【高中数学】函数的单调性第1课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1函数的单调性（第1课时）

在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质．在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化．能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节课我们首先来讨论函数的单调性．复习引入⑴如果在区间I上，自变量增大函数值也增大，那么函数f(x)在区间I上是单调递增的；⑵如果函数f(x)的图象在区间I上是从左到右上升的，那么函数f(x)在区间I上是单调递增的；⑶如果任意x1，x2∈I，且x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，那么函数f(x)在区间I上是单调递增的；⑷如果任意x1，x2∈I，都有

，那么函数f(x)在区间I上是单调递增的；问题：我们已经学习过函数的单调性，你能从数、形、定义等不同的角度描述一下函数f(x)在区间I上是单调递增吗？

追问：如果函数f(x)的图象在区间I上是从左到右上升的，且x0∈I，那么我们说函数f(x)在x=x0处是单调递增的，这种说法对吗？函数的单调性不是函数在某个点处的性质，而是在一定范围内的性质．

思考：如果函数f(x)的图象在区间I上是从左到右上升的，并且处处有切线，那么这些切线有什么共同特征？所有切线也是从左到右上升的．

思考1:图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象.thaOb(1)thaOb(2)你能从这两个图形中发现函数的单调性与函数导数的正负有什么关系吗?观察图象可以发现:在(0,a)内，h(t)单调递增，相应地，v(t)=h'(t)>0；在(a,b)内，h(t)单调递减，相应地，v(t)=h‘(t)<0.学习新知思考2:我们看到，函数的单调性与导数的正负有内在联系.那么，我们能否由导数的正负来判断函数的单调性呢?追问1：对于高台跳水问题，是否有下列结论？

当t∈(0,a)时，h′(t)>0，函数h(t)在(0,a)内单调递增；

当t∈(a,b)时，h‘(t)<0，函数h(t)在(a,b)内单调递减.thaOb(1)thaOb(2)追问2：在高台跳水问题中，我们看到可以用函数导数的正负来判断函数的单调性，这种做法是否具有一般性呢?探究：观察下列函数图象，思考函数单调性与导数正负的关系.xyOxyOxyOxyO追问:能否从导数的几何意义的角度来探讨导数的正负与函数单调性的关系？xyO(x0,f(x0))(x1,f(x1))如图所示，导数f

'(x0)表示函数y=f

(x)的图象在点(x0,f

(x0))处的切线的斜率，可以发现:在x=x0处，f'(x0)>0，切线是“左下右上”的上升式，函数f(x)的图象也是上升的，函数f(x)在x=x0附近单调递增；在x=x1处，f'(x1)<0，切线是“左上右下”的下降式，函数f(x)的图象也是下降的，函数f(x)在x=x1附近单调递减.函数的单调性与导数的关系：一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:在某个区间(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.追问1:

如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性?函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.追问2:存在有限个点使得f'(x)=0,其余点都恒有f′(x)>0,则f(x)有什么特性?f(x)仍为增函数.例如:对于函数y=x3，y′=3x2.当x=0时，y′=0，当x>0时，y′>0，

而函数y=x3在R上单调递增.xyO解：（1）因为f(x)=x3+3x，其定义域为R.xyO(1)xyO(2)π-π注意定义域xyO(3)11能否归纳用导数判断函数单调性的基本步骤？归纳提升用解不等式法求单调区间的步骤

（1）确定函数f(x)的定义域；

（2）求导函数f´(x)；

（3）解不等式f´(x)＞0或f′(x)＜0，并写出解集；

（4）根据（3）的结果确定函数f(x)的单调区间．巩固练习例2.已知导函数的下列信息：试画出函数f(x)图象的大致形状.

解:

当1<x<4时,

可知f(x)在区间(1,4)内单调递增;

当x>4,或x<1时,

可知f(x)在区间(-∞,1)和(4,+∞)区间内单调递减;

综上,函数f(x)图象的大致形状如右图所示.xyO14当x=4,或x=1时,这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”.解：xyOabcxyOabc课本P87跟踪练习⑴利用单调性的定义可以发现，很难判断f(x)

单调性.分析：⑵利用平均变化率这一方法看似自然，心里却“没底”．⑶利用导数求解比较这三种方法，你有什么感受？思考:请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在区间（a,b）上单调的函数y=f(x)的平均变化率的几何意义与与

f

'(x)的正负的关系．函数

y=f(x)在给定区间

I

上，当x1、x2∈I，且x1＜x

2时（1）都有f(x1)＜f(x2)，则

f(x)在I

上是增函数；

（2）都有f(x1)＞

f(x2)，则f(x)在I

上是减函数.还可用平均变化率来表示函数的单调性的定义（1）∀x1、x2∈I，都有

，那么

f(x)在区间I上单调递增;（2）∀x1、x2∈I，都有

，那么

f(x)在区间I上单调递减.abxoyAB

∀x1、x2∈（a,b）,经过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线AB的斜率就是平均变化率

设函数

f(x)在区间（a,b）上的导数f

'(x)为正,

直观上，能找到一点T(x0，f(x0))，使函数

f(x)的图像在点T处的切线与直线AB平行，即

T从而函数

f(x)在区间（a,b）上单调递增.用此方法同样可以说明函数

f(x)在区间（a,b）上单调递减.结论：利用导数的正负来判断函数的单调性，与函数单调性定义是一致的。思考:请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在区间（a,b）上单调的函数y=f(x)的平均变化率的几何意义与与

f

'(x)的正负的关系．(1)求函数的定义域；(2)