经济数学（第三版） 教案 8. 最大利润问题

长沙民政职业技术学院教案长沙民政职业技术学院教案经济数学课题最大利润问题及解决方案授课课时2课型新授课教案编号4-1教学目标（知识、技能、素质）：1、知识目标：掌握最大利润和最小平均成本的计算方法，掌握极值问题典型案例的解决方法2、技能目标：分析解决问题的能力和严谨的逻辑思维能力3、素质目标：培养学生理性的思维方式和数学应用意识教学重点：最大利润和最小平均成本的解决方案，优化问题的计算教学难点：实际问题中，如何求经济函数的最值优化问题主要教学方法：启发引导式、讲授法教学环节与内容一、问题引入引例：某超市购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获取更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，但最高价格不能超过每件32元。假定每月销售件数(件)是价格(元/件)的一次函数。(1)试求与之间的函数关系式； (2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，销售价格为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？问题分析：(1)设，则由题意，当时,；时，。故,解得则。设每月所得总利润为元，因为总利润=总收入－总成本，则，显然，当时，有最大值。即销售价格为24元/件时，可使每月所获利润最大，每月的最大利润为1920元。在这个问题中，我们注意到，时的边际利润为0。那么边际利润等于0的时候，是不是保证一定可达到最大利润呢？我们先把这个悬念留到后面。二、新课讲授1利润最大问题概念：最大利润或最小成本问题设某产品的总成本函数为，总收益函数为，则总利润函数可表示为。我们知道，如果的导数存在，则要使利润最大，必须使产量Q满足条件，即(1)(1)式表明产出的边际收益等于边际成本，在经济学中称为“最大利润原则”或“亏损最小原则”。当然，满足的产量并不能保证使利润最大，这时，我们的判断办法一般有两种。第一种，如果在左侧附近的值大于0、在右侧附近的值小于0，那么可以判定为利润最大值点。第二种，如果使的只有一个，而根据问题的实际意义，利润最大值点又肯定存在，那么，当产量为时，利润取得最大值。例1设每日生产某产品的总成本函数为 ,产品单价为60元，问每日产量为多少时可获最大利润?解决方案总收益R(Q)=PQ=60Q,总利润,,令,得唯一驻点(导数等于0的点)＝200。根据问题的实际意义，总利润最大的点一定存在，所以，当日产量为=200单位时可获最大利润，最大利润为(元)。练习：假设某产品的产量（Q）仅取决于劳动力（l），劳动力与产量的关系为，并假设每单位劳动力需要支付工资为10美元，每单位产品可以卖50美元，那么使利润最大化的劳动力是多少？最大利润是多少？2.平均成本最小问题 按照经济学的解释，总成本由固定成本和可变成本两部分构成，且可变成本随产量的增加而增加，因此总成本一般来说没有最小值(除非不生产)，在经济学上有意义的是单位成本(即平均成本)最小的问题，假设某种产品的总成本为C(Q)，则生产的平均成本为，如果平均成本函数可导，则要使最小，就必须使产量Q满足条件，即(2)(2)式表明产出的边际成本等于平均成本，这是微观经济学中的一个重要结论．例2设某产品的总成本函数为C(Q)=54+18Q+6，试求平均成本最小时的产量。解决方案方法一：因为，＝+18+6Q，令，得Q=3(Q＝－３舍去)，所以当产量Q=3时可使平均成本最小．方法二：因为 得Q=3(Q＝－３舍去)，所以当产量Q=3时可使平均成本最小．方法三：因为得Q=3(Q＝－３舍去)，所以当产量Q=3时可使平均成本最小．注：由实践经验可得，在实际问题中，如果我们确定所讨论的可导函数存在最大值或最小值，并且在的取值范围内只有一个导数为零的点，那么该点就是所求的最大值点或最小值点。案例1以价格优势抢占市场份额，平均成本最低天虹彩电为了在市场竞争中以价格优势抢占市场份额，在集团内实施“以平均成本最低为目标”的经营策略，根据以往的统计资料，生产总成本（单位：百万元）是月产量（单位：万台）的函数，问：月产量应为多少台，才能实现平均成本最低的目标？每台彩电的平均成本为多少元？解决方案本例以平均成本函数为目标函数，由总成本函数得平均成本函数为，令，得=9.798(只取正值)。当0＜＜9.798时，当＞9.798时,。故当产量为=9.798(万台)时，平均成本函数有极小值，其值为(百万元/万台)=1164（元/台）。案例2“薄利多销”以使收益最大爱心牌衬衣，若定价为每件50元，一周可售出1000件，市场调查显示，每件售价每降低2元，一周的销售量可增加100件，问每件售价定为多少元时，能使商家的销售额最大，最大销售额是多少？解决方案销售额最大，就是收益最大，所以目标函数是总收益函数。设因降价可多销售件衬衣，则销售的总件数为1000+。依题设，每件衬衣售价每降低2元，销售量可增加100件，现因降价多销售了件衬衣，故每件衬衣应降价元，从而，每件衬衣的售价P应为原售价减去每件衬衣应降低的价格，即，由上式，当P=0时，=2500，即因降价最多可多销售2500件。这时，总收益函数为售价与销售件数的乘积，即令，得=750当＜750时，＞750时，，故=750(件)时，销售额最大。此时，每件衬衣的售价为P=50－0.02×750=35(元/件)，最大销售额为R=35×(1000+750)=61250(元).案例3确定组团人数以使旅行社利润最大？某旅行社举办风景区旅行团，若每团人数不超过30人，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每张减少10元，直至每张机票降到450元为止。每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元，问每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？最大利润为多少？解决方案这是求利润最大值问题，依题意，对旅行社而言，机票收入是收益，付给航空公司包机费是成本。设表示每团人数，表示飞机票的价格，因，所以每团人数最多为30+45=75(人)，飞机票的价格旅行社的利润函数为因显然，当时，有=60当30＜＜60时，当60＜≤75时，.所以，当=60人时，利润函数取极大值，即