等比数列的概念、通项公式和性质及应用课件（第一课时） 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1

等比数列的概念及通项公式（第一课时）具体实例等差数列的概念代数运算归纳法累加法通项公式函数角度数一次函数形抽象概念等差数列：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数还可以做哪些运算？复习引入

实例2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是：意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”。实例3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：2，4，8，16，32，64，…

⑤细菌个数第一次第二次第三次24第n次……分裂次数8

实例4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是：a(1＋r)，a(1＋r)²，a(1＋r)³，a(1＋r)4，a(1＋r)5

⑥复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.

取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9．共同规律：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.思考：请同学们仔细观察以下四个数列,类比等差数列的研究,你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律?你发现了什么规律?

探究1：类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.

常数叫做等差数列的公差.

公差通常用字母d表示等差数列定义符号等比数列

如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____都等于___一个常数，那么这个数列就叫做__________.

常数叫做等____数列的_____二比同等比数列公比公比通常用字母q表示(q≠0)比新知1.等比数列的概念若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，则该数列叫等比数列；这个常数叫做公比，记为q(q≠0).注：①等比数列的每一项和公比都不为0.如：1,1,1,1,…是等差数列，也是等比数列；0,0,0,0,…是等差数列，不是等比数列；非零常数列既是等差数列，又是等比数列，公差为0，公比为1.成立条件：q≠0，an≠0探究3：类比等差数列的通项公式，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？类比不完全归纳法得an=a1+(n-1)d不完全归纳法得an=a1qn-1累乘法等比数列的通项公式的推导累加法类比等比数列的通项公式：思考：已知等比数列的第m项am，公比为q，求通项公式an.等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.指数型函数思考1：类比指数函数的性质，判断公比q>0的等比数列的单调性？探究4：类比等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立关系？qq>10<q<1a1>0a1<0q=1a1从图象上看，表示等比数列{an}中的各项的点是指数型函数图象上一群孤立的点.思考2：公比q＞0且q≠1的等比数列的图象有什么特点？等比数列的通项公式：小结：证明数列单调性的方法5.已知数列{an}的通项公式为

，求使an取得最大值时n的值.课本P34等差中项

等比中项

如果三个数a,A,b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项.

如果三个数a,G,b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项.定义a,A,b成等差数列a,G,b成等比数列关系注意：若a,b同号,则有两个等比中项;若a,b异号,则无等比中项.探究3：类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？注：①同号的两数才有等比中项，且等比中项有2个，它们互为相反数；②若a,G,b组成等比数列，则必有G2=ab；

而G2=ab并不能说明a,G,b组成等比数列，如a=G=0,b=5时不成等比.③一个等比数列从第2项起，每一项an是它的前一项an－1与后一项

an+1的等比中项.±44(同课本P29-例1)±24课本P31-3.在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝60.求a1和公比q.注意：等比中项还要关注项的关系，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同.例2已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.等比数列{an}的通项公式：等差数列{an}的通