第三章零息债券与附息债券Ⅱ(固定收益证券北大)

第三章零息债券与附息债券Ⅱ第一节关于到期收益曲线的实际阐释第二节债券合成第三节寻觅套利时机第四节时间效应第五节再投资收益率风险分析第一节关于到期收益曲线的实际阐释实际可以解释:到期收益曲线在某一时点的外形到期收益曲线的变化未来怎样传统实际市场分割实际/偏好实际无偏预期实际流动偏好实际现代实际市场分割实际某些投资者/借款人喜欢长期投资/借款〔例如，寿险公司与退休基金〕其他投资者喜欢短期投资/借款〔例如，商业银行〕市场中供应与需求的力量决议了各自的市场利率偏好实际是指投资者对投资期限有一定的偏好，但假设预期收益之间的差别特别大，他们也会改动偏好通常情况下，市场分割实际/偏好实际在解释到期收益曲线时没有预期实际或者流动偏好实际来得重要。无偏预期实际投资者在选择投资组合时，决策规范是预期收益最大。因此，在一定的持有期间内，供求的力量会使得投资任何证券都获得一样的收益，不论期限怎样。无偏预期实际例3-1:某投资者投资期有两年，以下投资都给他带来一样的期望收益：1)购买1年期证券，到期后再投资于另一个1年期证券；2〕直接购买一个2年期证券3〕购买一个5年期证券，2年后卖掉。无偏预期实际该实际的含义:

由到期收益曲线所暗含的远期利率等于未来在该短时间上的即期利率，与此同时，该实际也阐明长期证券收益率等于当期短期利率以及预期短期利率的几何平均。无偏预期实际运用:“无套利〞总收益

思绪:利用到期收益曲线所暗含的远期利率来估计总收益.无偏预期实际例3-2:投资于3年期，票面利率7%〔半年付息〕的债券，价钱为$960.33($1,000面值)。该债券的到期收益率为8.53%(b.e.b.).投资者计划2年后卖掉该债券，问期望无套利的总收益是多少?

t即期收益曲线单期远期利率〔t-1)(1period=6个月;收益率是6个月有效收益率)

13.25%3.25%

23.50%3.75%

33.70%4.10%

44.00%4.91%

54.20%5.00%

64.30%4.80%例3-21.求2年后债券的出卖价钱:

所以投资者预期资本利得为:

$973.90-$960.33=$13.572.求累积利息:

$35(1.0375)(1.0410)(1.0491)+$35(1.0410)(1.0491)+35(1.0491)+$35=$149.603.总预期收益金额

=$13.57+$149.60=$163.17例3-2平均收益率(onab.e.b.)=

比8.52%的到期收益率少很多，为什么?预期实际与经济周期分析察看在经济扩张一开场，到期收益曲线斜率趋于增大，而在经济扩张的末尾到期收益曲线斜率趋于降低需求方在扩张期投资大，货币需求的期望增大，促使真实利率抬高假设预期经济走向低谷，预期远期利率下降，由于投资需求将趋缓。供应方人们更情愿平衡消费。假设预期经济衰退，人们将更不情愿花钱，这也促使利率走低。主要发现“TheTermStructureandWorldEconomicGrowth〞,CampbellR.Harvey主要发现:长短期利率之差，在很多国家都是GNP增长率的好的预测目的Model:

TS=90天国库券收益率与5年期以上债券收益率之差在美国和加拿大这一回归方程可以解释几乎50%的GNP增长。多个强假设1)投资者目的是最大期望收益，而不思索风险2)预期绝对可以实现3〕没有买卖本钱4〕不同期限的证券间完全可以相互替代虽然有以上强的假定，大多数学者都以为期望实际在解释到期收益曲线问题上前进了一大步。流动偏好实际流动偏好实际是说，投资者购买长期证券要索取风险溢价。这就要修正对暗含远期实际的了解。流动偏好实际第二节债券合成附息债券是零息债券的合成物零息债券是附息债券的合成物附息债券是零息债券与年金证券的合成物附息债券是零息债券的合成物纯粹附息债券〔Straightcouponbond〕任何现金流量都可以说是零息债券的合成物零息债券是附息债券的合成物

例3-3:有三个附息债券TimeAB C 0 90.284-103.004111.197 1 5 1015 2 5 10 115 3 105 110 0 零息债券是附息债券的合成物问题：如何构建一个零息债券：面值100,1年期限，如何投资?也就是如何决议附息债券的购买数量，使得组合的现金流量满足以下要求:零息债券是附息债券的合成物解方程零息债券是附息债券的合成物 A B C 价钱 90.284103.004 111.197数量 -25.3 24.15 -1 总价值 -2284.22487.544-111.197 零息债券价值 92.16 零息债券是附息债券的合成物问题1：假设计算出来的价钱与折现因子不一致,怎样办?问题2:合成需求卖空,这能否现实?问题3:计算结果有小数点,怎样办?合成债券的普通方法

附息债券是年金证券

与零息债券的合成物例3-4.有三个债券A,B,C,归还期都是3年,付息日一样,面值都是100.票面利率与价钱如下:bond票面利率价钱到期收益率A 8 97.83 8 B 6 85.70 7.83 C 4 72.66 7.78 应该投资哪个证券?附息债券是年金证券

与零息债券的合成物基于到期收益率?基于总收益分析?债券票面利率再投资收益率4%6%8%A 8% 6.97%8.0%9.2% B 6% 6.98%7.87%8.92% C 4% 7.13%7.82%8.66%附息债券是年金证券

与零息债券的合成物附息债券可以被分解为两个部分:年金证券和零息债券附息债券是年金证券

与零息债券的合成物而债券B的价钱为85.70，相对于A、C而言，价钱过高。第三节寻觅套利时机什么是套利？如何套利？例3-5在时点0,t有无风险债券A和B.债券A在时点1,2,3各支付$1.A的价钱为$2.24。债券B在时点1和3支付$1，在时点2支付$0。B的价钱为$1.6.问题1)计算2年期零息债券的到期收益率2〕假设存在债券C，在时点2支付$1，价钱为$0.74.如何获得$2的无风险收益。A,B,C都可以卖空。

例3-51〕债券A,B和A-B的现金流量

time0 time1time2time3

A 2.24 1 1 1

B 1.60 1 0 1

A-B 0.64 0 1 0

例3-52〕假设卖空债券C，买入A-B，详细而言买入A，卖空B，卖空C，他可以得到$0.1.他一点风险没有承当。他可以放大买卖20倍，就可以获得$2的无风险收益。例3-62、三种无风险证券A、B、C的价钱和现金流量分别为

0 1 2

A 90 100 0

B 75 0 100

C 155 100 100

假定不允许卖空，那么

1〕能否有一组折现因子，与上述债券价钱相对应？

2〕张三想构建一个组合，该组合在1时点产生200的现金流量，在2时点产生100的现金流量，他如何选择，被选中的组合的本钱是多少？

3〕张三为了让组合在1时点多产生100的现金流量，那么该额外添加的100的利率〔年复利〕是多少？假设额外现金流量发生在2时点，情况又怎样？

4〕李四想构建一个组合，该组合在1时点产生100的现金流量，在2时点产生200的现金流量，他如何选择，被选中的组合的本钱是多少？

5〕李四为了让组合在1时点多产生100的现金流量，那么该额外添加的100的利率〔年复利〕是多少？假设额外现金流量发生在2时点，情况又怎样？6〕二人收益率差别的主要缘由是什么？

例3-6答：

1〕假设存在一组折现因子，那么应该有下面联立方程

很显然，不存在与上述债券价钱相匹配的一组折现因子。

2〕张三有两个选择，一是持有1个单位的A和1个单位的C，二是持有2个单位的A和1个单位的B。第一种选择本钱是245，而第二种选择的本钱是255。因此，张三应该选择持有1个单位的A和1个单位的C。例3-63〕张三应该持有另外1个单位的A，价钱是90。年收益率为11.11%。

为了在2时点上产生额外100的现金流量，张三可以直接购买B〔价钱75〕，也可以出卖A，然后购买C〔价钱65=155-90〕。因此张三应该出卖A，然后购买C。收益率为r=24.03%

4〕李四的组合在1时点产生100的现金流量，在2时点产生200的现金流量，他应该持有1个单位的B和1个单位的C，本钱为230。另一个选择是一个单位A，两个单位B，但本钱为240，因此舍弃。

例3-65〕为了在1时点添加100的现金流量，李四可以额外持有1个单位的A，本钱为90。李四的另一个做法是卖掉组合中的B，然后购买C。这样本钱为80〔155-75〕。当然，李四应该选择后一种做法。收益率为

r=25%

为了在2时点添加100的现金流量，李四可以额外持有1个单位的B，本钱为75。收益率为r=15.47%

6〕张三和李四的收益率曲线差别大主要是由于C证券的低定价。当将C证券放入一个组合中，由于C的低定价，就会使得新组合的收益率增大。但只能用A、B来构成组合时，收益率就偏低。由于张三和李四的组合不同，利用C证券的方式也不同，因此其收益率曲线不同。

例3-7假定到期收益曲线向下倾斜，有效年收益率如下：Y1=9.9%

Y2=9.3%

Y3=9.1%

到期收益率是根据3个到期时间分别为1年、2年、3年的零息债券的价钱计算出来的。知票面利率11%期限3年的债券的价钱为$102.能否存在套利时机，如何得到这一时机？例3-7债券价钱$102明显低估!例3-7如何获利?购买这一低估债券，出卖一组零息债券，该组零息债券的现金流量与所购买债券的现金流量相吻合：卖面值$11的1年期零息债券，卖面值$112年期零息债券，卖面值$111的3年期零息债券，这样他今天就可以得到$104.69。与此同时，他用$102购买价值被低估的债券。今天他得到$2.69。

未来的现金流入与现金流出完全吻合，这$2.69就是无风险收益。第四节 零息债券价钱的时间效应——θ值θ值的定义θ值反映的是到期收益率曲线不发生变化，零息债券价钱变化的时间效应。这一时间效应可以了解为持有期无穷小时，零息债券的升值程度。θ值相当于折现函数在某一时期上的斜率，即θ值的近似求法由于零息债券价值的瞬间变化难以计量，因此可以用近似的方法假设可以得到间隔很短的到期收益率曲线，那么可以计算在那样短的时间内零息债券价钱的时间效应，计算公式为

θ值的近似求法举例：一个零息债券将在12.5年后支付1元，利用前面的折现函数，求该12.5年的零息债券的θ值。θ近似值的意义价钱风险可以量化，但时间效应的量化很难找到适宜的公式。期限 到期收益率 折现因子θ值 1/365 8.24% 0.9998 0.0800 0.5 8.42% 0.9604 0.0784 1 8.51% 0.9216 0.0767 1.5 8.59% 0.8837 0.0749 2 8.68% 0.8467 0.0730 2.5 8.76% 0.8107 0.0711 3 8.84% 0.7756 0.0691 4 8.99% 0.7086 0.0650 5 9.14% 0.6458 0.0607 6 9.28% 0.5871 0.0565 7 9.41% 0.5327 0.0523 8 9.54% 0.4824 0.0482 9 9.66% 0.4362 0.0443 10 9.77% 0.3938 0.0405 11 9.87% 0.3551 0.0370 12 9.97% 0.3198 0.0336 13 10.05% 0.2878 0.0304 14 10.13% 0.2589 0.0275 15 10.21% 0.2327 0.0248 期限 到期收益率折现因子 θ值 16 10.27% 0.2092 0.0223 17 10.33% 0.1881 0.0200 18 10.38% 0.1691 0.0180 19 10.42% 0.1521 0.0161 20 10.46% 0.9 0.0144 21 10.48% 0.1233 0.0128 22 10.50% 0.1111 0.0114 23 10.51% 0.1003 0.0102 24 10.52% 0.0907 0.0091 25 10.51% 0.0822 0.0081 26 10.50% 0.0745 0.0072 27 10.48% 0.0678 0.0064 28 10.46% 0.0618 0.0057 29 10.42% 0.0564 0.0050 30 10.38% 0.0517 0.0045 几何图形固定收益证券组合时间效应

——θ值的计算组合的时间效应就是其所含零息债券时间效应的加权总和，权数是单个零息债券的数量。即组合的时间效应举例：一个固定收益证券组合由以下零息债券构成：10个单位的2年期零息债券，5个单位的9年期零息债券，3个单位的30年期零息债券。组合中包括单一种类的负债，是7个单位的20年期零息债券。利率期限构造如前所示。

该组合的权益价值为：

10×0.8467+5×0.4362+3×0.05169-7×0.8

=9.85

资产的θ值为

10×0.07303+5×0.0443+3×0.04458

=0.9652

负债是θ值为7×0.01437=0.1006

权益的θ值为资产的θ值减去负债的θ值，即0.9652-0.1006=0.8646

零息债券价钱与利息率的关系

Lecture1Notes.pdf〔20-25〕第五节 再投资收益率风险分析在实际上，再投资收益率风险相当复杂。本文以零息债券为例，并利用前面给出的到期收益曲线来分析再投资收益率风险。再投资收益率风险分析第一，在到期收益曲线向右上方倾斜时，假设再投资收益率不上升，即按照如今收益曲线所对应的收益率获得收益，那么，投资于长期零息债券更为有利。例如，投资者的投资期为2年，该投资者有多种投资选择，其一是延续投资两个1年期两个零息债券，其二是直接购买2年期零息债券，其三是购买3年或3年以上的零息债券，在第二年年年底出卖。在2年后，第一种投资选择给投资者带来的总收益是1.1773〔〕；第二种选择给投资者带来的收益是1.1810〔〕；第三种选择时机有很多，结果也各不一样。以选择5年期债券，2年后出卖为例，投资者的收益为1.2021〔〕。这阐明，在到期收益率曲线向右上方倾斜而又不发生变化的情况下，投资长期债券会获得更多的利益。再投资收益率风险分析第二，在到期收益曲线向右上方倾斜时，即使未来再投资收益率上升，但只需不超越一定的幅度，投资于长期证券还是相对有利。例如，2年后，到期收益率曲线平行上升，只需不上升幅度不超越0.6%，选择5年期债券依然有利。由于即使利率平行上升0.6%，选择5年期债券2年后出卖的收益也还是1.1814〔〕。而选择2年期零息债券的收益为1.1810.再投资收益率风险分析第三，假设到期收益曲线为程度状，那么该曲线在未来向上挪动，即再投资收益率上升，投资于长期证券的收益将低于短期证券。此时各种期限上的远期利率或者说是平衡利率都相等，等于各种证券的到期收益率。由于远期利率是两种零息债券到期收益率的加权平均，既然各期零息债券的收益率都相等，其加权平均值也必然等于这一收益率。假设到期收益率曲线是程度的，那么收益率向上挪动，就会使得长期债券的收益低于短期债券。相反，到期收益率曲线向下挪动会导致长期债券的收益率高于短期债券。再投资收益率风险分析第四，假设到期收益率曲线向下倾斜，要使长期债券获得与短期债券一样的收益，市场利率必需下降。例如，1年、2年、3年期零息债券的到期收益率为8%、7%、6%。假设投资期为1年，那么持有1年期零息债券至归还期的收益率为8%。持有3年期零息债券共1年时间的收益率，取决于1年后该债券的出卖价钱为假设到期收益率曲线不变，那么2年期债券的收益率为7%，该3年期债券