3.1.1　方程的根与函数的零点

第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点

自主预习

课堂探究自主预习1.结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及个数.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的判断方法,会求函数的零点,并会判断零点的个数.课标要求知识梳理1.函数的零点对于函数y=f(x),把使

叫做函数y=f(x)的零点.2.方程、函数、图象之间的关系方程f(x)=0

⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)

.3.函数零点的存在条件如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是

的一条曲线,并且有

,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内

,即存在c∈(a,b),使得

,这个c也就是方程f(x)=0的根.f(x)=0的实数x有实数根有零点连续不断f(a)·f(b)<0有零点f(c)=0自我检测BC1.(求函数零点)函数f(x)=x-2015的零点为(

)(A)-2015 (B)2015(C)(0,-2015) (D)(2015,0)2.(函数零点的理解)已知x0为函数y=f(x)的一个零点,则函数f(x)的图象必过点(

)(A)(0,x0) (B)(0,-x0)(C)(x0,0) (D)(-x0,0)3.(零点个数)函数f(x)=x2-3x+3的零点个数为(

)(A)0 (B)1 (C)2 (D)不确定AC

答案:-1课堂探究求函数的零点题型一【教师备用】零点是“点”吗?提示:函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以说零点非点,而是一个实数.【例1】(1)求函数f(x)=x2-x-2的零点;(2)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数g(x)=bx2+ax的零点.解:(1)因为f(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2).令f(x)=0,即(x+1)(x-2)=0,解得x=-1或x=2.所以函数f(x)的零点为-1和2.题后反思

(1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)=0的解,求解时注意函数的定义域.(2)已知x0是函数f(x)的零点,则必有f(x0)=0.【备用例1】

求函数f(x)=2-lnx的零点.解:令f(x)=0,即2-lnx=0,解得x=e2.所以函数的零点为e2.函数零点的个数题型二【教师备用】1.不解方程你知道方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有几个?提示:Δ=b2-4ac,当Δ<0时,方程无解;当Δ=0时,方程有两个相等的根;当Δ>0时,方程有两个不同的根.2.若f(x)在(a,b)上单调,则函数f(x)在区间(a,b)上至多有几个零点?提示:1个.【例2】

判断函数f(x)的零点个数.(1)f(x)=x2+mx+1(m∈R);(2)f(x)=x-3+lnx.解:(1)Δ=m2-4×1×1=m2-4,①当Δ<0,即m2-4<0时,解得-2<m<2,此时方程f(x)=0无解,函数无零点;②当Δ=0,即m2-4=0时,解得m=±2,此时方程f(x)=0有两个相同的实根,函数只有一个零点;③当Δ>0,即m2-4>0时,解得m<-2或m>2,此时方程f(x)=0有两个不相等的实根,所以函数有两个零点.综上,当m∈(-2,2)时,函数无零点;当m=±2时,函数有一个零点;当m∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,函数有两个零点.题后反思判断函数零点的个数的方法法一直接求出函数的零点进行判断,即转化为方程f(x)=0解的个数;法二结合函数图象进行判断,即转化为函数图象与x轴交点个数或两个函数交点的个数;法三借助函数的单调性进行判断.即时训练2-1:(1)若函数f(x)=x2-ax+a只有一个零点,则实数a的值是

.

(2)求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.(1)解析:由已知得Δ=(-a)2-4×1×a=0,即a2-4a=0.解得a=0或a=4.答案:0或4(2)解:法一因为f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg3-2>0,所以f(x)在(0,2)上必定存在零点,又f(x)=2x+lg(x+1)-2在(0,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.法二在同一坐标系下作出h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的草图.由图象知g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.答案:3判断函数零点所在的区间题型三【教师备用】1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(a)·f(b)<0,函数y=f(x)在(a,b)上零点的个数是否可以确定?提示:函数f(x)在(a,b)上至少有一个零点,具体个数不确定.2.图象连续的函数f(x),若f(a)f(b)>0,则f(x)在(a,b)内是否一定没有零点?提示:不一定.如f(x)=x2-1,f(-2)·f(2)>0,而f(1)=f(-1)=0,所以函数f(x)在区间(-2,2)上有2个零点.(2)由表格可知f(-3)>0,f(-1)<0,f(2)<0,f(4)>0,所以方程的两根所在区间分别为(-3,-1)和(2,4),故选A.题后反思

确定函数的零点、方程的根所在的区间时,通常利用零点存在性定理,转化为判断区间端点对应的函数值的符号是否相反.(2)设f(x)=ex-(x+2),则由表格可知,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.40-4>0,所以函数的零点所在区间为(1,2),故选C.【备用例4】

若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是(

)(A)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点(B)f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点(C)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点(D)f(x)在区间(0,1)上可能有零点,