2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性课后习题第二章第二章综合训练

第二章综合训练一、选择题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l过点(2,1),且在y轴上的截距为3,则直线l的方程为()A.2x+y+3=0 B.2x+y3=0C.x2y4=0 D.x2y+6=02.已知直线l1:xcos2α+3y+2=0,若l1⊥l2,则l2倾斜角的取值范围是()A.π3,π2 B.0,πC.π3,π2 D.π3.(2021江西南昌检测)已知圆A:x2+y2=1,圆B:(x2)2+y2=r2(r>0),圆A与圆B的公切线的条数的可能取值共有()A.2种 B.3种 C.4种 D.5种4.光线自点M(2,3)射到N(1,0)后被x轴反射,则反射光线所在的直线方程为()A.y=3x3 B.y=3x+3C.y=3x3 D.y=3x+35.(2021山东济南质检)在一个平面上,机器人到与点C(3,3)的距离为8的地方绕C点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A(10,0)与B(0,10)的直线的最近距离为()A.828 B.82+8C.82 D.1226.若直线ax+by+2=0(a>0,b>0)截得圆(x+2)2+(y+1)2=1的弦长为2,则1a+2bA.4 B.6 C.8 D.107.过原点O作直线l:(2m+n)x+(mn)y2m+2n=0的垂线,垂足为P,则P到直线xy+3=0的距离的最大值为()A.2+1 B.2+2 C.22+1 D.22+28.(2021陕西西安期末)平面直角坐标系中,设A(0.98,0.56),B(1.02,2.56),点M在单位圆上,则使得△MAB为直角三角形的点M的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.已知A(1,2),B(3,4),C(2,0),则()A.直线xy=0与线段AB有公共点B.直线AB的倾斜角大于135°C.△ABC的边BC上的中垂线所在直线的方程为y=2D.△ABC的边BC上的高所在直线的方程为x4y+7=010.(2021山东枣庄期中)已知圆C1:x2+y2=r2与圆C2:(xa)2+(yb)2=r2(r>0)交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),下列结论正确的有()A.a(x1x2)+b(y1y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2b11.若P是圆C:(x+3)2+(y3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx1距离的值可以为()A.4 B.6 C.32+1 D.812.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC,点B(2,4),点C(5,3),且其“欧拉线”与圆M:(x5)2+y2=r2相切,则下列结论正确的是()A.圆M上点到直线xy+3=0的最大距离为42B.若点(x,y)在圆M上,则yx-1C.若点(x,y)在圆M上,则x+y的最小值是1D.圆(xa1)2+(ya)2=2与圆M有公共点,则a的取值范围是[25,2+5]三、填空题.13.经过点P(1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是.

14.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),且A,B,C三点共线,当k<0时,以k为斜率,且过点(2,1)的直线方程为.

15.已知直线l:mx+(1m)y1=0(m∈R)与圆O:x2+y2=8交于A,B两点,C,D分别为OA,AB的中点,则|AB|·|CD|的最小值为.

16.已知点O(0,0),A(4,0),B(0,4).若从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(2,0),则反射光线所在直线的方程为;若从点M(m,0),m∈(0,4)射出的光线经直线AB反射,再经直线OB反射后回到点M,则光线所经过的路程是(结果用m表示).

四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(2021湖南湘潭检测)求满足下列条件的直线的方程.(1)直线过点(1,2),且与直线x+y2=0平行;(2)直线过(0,1)点且与直线3x+y+1=0垂直.18.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(0,5),C(10,0),线段AC的垂直平分线为l.(1)求直线l的方程;(2)点P在直线l上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P的坐标.19.已知直线l:axy3a+1=0恒过定点P,过点P引圆C:(x1)2+y2=4的两条切线,设切点分别为A,B.(1)求直线AB的一般式方程;(2)求四边形PACB的外接圆的标准方程.20.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y26x+m=0.(1)若圆C1与圆C2外切,求实数m的值;(2)在(1)的条件下,若直线l与圆C2的相交弦长为23且过点(2,1),求直线l的方程.21.(2021四川绵阳期中)在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,已知圆C的圆心坐标为2t,1t,其中t∈R且t≠0,x轴、y轴被圆C截得的弦分别为OA,OB.(1)求证:△OAB的面积为定值,并求出这个定值;(2)设直线2x+y4=0与圆C交于M,N两点,若|OM|=|ON|,求圆C的标准方程.22.在平面直角坐标系xOy中有曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).图1图2(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;(2)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求△OAB面积的最大值,并求出对应B点的坐标;(3)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.第二章综合训练1.B由题意,直线过(2,1),(0,3),故直线的斜率k=3+10-故直线的方程为y=2x+3,即2x+y3=0.2.C因为l1:xcos2α+3y+2=0的斜率k1=cos2α3∈3当cosα=0,即k1=0时,k不存在,此时倾斜角为π2由l1⊥l2,k1≠0时,可知直线l2的斜率k=1k此时倾斜角的取值范围为π3,π综上可得l2倾斜角的取值范围为π3,π故选C.3.D根据圆A与圆B的方程可知圆A的圆心为(0,0),半径rA=1,圆B的圆心为(2,0),半径rB=r(r>0),所以rA+rB=1+r,|rArB|=|1r|,两圆心的距离为2,①若两圆外离,则有2>1+r,即0<r<1,此时圆A与圆B公切线的条数为4;②若两圆外切,则有2=1+r,即r=1,此时圆A与圆B公切线的条数为3;③若两圆相交,则有1+r>2且|1r|<2,即1<r<3,此时圆A与圆B公切线的条数为2;④若两圆内切,则有|1r|=2,即r=3,此时圆A与圆B公切线的条数为1;⑤若两圆内含,则有|1r|>2,即r>3,此时圆A与圆B公切线的条数为0.即圆A与圆B的公切线的条数的可能取值有5种.故选D.4.B如图所示,点M关于x轴的对称点M'的坐标为(2,3).∴反射光线所在的直线方程为y0=-3-0化为y=3x+3,故选B.5.A机器人到与点C(3,3)距离为8的地方绕C点顺时针而行,在行进过程中保持与点C的距离不变,∴机器人的运行轨迹方程为(x3)2+(y+3)2=64,如图所示,∵A(10,0)与B(0,10),∴直线AB的方程为x-10+y10=1,即为则圆心C到直线AB的距离为d=|3+3+10|1+1=82>8,∴最近距离为828.6.A由题意圆心坐标为(2,1),半径r=1,所以圆心到直线的距离为d=|-2所以弦长2=21-(|-2a-b+2|所以1a+2b=1a+2b·12·(2a+b)=122+2+ba+4a所以最小值为4,故选A.7.A(2m+n)x+(mn)y2m+2n=0整理得(2x+y2)m+(xy+2)n=0,由题意得2x+y-2=0,x-因为OP⊥l,所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆,圆心为(0,1),半径为1,因为圆心(0,1)到直线xy+3=0的距离为d=22=2,所以P到直线xy+3=0的距离的最大值为2故选A.8.D根据题意,如图,若△MAB为直角三角形,分3种情况讨论:①∠MAB=90°,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,又由A(0.98,0.56),B(1.02,2.56),则kAB=2.56则kl1=1,直线l1的方程为y0.56=(x+0.98),即x+y+0.42此时原点O到直线l1的距离d=|0.42|2=0直线l1与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M.②∠MBA=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上,设该直线为l2,同理可得:直线l2的方程为y2.56=(x1.02),即x+y3.58=0,此时原点O到直线l2的距离d=|3.58|2=1直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M.③∠AMB=90°,此时点M在以AB为直径的圆上,又由A(0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),|AB|=4+4=22,则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=2此时|OC|=(0则有21<|OC|<2+1,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M,综上可得:有4个符合条件的点M.故选D.9.BD由于点A(1,2),B(3,4)均在直线xy=0的同侧,则直线xy=0与线段AB没有公共点,故A错误;由于直线AB的斜率k=4-2-3-1=12>1,故直线AB的倾斜角大于由于直线BC的斜率为4-0-3+2=4,则边BC上的中垂线的斜率为14,BC的中点为52,2,故中垂线所在直线的方程为y2=14x+52,由于边BC上的高线的斜率为14,则其方程为y2=14(x1),即x4y+7=0,故D10.ABC两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b22ax2by=0,即2ax+2by=a2+b2,分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,故B正确;两式相减得2a(x1x2)+2b(y1y2)=0,即a(x1x2)+b(y1y2)=0,故A正确;由圆的性质可知:线段AB与线段C1C2互相平分,∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.故选ABC.11.ABC直线y=kx1恒过定点A(0,1),当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(3,3),所以距离为(-3)2+当直线与圆有交点时距离最小为0,所以点P到直线y=kx1距离的范围为[0,6].故选ABC.12.BCD对于A,设BC的中点为D,AB=AC,所以AD⊥BC.因为kBC=4+3-2-5=1,所以且xD=-2+52=32,yD=4-3由题意可得欧拉线为直线AD,则直线AD的方程为y12=x32,即xy1因为圆M:(x5)2+y2=r2的圆心坐标(5,0),半径r,由欧拉线与圆M相切,所以r=|5-0-所以圆心到直线xy+3=0的距离d=|5-0+3|1+1=42,所以圆上点到直线的距离最大值为r+d=22+42=62对于B,yx-1=y-0x-1设M的切线方程为y=k(x1),则点(5,0)到该直线的距离|5k-0-k|1+k2=22,解得k=±对于C,设M(5+22cosθ,22sinθ),所以x+y=5+22cosθ+22sinθ=5+4sinθ+π4∈[1,9],所以C正确;对于D,圆(xa1)2+(ya)2=2的圆心(a+1,a),半径为r'=2,要使该圆与圆M有公共点,则有两圆内切,相交,外切三种情况,则圆心距范围[|rr'|,r+r']=[2,32],而圆心距(a所以2≤(a+1解得a∈[25,2+5],所以D正确,故选BCD.13.y=4x或y=x+3根据题意,分2种情况讨论:①直线经过原点,则直线l的方程为y=4x;②直线不经过原点,设直线方程为xy=a,把点P(1,4)代入可得14=a,解得a=3,即直线的方程为y=x+3;综合可得:直线的方程为y=4x或y=x+3.14.2x+y3=0由题意可得AB=(4k,7),BC=(6,k5),由于AB和BC故有(4k)(k5)+42=0,解得k=11或k=2.∵当k<0时,k为直线的斜率,∴过点(2,1)的直线方程为y+1=2(x2),即2x+y3=0.15.43直线l的方程可化为m(xy)+y1=0,由x-y=0,y-1=0,得∵C,D分别为OA,OB的中点,∴|CD|=12|OB|=2,当OP⊥AB时,|AB|最小,此时|AB|=2(22)∴|AB|·|CD|=2|AB|≥2·26=43.16.x2y+2=02m2+32根据题意,设点P1(a,b)与点P(1,0)关于直线AB对称,则P又由A(4,0),B(0,4),则直线AB的方程为x+y=4,则有ba-1=1,a反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12,则其方程为y0=12设点M1(a0,b0)与点M关于直线AB对称,点M2与M关于y轴对称,易得M2(m,0);线段M1M2的长度就是光线所经过的路程,则有b0a即M1(4,4m),又由M2(m,0),则|M1M2|=(4+17.解(1)设所求直线的方程为x+y+m=0,∵点(1,2)在直线上,∴1+2+m=0,∴m=1,故所求直线的方程为x+y1=0.(2)设所求直线的方程为x3y+m=0.∵点(0,1)在直线x3y+m=0上,∴03+m=0,解得m=3.故所求直线的方程为x3y+3=0.18.解(1)直线AC的斜率为kAC=4-02-10=12,所以直线直线AC的中点为(6,2),所以直线l的方程为y2=2(x6),即2xy10=0.(2)由(1)得点A关于直线l的对称点为点C,所以直线BC与直线l的交点即为使|AP|+|BP|最小的点.由B(0,5),C(10,0)得直线BC的方程为x10+y-5=1,即x联立方程x-2所以点P的坐标为103,103.19.解(1)∵直线l:y1=a(x3),∴直线l恒过定点P(3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A(3,0).由圆的性质可知AB⊥PC,∵kPC=1-∴kAB=2,所以直线AB的方程为y=2(x3),即2x+y6=0.(2)由题意知|PC|=(3∵PA⊥AC,PB⊥BC,所以四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆,PC的中点坐标为2,12,所以四边形PACB的外接圆为(x2)2+y122=54.20.解(1)圆C1:x2+y2=1,则C1(0,0),r1=1,由圆C2:x2+y26x+m=0,得(x3)2+y2=9m,则C2(3,0),r2=9-m,∵圆C1与圆C2外切,∴|C1C2|=r1+r2,∴3=1+9-m,(2)由(1)得m=5,圆C2的方程为(x3)2+y2=4,则C2(3,0),r2=2,由题意可得圆心C2到直线l的距离d=1,当直