第1讲 等腰三角形-八年级数学下册同步讲义（北师大版）教师版

第1讲等腰三角形

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1.掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直.

2.掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理.

3.熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算.

趣知识精讲

知识点01等腰三角形

1.等腰三角形的定义

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角

叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在aABC中，AB=AC,则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，NA是顶角，NB、

ZC是底角.

要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝

角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

18（）。一Z4

ZA=180°-2ZB,ZB=ZC=.

2

2.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）.

3.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据.

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等.

4.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对

称轴.

5.等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边“）.

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为

边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

【知识拓展11根据等边对等角求角度

例1.（2021•贵州•思南县张家寨初级中学八年级阶段练习）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,点。为

AC上一点，且AO=8D=8C,则NA等于多少？

【答案】36。

【分析】首先设NA=X°,然后由等腰三角形的性质，求得NABC=NC=2x。，然后由三角形的内角和定理，得

到方程：x+2x+2x=180,解此方程即可求得答案.

【详解】设NA=x。，

AD=BD,

・'.ZABD=Z.A=x°f

：.ZBDC=ZA+ZABD=2x°f

・「BD=BCf

ZC=ZBDC=2x°,

,JAB=ACf

/.ZABC=4C=2x°,

在^ABC中，ZA+NABC+NC=180",

x+2x+2x=180,

解得：x=36,

Z4=36".

【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定.此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.

例2.（2021•黑龙江省八五---农场中学八年级期末）如图，△A8C中，AB=AC=CD,BD=AD,求4ABC中NCAB

的度数

【答案】Z648=108°

【分析】利用AB^AC,可得NB和NC的关系，利用AD=BD,可求得NCAD=4CDA及其与NB的关系，在^ADC

中利用内角和定理可求得NC,进一步求得NA8C,得到结果.

【详解】.解：AB=AC=Q,BD=AD,

ZB=ZC=ZBAD,ZCAD=NCDA,

设NB=X°,则NCDA=Z.8AD+NB=2x°

从而NCAD=NCDA=2x°,ZC=X°

在^ADC中，/ZCAD+ZCDA+ZC=18O。

2x+2x+x=180°

解得x=36°

.■.在△ABC中，ZB=ZC=36°,

ZCAB^108°

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用.

例3.（2021•广东•广州市白云区广大附中实验中学九年级阶段练习）已知：如图所示，在RJABC中，ZC

=90。，D是8c上一点，且0A=DB,Z8=15".求N64。的度数.

【答案】60。

【分析】由等腰三角形的性质得出N8=N1=15。，由外角的定义得NADC=30。，在RQA8C中由三角形内

角和可求得NCAD的度数.

【详解】解：DA=DB,Z8=15",

ZB=N1=15°,

ZADC=30",

.•.在RtAABC中,ZC=90°,

ZCAD=90°-30°=60°.

【点睛】本题考查r等腰三角形的性质，外角的定义以及三角形的内角和定理，熟练各性质是解题的关键.

例4.（2021•广西三江•八年级期中）如图，在△ABC中，点。在BC上，AB=AD=DC,N8=80。，求NC的度

数.

【答案】NC的度数为40。.

【分析】根据等边对等角可得N8=NADB,ZC=ZCAD,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

角的和解答.

【详解】解：•••AB^AD^DC,

：.ZB=ZADB=80°,ZC=ZCAD,

由三角形的外角性质得，Z4DB=ZC+ZCAD=2ZC=80°,

ZC=40°.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记

性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键.

【即学即练1】如图，已知aABC中，AB=BD=DC,ZABC=105°,求/A,/C度数.

：BD=DC,AZC=ZCBD,

设NC=NCBD=x,则NBDA=NA=2x,

；./ABD=180。-4x,

:.ZABC=ZABD+ZCDB=180°-4x+x=105°,

解得：x=25",所以2x=50°,

即/A=50°,ZC=25°.

【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解题中运用了等腰三角形”等边对等角

的性质，并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题.

【即学即练2】己知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC=BC=BD,AD=AE,DE=CE,求NB的度数.

【答案】解：；AC=BC=BD,AD=AE,DE=CE,

.,.设/ECD=NEDC=x,NBCD=/BDC=y,

则NAED=NADE=2x,ZA=ZB=180°-4x

在aABC中，根据三角形内角和得，

x+y+180°-4x4-1800-4尤=180°①

又；A、D、B在同一直线上，，2x+x+y=180°②

由①，②解得x=36°

.♦.NB=180°-4x=180°-144°=36°.

【知识拓展2】利用三线合一求解与证明

例1.（2021•湖北武汉•八年级阶段练习）如图，点D,E在8c的边8c上，AB^AC,AD=AE,求证：BD

=CE.

A

BADE。

【分析】过4作4FL8C于F,根据等腰三角形的性质得出8F二CF,DF二二EF,即可求出答案.

【详解】证明：如图，过2作4F_L8C于F,

A

BDFE

,,,AB=AC,AD=AE,

：.BF=CF,DF=EF,

：.BF-DF=CF-EF,

：.BD=CE.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的

平分线互相重合.

例2.（2021•重庆•八年级期中）如图：已知等边“A3C中，BDLAC,垂足为£>,E是5c延长线上的一点,

且CE=CD,

（1）求证：BD=DE；

（2）若M为BE中点，求证：DM平分NBDE.

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质得到ND8c=：NA8C=30。，根据三角形的外角性质

得到N£=30。，根据等腰三角形的判定定理证明结论；

（2）根据等腰三角形的三线合一证明.

【详解】（1）证明：•.•△ABC是等边三角形，BDVAC,

ZDBC=-^ABC=3O0,

2

■.CD=CE,

NCDE=NE,

・・・NACB=6O。，

AZE=30°,

:.NDBE=NE,

/.BD=DE；

（2）证明：・.・BD=DE,M为应:中点，

..DM平分NBDE.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、等边三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合•是解题的关键.

例3.（2021•河南镇平•八年级阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片

段，请仔细阅读，并完成相应的任务.

小明：如图1,（1）分别在射线。A,。8上截取OC=OD,。£=。尸（点C,£不重合）；（2）分别作线段CE,

DF的垂直平分线/I,12,交点为P,垂足分别为点G,H；（3）作射线0P,射线。P即为NAOB的平分线.

简述理由如下：

由作图知，NPGO=NPHO=90°,OG=OH,OP=OP,所以RtZkPG。合外△PH。，WJzPOG=ZPOH,即射

线OP是NAOB的平分线.

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2,（1）分别在射线。A,0B

上截取OC=OD,。£=。尸（点C,E不重合）；（2）连接。E,CF,交点为P；（3）作射线0P.射线。P即为

NAOB的平分线.

图1图2

（1）小明得出RtAPGO^RtAPHO的依据是（填序号）.

①S5S；（2）545；③AAS；④ASA；（5）HZ.

（2）如图2,连接EF.

①求证：△CE陛△DFE-,

②求证：APEF是等腰三角形；

③小军作图得到的射线0P是NAOB的平分线吗？请判断并说明理由.

【答案】（1）⑤；（2）①证明见解析；②证明见解析：③射线0P是NAO8的平分线，证明见解析

【分析】（1）因为小明的证明条件为NPGO=NPHO=90。，OG=OH,OP=OP,即两对直角相等，一对直角

边相等，一对斜边相等，故为HL证明依据.

（2）①由等边对等角得=再由一条公共边讦和重合的部分得出OE-OC=O尸-8,即

CE=DF,SAS为依据可证明ACE理&DFE.②由①问所证△CEa&DFE,则对应角NCFE=NDE尸相等,

再由等角对等边可得即APEF是等腰三角形③可由全等得出PE=P凡OE=OF,得出。P是EF

的垂直平分线，乂因为②可知“郎是等腰三角形，由等腰三角形三线合一可知0P也是NAOB的平分线.

【详解】

（1）,•,小明的证明条件为NPGO=NPHO=90。，OG=OH,OP=OP为例证明方法，故选⑤；

（2）证明：①：OC=OD,OE=OF

：.NOEF=^OFE,OE-OC=OF-OD即CE=DF

又YEF=FE

：.CEFRDFE（SAS）

②由①知：ZCFE=ZDEF

:.PE=PF

即：AP所是等腰三角形；

③射线OP是ZAO8的平分线，理由如下：（方法不唯-）

-.PE=PF,OE=OF

:.0尸是EF的垂直平分线

:.OPVEF

乂•・•△0E尸是等腰三角形

;.0P平分ZAOB（三线合一）

【点睛】本题考查了全等三角形的判断及性质，以及等腰三角形的性质.一般三角形的判定方法1.定义法:

能够完全重合的两个三角形全等；2.SA5：两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等；3.AS4两个角

及其夹边对应相等的两个三角形全等；4.加S：两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；

5.SS5：三条边对应相等的两个三角形全等.直角三角形证明全等斜边、直角边定理：斜边和一条直角边分

别相等的两个直角三角形全等.等腰三角形性质有底边上的中线及高线，与顶角的角平分线三线合一.反

之仍然成立，用这个性质可以证明这个三角形为等腰三角形.垂直或边相等.

例4.（2021•广东广州•八年级阶段练习）如图，在中，AB=AC,ADVBC,垂足为£）,AB：AD：

80=13：12：5,“ABC的周长为36,求的面积.

A

【答案】"8C的面积为60

【分析】设A8=13a,AD=12a,BD=5a,利用等腰三角形的性质得AC=A8=13a,BC=2BD=10a,根据AABC的

周长为36可得a=l,结合三角形的面积公式求得△ABC的面积.

【详解】解：QAB-AD-.BD=13：12：5,

设AB=13a,AD=\2a,BD=5a»

•/AB=AC,ADLBC,

：.AC=AB=l3a,BC=2BD=\0a,

•.•AMC的周长为36,

/.AB+AC+BC=13a+13a+10Q=36a=36,

\a=I,

/.BC=10,4)=12,

..△ABC的面积为‘8040=4x10x12=60.

22

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积公式.

例5.(2022•黑龙江富浴八年级期末)已知：在△ABC中，NA8C=45。，CDLA8于点D,点E为CD上一点,

KDE=AD,连接BE并延长交AC于点F,连接DF.

(1)求证：8£=AC；

(2)若>48=BC,且8E=2cm,贝ljCF=cm.

【分析】(1)根据题意可得：△8DC是等腰直角三角形，从而得到8D=CD,进而可证得△8。氏△CDA,即

可得出结论；

(2)由全等三角形的性质得8E=AC,ZDBE=ZDCA,再证8F_LAC,然后由等腰三角形的性质的AC=2CF,

即可得出结论.

【详解】(1)证明：丫CD±AB,

：.ZBDC=Zcm=90°,

ZABC=45°,

A△8DC是等腰直角三角形，

BD=CD,

在^BDE和^CDA中，

BD=CD

</BDE=/CDA,

DE=DA

△BDE*△CDA(SAS),

/.BE=AC；

(2)解：由(1)得：△BDE鲤△CDA,

「・BE=AC,ZDBE=2DCA,

ZCEF=NBED,

ZDCA+ZCEF=90Q,

・•.ZCFE=ZBDE=90°,

/.BF.LAC,

-/AB=BCf

・•,AC=2CF1

/.BE=2CF,

CF=1cm.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质定理，

全等三角形的判定和性质定理是解题的关键.

例6.(2021•江苏滨海•八年级期中)如图，厂房屋顶的人字架是等腰三角形，AB=AC,AD±BC,若跨度BC

=16m,上弦长AB=10m,求中柱AD的长.

【分析】由等腰三角形的性质得8C=CD=T8c=8(m),再由勾股定理求解即可.

【详解】解：：A8=AC,AD±BC,BC=16m,

BC=CD=1fiC=8(m),ZZ»DB=90",

AD=4AB2-BD2=>/l()2-82=6(m),

即中柱AD的长为6m.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理是解题的

关键.

【即学即练1】（2021•福建•福州三牧中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，Z/»=40°,ZABC=80",BE

平分NABC交AC于点E,ED_LA8于点D,求证：AD=BD.

【分析】先证明NA=NABE得到△ABE为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质得到结论.

【详解】证明:•>'BE平分NABC交AC于点E,

•.ZABE=yZABC=yx80°=40°,

ZA=40°,

ZA=NABE,

BE=AEqABE为等腰三角形,

ED±AB,

AD=BD.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判断与性质，解题的关键是证明AA8E为等腰三角形.

【即学即练2】（2021•黑龙江五常•八年级阶段练习）已知：以线段AB为边在线段的同侧作△ABC与ABAD,

BC与AD交于点E,若AC=8D,BC=AD.

（1）如图1,求证：CE=DE；

（2）如图2,当NC=90。，N4EB=2NAEC时，作EFL4B于F,请直接写出所有等于的线段.

【分析】（1）证明△480△84D可得）=£8,故可得结论；

（2）由（1）可得4£二8£,从而可得4F=8F=;AB,再根据角平分线的性质可得AC=AF,BD=BF,从而可得

结论.

【详解】解：（1）证明：在△48C和4m。中

AC=BD

<BC=AD

AB=BA

・•.△ABC^△BAD(S5S)

/.ZABC=ABAD

/.EA=EB

・•・BC-EB=AD-AE

：.CE=DE

(2)由(1)得EA=EB

•/EF±AB

4F=BF=-AB,ZAEF=ZBEF=-ZAEB

22

ZAEB=2Z.AEC

/.ZAEC=ZAEF

*/ZC=90°

AC=AF=-AB9

2

同理可得，BD=BF=-AB,

2

等于gAB的线段有AC、BD、AF,BF

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，证明AE=8£是解答本题的关键.

【即学即练3】（2021•吉林•八年级期末）如图，在AABC中，AB=AC,为边BC的中线，E是边A8上

一点（点E不与点A、B重合），过点E作EFLBC于点F,交C4的延长线于点G.

（2）求证：AG=AE；

（3）若AE=3BE,且AC=4,直接写出CG的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CG=7.

【分析】（1）根据等腰三角形"三线合一”的性质可得由EF_L5C即可得出结论；

（2）根据等腰三角形"三线合一”的性质可得NB4Z>=NC4£>,根据平行线的性质可得NG=/C4O,

ZBAZ）=ZAEG,uj"得NAEG=/G,即可证明AG=HE；

（3）根据AE=3B£,A8=AC=4可得4E=3,BE=L利用（2）结论可得出AG的长，进而可得答案.

【详解】（1）•.・A8=4C,。为8C的中点，

:.ADrBC,

■：EFYBC,

:.AD“FG；

（2）-.AB=AC,。为8c的中点，

ABAD=ACAD,

AD//FG,

:.ZG=ZCAD,NBAD=ZAEG,

:.ZAEG=NG,

AG=AE；

（3）•.•A8=AC=4,AE=3BE,AB=AE+BE,

:.AE=3,BE=l.

由(2)可知AG=AE,

:.AG=3,

：.CG=AG+AC=3+4=1.

【点睛】本题考查平行线的判定与性质及等腰三角形的性质及判定，等腰三角形底边中线、底边上的高线

及顶角的角平分线"三线合一"；熟练掌握等腰三角形"三线合一”的性质是解题关键.

【即学即练4】(2021•江苏•扬州市梅岭中学八年级阶段练习)在平面直角坐标系中，三角形AABC为等腰直

角三角形，AC=BC,BC交x轴于点D.

(1)若A(-8,0),C(0,6),直接写出点B的坐标；

(2)如图2,三角形△OA8与△4C0均为等腰直角三角形，连。。，求NAOD的度数；

(3)如图3,若AD平分NBAC,>4(-8,0),D(m,0),8的纵坐标为"，求2n+m的值.

【答案】(1)(6,-2)；(2)90°；(3)-8

【分析】(1)过点8作8匚Ly轴于点兀证明△CTB(AAS),即可求得AO=CT=8,BT=CO=6,OT

—CT-CO—2,即可求得点8的坐标；

(2)过点A作AH_LO8于"，过点。作力_1_。8于点J,证明△△CJD(MS),即可得到。J=CH=CM,

Z川。=90。，根据等腰三角形的性质与判定可得LOJD是等腰直角三角形,进而求得ZDOJ=45°，根据NAOD

=ZAO8+N06=90。即可求得N4OD；

(3)过8作x轴垂线交AC延长线于E,BE交x轴于点尸，证明△AC隆△BCE(AAS),由A(-8,0),D

(m,0),BE=AD=S+m,根据等腰三角形的性质可得破=2即，则5E=-2〃，则可得2n+m=—8

【详解】(1)如图1中，过点B作87\Ly轴于点T.

图1

v三角形△ABC为等腰直角三角形，

/.ZACB=90°

vZACB=ZAOC=90°

・•.ZACO+ZBCT=ZACO+ZCAO

・♦.ZBCT=ZCAO

・・•ZAOC=ZCTB=90°,AC=BC

：.△AOC^△CTB(AAS)t

•/A(-8,0),C(0,6)

/.AO=CT=3fBT=CO=6,

・•.OT=CT-CO=2f

B(6,-2),

故答案为：(6,-2)

(2)如图2中，过点4作AH_LO8于H,过点。作DJ_L08于点J.

,/AO=ABfAH.LOB,N048=90°,

OH=HB,ZAOB=A八80=45°,

AH=^OB=OH=HB,

vZACD=ZA//C=90°

ZJCD+ZACH=ZACH+Z.HAC

:.ZJCD=^HAC

又ZAHC=/CJD=9伊

/.△AHC^△CJD(A4S),

CH=DJ,CJ=AH,

CJ=OHt

・•.OJ=CH=DJ,

•/Z0/0=90°,

/.ZDOJ=45°,

/.ZA0D=NAOB+ZDOJ=90°；

(3)过B作*轴垂线交AC延长线于£,BE交x轴于点尸,

S.BE//OC

:./EBC=/OCD

・・•ZACB=ZECB=90°=/COD

・•.ZADC+ZOCD=ZEBC+ZE=90。

ZADC=ZE

XAC=BC,ZACD=ZBCE

△ACD^△BCE(A4S)

•：A(-8,0),D(m,0),

BE=AD=8+m

vAFLCO.BE//CO

：.AF_LBE

•••A。平分NBAC,

:.BE=2BF

•••8的纵坐标为n,B在第四象限，

BE=-2n

8+m=-2n

2n+m——8

【点睛】本题考查J'坐标与图形，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，正确的添加辅助

线是解题的关键.

【知识拓展3】等腰三角形中的分类讨论

例1.在等腰三角形中，有一个角为40°,求其余各角.

【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角"'‘底角"，别的三角形没有，然而此题没有指明40。

的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.

【答案与解析】

解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：

两个底角的度数之和=180°-40°=140°,

又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，

故每个底角的度数=,x140。=70。；

2

(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°,

则顶角的度数=180°-40°-40°=100°.

二其余各角为70°,70°或40°,10为.

【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏.

例2、已知等腰三角形的周长为13,一边长为3,求其余各边.

【答案与解析】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3,底边长=13—3—3=7；

(2)3为底边长时，则两个腰长的和=13—3=10,则一腰长=,xl0=5.

2

这样得两组：①3,3,7②5,5,3.

而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3+3<7,故不能组成三角形，应舍去.

等腰三角形的周长为13,一边长为3,其余各边长为5,5.

【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边

是腰还是底，所以做此题应分类讨论.同时结合三角形内角和定理、二角形两边之和大于第三边、两边之

差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案.

【即学即练】如图，ZSABC中BD、CD平分/ABC、ZACB,过D作直线平行于BC,交AB、AC于E、

F,AB=5,AC=7,BC=8,Z\AEF的周长为()

【答案】选B.

解：VEF//BC,/.ZEDB=ZDBC,

：BD平分/ABC,AZEBD=ZCBD,

/.ZEDB=ZEBD,；.BE=ED,同理DF=CF,

.♦.△AEF的周长是AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+BE+CF+AF

=AB+AC=5+7=12.

【知识拓展4】等腰三角形性质和判定综合应用

例1、已知：如图，△ABC中，ZACB=45°,ADLBC于D,CF交AD于点F,连接BF并延长交AC于点E,

ZBAD=ZFCD.

求证：(1)AABD^ACFD；(2)BE1AC.

【思路点拨】此题由等腰二角形的判定知AD=DC,易证AABD丝aCFD,要证BE1AC,只需证NBEC=90°

即可，DF=BD,可知NFBD=45°,由己知NACD=45°,可知NBEC=90°.

【答案与解析】证明：(1)VAD±BC,ZADC=ZFDB=90".

ZACB=45。，,ZACB=ZDAC=45°：,AD=CD

ZBAD=ZFCD,：.AABD^ACFD

(2)VAABD^ACFD

:.BD=FD.

ZFDB=90°,；.ZFBD=ZBFD=45°.

:NACB=45°,NBEC=90°.BE1AC.

【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角

形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证AABD丝Z\CFD,推出BD=FD,求出

ZFBD=ZBFD=450.

学知识点02等边三角形

1.等边三角形定义：

三边都相等的三角形叫等边三角形.

要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形.也就是说等腰三角形包

括等边三角形.

2.等边三角形的性质：

等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.

3.等边三角形的判定：

(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；

(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；

(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

4.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

【知识拓展4】等边三角形

例1、如图.在等边aABC中，NABC与NACB的平分线相交于点0,且0D〃AB,0E〃AC.

(1)试判定aODE的形状，并说明你的理由；

(2)线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程.

【答案与解析】解：（1）aODE是等边三角形，

其理由是：「△ABC是等边三角形，，NABC=NACB=60°,

VOD/7AB,OE〃AC,AZODE=ZABC=60°,Z0ED=ZACB=60°

.,.△ODE是等边三角形；

（2）答：BD=DE=EC,

其理由是：；0B平分NABC,且NABC=60°,

...NABO=/OBD=3O°,

V0D/7AB,.,./BOD=NABO=30°,

ZDB0=ZDOB,DB=DO,

同理，EC=EO,VDE=OD=OE,.*.BD=DE=EC.

【总结升华】（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到AODE是等边三角形；（2）根据角平分线的

性质及平行线的性质可得到NDBO=/DOB,根据等角对等边可得到DB=DO,同理可证明EC-EO,因为DE

=OD=OE,所以BD=DE=EC.

【即学即练】等边AABC,P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角

板绕P点旋转.如图，当P为BC的三等分点，且PELAB时，判断AEPF的形状.

【答案】解：VPE1AB,ZB=60°,

因此直角三角形PEB中，BE=-BP=-BC=PC,AZBPE=30",

23

VZEPF=60°,AFPIBC,

VZB=ZC=60",BE=PC,NPEB=NFPC=90°,ZXBEP丝△CPF,...PE=PF,

•.,/EPF=60°,.;△EPF是等边三角形.

【知识拓展5】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

例1.（2021・山东惠民•八年级阶段练习）如图，在等腰AABC中，点M,N都在BC边上，ZBAC^120°,若

MELAB于点E,NFLAC于点、F,点E,F分别为A8,AC的中点，且EM=2.则8C的长为（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【分析】由题意易得AM=BM,AN=CN,则有NMA8=N8=30°,ZNAC=Z.C=30°,然后可得△AMN是等边三

角形，进而可得B/M=AM=AN=MN=NC=4,最后问题可求解.

【详解】解：.・.△A8c是等腰三角形，N847=120。，

ZC=Z8=30",

ME±AB,NFLAC,点E,F分别为AB,AC的中点，

AM=BM,AN=CN,

：.ZMAB=NB=30°,ZNAC=ZC=30°,

ZAMN=Z.ANM=ZMAN=60°,

△AMN是等边三角形，

BM=AM=AN=MN=NC,

■：在RtA8/WE中，EM=2,ZS=30°,

BM=2EM=4,

BM=MN=CN=4,

：.BC=12；

故选D.

【点睛】本题主要考查等腰三角形、等边三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等腰

三角形、等边三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键.

【即学即练1】（2021・浙江•温州市第二中学八年级期中）如图，RtAABC中，NACB=90。，NABC=30。，分

别以AC,BC,A8为一边在AA8C外面做三个正方形，记三个正方形的面积依次为Si,S2,S3,已知5i=4,

则S3为（）

A.8B.16C.>/48D.>/48+4

【答案】B

【分析】根据宜角三角形30度角的性质得到A8=2AC,再利用正方形面积公式求值.

【详解】解：RUA8c中，ZACB=90",NABC=30°,

AB=2AC,

：.53=A82=4AC2=45I=16,

故选：B.

【点睛】此题考查了直角三角形30度角的性质：直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记

性质是解题的关键.

【即学即练2】（2021•广东•珠海市九洲中学九年级阶段练习）如图，在AABC中，NACB=90。，AC=4,BC

=3,。为8c边上一点，CD=1,E为AC边上一动点，连接。E,以DE为边并在。E的右侧作等边△DEF,

连接BF,则BF的最小值为（）

A.1B.2C.3D.石

【答案】B

【分析】以8D为边，在8。右侧作等边三角形8DM,连接EM,证明△8。走△MDE（5A5）,可得BF=ME,

故当ME最小时，8F最小，此时ME_LAC,过M作MN_LBC于N,即可得ME=NC=2,从而知BF最小值是2.

【详解】解：以BD为边,在8D右侧作等边三角形8DM,连接EM,如图：

B

■：△BDM和^DEF是等边三角形，

DE=DF,DM=BD,ZBDM=NFDE=60°,

ZBDM-ZMDF=NFDE-ZMDF,即NBDF=ZMDE,

：.△BDa△MDE(SAS),

BF=ME,

，当ME最小时，8F最小，此时ME_LAC,如图:

过M作MNLBC于N,

---BC=3,CD=1,

BD=2,

：.ND=0.5BD=l,NC=2,

而NMNC=NNCE=NCEM=90°,

•1.四边形MNCE是矩形，

ME=NC=2,

而BF=ME,

8F最小值是2.

故选：B.

【点睛】本题考查直角三角形及等边三角形的综合应用，涉及动点问题，解题的关键是作辅助线，构造全

等三角形，把求BF最小值问题转化为求EM最小值.

【即学即练3】（2022•甘肃西峰•八年级期末）如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=120°,。是BC的中点，连

结AD,AE是NBA。的平分线，OFIIA8交AE的延长线于点F,若EF=3,则AE的长是()

【答案】B

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得/3=NC=30。，AD1BC,ABAD=ACAD,再根据角平分

线，求出NZME=NE4B=30。，然后根据平行线的性质求出NF=NB4E=NEE尸=N8=30。，从而得到

DE=EF=3,最后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半即可解答.

【详解】解：/AB=AC,AD是AA3C的中线，

ZB=ZC=^(180-ZBAC)=-x60°=30°rAD1BC,ZBAD=ZCAD=ABAC=x120°=60°.

.•AE是N8AD的角平分线，

ZDAE=ZEAB=-NBAD=』x60。=30°.

22

DF//AB,

NF=NBAE=NEDF=NB=30。,

：.DE=EF=3.

在必八4。£中，ZZME=30°,

AE=2防=2*3=6.

故选B.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，直角三角形30。角所对的直

角边等于斜边的一半的性质，利用数形结合的思想是解题关键.

U能力拓展

类型一、等腰三角形中的分类讨论

1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为().

A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°

【答案】I):

【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，

然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答.

（I）顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；

⑵顶角为直角，•腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意：

（3）顶角为钝角如图②，则顶角度数为120。，故此题应选I）.

【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：等腰锐角三角形、等腰直角三

角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答.

2.已知等腰三角形的周长为13,一边长为3,求其余各边.

【答案】解：（1）3为腰长时，则另一腰长也为3,底边长=13—3—3=7：

（2）3为底边长时，则两个腰长的和=13—3=10,则一腰长=,xl0=5.

2

这样得两组：①3,3,7②5,5,3.

而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3+3<7,故不能组成三角形，应舍去.

等腰三角形的周长为13,一边长为3,其余各边长为5,5.

类型二、等腰三角形的操作题

1、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把AABC恰好分割成两个等腰三角形（不写

做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：ZA与NB有怎样的数

量关系时才能完成以上作图？

(1)如图①AABC中，ZC=90°,NA=24°；猜想:

(2)如图②^ABC中，ZC=84°,ZA=24°；猜想:

【思路点拨】在等腰三角形中，”等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑.

【答案与解析】（1）作图：

c

6

猜想：ZA+ZB=90°,

(2)作图:

猜想：ZB=3ZA.

【总结升华】对图形进行分割是近年来出现的一类新题型，上要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践

能力，本类题目的答案有时不唯一.

2.直角三角形纸片ABC中，/ACB=90°,ACWBC,如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC

上，记落点为D,设折痕与AB、AC边分别交于点E、F,

探究：如果折叠后的4CDF与ABDE均为等腰三角形，那么纸片中的NB的度数是多少？写出你的计算过程,

并画出符合条件的折叠后的图形.

【答案】解：若4CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.

设NB为x度Zl=45°，Z2=ZA=90°-x

①当BD=BE时

…180。一尤

2_3-----------------------

2

iono_r

45°+90°-x+-------------=180°,

2

x=30".

②经计算ED=EB不成立.

③当DE=DB时

Z3=180°-2x

45°+90°-x+180°-2x=180°,

x=45°.

综上所述，ZB=30°或45°.

类型三、等腰三角形性质判定综合应用

1.如图，^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AD±BC,垂足是D,AE平分NBAD,交BC于点E,EH±AB,垂足

是H.在AB上取一点M,使BM=2DE,连接ME.求证：ME1BC.

【思路点拨】根据EH_LAB于H,得到△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH,再根据角平分线上的点到

角的两边距离相等可得DE=HE,然后求出HE=HM,从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角

形的性质求解即可.

【答案与解析】证明：：NBAC=90°,AB=AC,，NB=NC=45°,

•.•EH_LAB于H,.♦.△BEH是等腰直角三角形，Z.HE=BH,ZBEH=45°,

；AE平分/BAD,AD1BC,ADE=HE,.*.DE=BH=HE,

VBM=2DE,.,.△HEM是等腰直角三角形,

.♦.NMEH=45°,，NBEM=45°+45°=90°,AMEIBC.

【总结升华】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记

性质并证明出等腰直角三角形是解题的关键.

2.如图，已知AD是AABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.

求证：AC=BF.

A

【答案】证明：延长AD至点G,使DG=AD,连接BG.

•.•AO为中线，

:.BD=CD.

在△AC。和△GBO中，

AD=DG,

<ZADC=NGDB,

CD=BD,

.•.△ACO四△GBO(SAS).

:.BG=AC,ZG=^CAD.

'：AE=EF,

：.ACAD=NAFE.

又NBFD=NAFE,

：.ZG=NBFD.

：.BF=BG=AC.

类型四、等边三角形

1.已知：如图，B、C、E三点共线，AABC,ADCE都是等边三角形，连结AE、BD分别交Q）、AC于N、M,

连结MN.

求证：AE=BD,MN〃BE.

【答案与解析】证明：MBC,APCE都是等边三角形

:.BC=AC,CE=CD,/l=N3=60°

•••Zl+Z2+Z3=180°

.\Z2=60°/,ZBCD=Z.ECA

在ABC。和A4CE中

BC=AC

</BCD=NACE（已证）

CD=CE

.二△BCD二△ACE（SAS）

ABD-AE（全等三角形对应边相等）

N4=N5（全等三角形对应角相等）

Z4=Z5

在ABMC和A4NC中AC（已证）

Zl=Z2

.".△BMC^AANC（ASA）

；.MC=NC（全等三角形对应边相等）

•••/2=60°.•.△MCN是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）

/.Z6=60°,AZ6=Z1

.♦.MN〃BE（内错角相等，两直线平行）

【总结升华】本题应从等边三角形的性质出发，利用三角形全等证明AE=BD；为证明MN〃BE,可先证明4

MNC为等边三角形，再利用角去转化证明.

2.如图，AB=AC=AD=4cm,DB=DC,若/ABC为60度，贝UBE为,ZABD=

【答案】解：①：AB=AC,NABC为60度,

.'.△ABC为等边三角形.

'AB=AC

在AABD和4ACD中，：＜AD=AD，

BD=CD

/.△ABD^AACD,

二NBAD=NCAD,

.♦.AE是BC边的中垂线，

/.BE=ABC=2CITI；

2

故答案是：2cm；

②；AB=AD（己知），

.,.ZABD=ZADB（等边对等角），

...NABD=1（180°-ZBAD）=1（180°-30°）=75°.

22

M分层提分

题组A基础过关练

一、单选题

1.（2022・四川仁寿•八年级期末）下列命题是真命题的是（）

A.全等三角形的角相等

B.等腰三角形的中线、高线、角平分线重合

C.全等三角形的边相等

12

D.RtAA8C两直角边为3、4,则斜边上的高是m

【答案】D

【分析】由题意根据全等三角形的性质对A、C进行判断；根据等腰三角形的性质对B进行判断；根据勾股

定理和面积法对D进行判断.

【详解】解：A.全等三角形的对应角相等，所以A选项不符合题意；

B.等腰三角形底边上的中线、底边上的高线和顶角的角平分线重合，所以B选项不符合题意：

C.全等三角形的对应边相等，所以C选项不符合题意；

12

D.RtAABC两直角边为3、4,则斜边为5,则斜边上的高为彳，所以D选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查命题以及全等三角形的性质，注意掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判

断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

2.（2021•辽宁铁岭•八年级期末）如图，在AABC中，AB=AC,ZA=50°,则AABC的外角NACD的度数

是（）

D

A.115°B.120°C.125°D.130°

【答案】A

【分析】根据等腰三角形的性质求出DB,再根据三角形外角的性质即可求出NACO.

【详解】•「AB=AC,

：.NB=ZACB

ZA=50。，

ZB=ZACB=65°

A48c的外角NACD=NA+NB=115。

故选：A

【点睛】本题考查的是等腰三角形性质及三角形外角定理；利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求

得NB的度数是解答本题的关键.

3.（2021•黑龙江五常•八年级期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是4,5,则它的周长是（）

A.13B.14C.13或14D.9或12

【答案】C

【分析】等腰