶梯的台阶总数〞，“草〞变成了“台阶〞，“牛〞变成了“速度〞，也可以看成是牛吃草问题。

上楼的速度可以分为两局部：一局部是男、女孩自己的速度，另一局部是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5=100级，女孩6分钟走了15×6=90级，女孩比男孩少走了100—90=10级，多用了6—5=1分钟，说明电梯1分钟走10级。因男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和。所以扶梯共有〔20+10〕×5=150级。★房间播送★【练习3】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，小明和小红从扶梯上楼。小明每分钟走25级台阶，小红每分钟走20级台阶，结果小明用5分钟，小红用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？[【培优】风采(34257032)发布]

【解答】150级

速度

时间

级数

25级

5分钟总级数－5分钟扶梯的

20级

6分钟总级数－6分钟扶梯的

【讲解】上楼的速度可以分为两局部：一局部是小明、小红自己的速度，另一局部是自动扶梯的速度。小明5分钟走了25×5=125级，小红6分钟走了20×6=120级，女孩比男孩少走了125—120=5级，多用了6—5=1分钟，说明电梯1分钟走5级。因男孩5分钟到达楼上，扶梯行了5×5＝25级。所以扶梯共有125＋25=150级。★房间播送★【例4】一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想2小时舀完，需要多少人？[【培优】风采(34257032)发布]

【解答】17人

人数

时间

总水量

12人

3小时

原有水量＋3小时漏入的

5人

10小时

原有水量＋10小时漏入的

？人

2小时

原有水量＋2小时漏入的

【讲解】设每人每小时能舀1份的水，12人3小时舀水12×3＝36份，5人10小时舀水5×10＝50份。10小时比3小时多舀的50－36＝14份水，就是10－3＝7小时漏入船里的，因此每小时漏入14÷7＝2份水。原来船里有36－2×3＝30份水。现在要想2小时舀完，那么还要漏入2×2＝4份水，那么2小时共要舀30＋4＝34份水，需要34÷2＝17人来舀。★房间播送★【练习4】有一水井，连续不段涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用3台抽水机来抽水，36分钟可以抽完；如果使用5台抽水机，20分钟抽完。现在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少台？[【培优】风采(34257032)发布]

【解答】8台

台数时间

总水量

3台

36分钟

原有水量＋36分钟涌出的

5台

20分钟

原有水量＋20分钟涌出的

？台12分钟

原有水量＋12分钟涌出的

【讲解】设每台每分钟能抽1份的水，3台36分钟抽水3×36＝108份，5台20分钟抽水5×20＝100份。36分钟比20分钟多抽的108－100＝8份水，就是36－20＝16分钟涌入井里的，因此每分钟涌入8÷16＝0.5份泉水。原来船里有108－0.5×36＝90份水。现在要想12分钟内抽完，那么还要涌入0.5×12＝6份水，那么12分钟共要抽90＋6＝96份水，需要96÷12＝8台来抽。★房间播送★【例5】有三块草地，面积分别为2公顷，4公顷，8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供12头牛吃8天，第二块草地可供20头牛吃10天。问第三块草地可供多少头牛吃5天？[【培优】风采(34257032)发布]

【解答】72头。变成同样大小的草地来计算，那么原题就变成了：有一块草地上的草一样厚，而且长得一样快。可供48头牛吃8天，第二块草地可供40头牛吃10天。问可供多少头牛吃5天？那么可根据刚刚的方法进行解答了。40×10＝400份，48×8＝384份，每天长〔400－384〕÷〔10－8〕＝8份，原有草400－10×8＝320份，5天吃完共吃320＋5×8＝360份，那么需要360÷5＝72头牛。★房间播送★【练习5】一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃24天。现有一群牛吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完。这群牛原来有多少头？[【培优】风采(34257032)发布]

【解答】40头。设每头牛每天吃1份的草。17×30＝510份，19×24＝456份，每天长〔510－456〕÷〔30－24〕＝9份，原有草510－9×30＝240份，8天共吃了240＋9×8＝312份，如果不卖掉，可以多吃2×4＝8份的草，原有的牛就可以吃8天可以吃312＋8＝320份，所以原有320÷8＝40头81.【题目】一个自然数a去除2023商是8，余数是r，求满足条件的a有多少个。【解答】因为2023÷a＝8……r，且a＞r，有8a＋r＝2023，8a＜2023＜9a，那么2023÷9＜a＜2023÷8，所以223＜a≤251，满足条件的a有251－223＝28个。82.【题目】11个人围坐圆桌旁做传花游戏。坐定后按顺时针方向，每人分别标上1，2，3，…，10，11号码，传花前1号手中的花比2号多手中的花多1朵，2号手中的花比3号手中的花多1朵……10号手中的花比11号手中的花多1朵，且此时11号手中的花有4朵。传花的规那么：开始时，1号传给2号1朵后，2号传给3号2朵，然后3号传给4号3朵……然后10号传给11号10朵，然后11号传给1号11朵，然后1号再传给2号12朵，然后2号再传给3号13朵……这样继续下去。到了某一时刻，11号如果再传给1号后，手中便没有花了。那这时11号手中有多少朵花。【解答】根据传花的规那么可知，每人每接传一次花，这个人手中的花就比这次接花前少1朵。由于原来11号手中有4朵花，因此至11号手中无花时，11号共接传花4次。如果11号最后一次不传给1号，那么每个人都少了4朵花，11个人就一共少了11×4＝44朵花，这44朵花也就是此时11号手中有的花。83.【题目】从54至199的整数中，各位数字互不相同的数有多少个？【解答】分段进行思考。从54至99的整数中，各位数字互不相同的数有46个数，其中有55、66、77、88、99的数字是相同的，那么有46－5＝41个。从100～199的整数中，十位有9种情况，个位就对应8种情况了。那么共有9×8＝72种情况了。所以一共有41＋72＝113个数。84.【题目】有八张卡片，上面分别写着自然数1～8，从中取出3张，要使这三张卡片上的数字之