初中数学知识点表格版

初中数学教材知识梳理，系统复习

第一单元数与式第1讲实数

知识点一：实数的概念及分类关键点拨及对应举例

(1)按定义分(2)(DQ既不属于正数，也不属

按正、负性分于负数.

f呼理数(2)无理数的几种常见形式

［有』数_0_有限卜数或

判断：①含冗的式子；②构

正变数［

造型：如3.010010001---

1负有理数无限循环小数

(每两个1之间多个0)就

实数0是一个无限不循环小数;③

工实数

实数开方开不尽的数：如，；④

|正］无理数

三角函数型：如60°,

负实数25°.

无理数无限不循环(3)失分点警示：开得尽方

小数的含根号的数属于有理数，

负无理数如=2,3,它们都属于有理

数.

知识点二：实数的相关概念

(1)三要素：原点、正方向、单位长度例：

2数轴(2)特征：实数与数轴上的点一一对应；数数轴上-2.5表示的点到原点

轴右边的点表示的数总比左边的点表示的距离是

的数大

(1)概念：只有符号不同的两个数a的相反数为，特别的0的绝

(2)代数意义：a、b互为相反数0对值是0.

3相反

(3)几何意义：数轴上表示互为相反数的两

数

个点到原点的距离相等例：3的相反数是0，-1的相

反数是L

(1)几何意义：数轴上表示的点到原点的距(1)若(a>0),则土a.

离(2)对绝对值等于它本身的

(2)运算性质：{a(a>0)；{(a>b)

4.绝对数是非负数.

值(a<0).例：5的绝对值是0;22;绝

(a<b)对值等于3的是±311.

(3)非负性：>0,若2=0,则q

(1)概念：乘积为1的两个数互为倒数的倒例：

数为l(a^0)-2的倒数是」Z2;倒数等于

5倒数

(2)代数意义：1互为倒数它本身的数有土L

知识点三：科学记数法、近似数

(1)形式：axICT,其中1&V10,n为整数例：

(2)确定n的方法：对于数位较多的大数，n21000用科学记数法表示

6科学

等于原数的整数为减去工；对于小数，写成ax为2.1X10C

记数法

10,1<<10,n等于原数中左起至第一个非零19万用科学记数法表示为

数字前所有零的个数(含小数点前面的一个)1.9X105;0.0007用科学

记数法表示为7X10-4.

(1)定义：一个与实际数值很接近的数.例：

7近似(2)精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个3.14159精确到百分位是

数近似数精确到哪一位.3.14;精确到0.001是

3.142.

知识点四：实数的大小比较

(1)数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数例：

总比左边的数大.把1,-2,0,-2.3按从大到

8.实数(2)性质比较法：正数>0>负数；两个负数比小的顺序排列结果为1>0

的大小较大小，绝对值大的反而小.>-2>-2,3_.

比较(3)作差比较法：>0a>b;0;<0a

<b.

(4)平方法：a>b>0a2>b2.

知识点五：实数的运算

9.乘方几个相同因数的积；负数的偶(奇)次方例：

常为正(负)(1)计算：l-2-6((-2)2£

见零次幕a°l_(aw0)3"1/3_;冗01;

运负指数1(awO,p为整数)(2)64的平方根是.±8,算术

算幕平方根是区，立方根是4.

平方根、若x2(a>0)，则土内二其中》是算术平方失分点警示：类似“的算术平

算术平根.方根”计算错误.例：相互

方根对比填一填：16的算术平方

立方若x3,则回根是一，的算术平方根是合

根

先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级

运算，从左

向右进行；如有括号，先做括号内的运算，

10.混合运算

按小括号、

中括号、大括号一次进行.计算时，可以结

合运算律，

使问题简单化

第2讲整式与因式分解

知识点一：代数式及相关概念关键点拨及对应举例

(1)代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘

求代数式的值常运用整体

方、开方)把数或表示数的定理连接而成的式子，

工代数代入法计算.

单独的一个数或一个字母也是代数式.

式例：a-b=3,贝1」3b—3a

(2)求代数式的值：用具体数值代替代数式中的

=—9.

字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值.

2整式(1)单项式：表示数字与字母积的代数式，单独例：

(单的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字(1)下列式子：①-2a2；②

项因数叫做单项式的系数,所有字母的指数与叫35b;③2;④2;⑤7a2；

式、做单项式的次数.⑥7x?+8x3y；⑦2017.

多项(2)多项式：几个单项式的与•多项式中的每一项其中属于单项式的是①

式)叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多③⑤⑦;多项式是②⑥;

项式的次数.同类项是①与⑤.

(3)整式：单项式与多项式统称为整式.(2)多项式7m51M+1是

(4)同类项：所含字母相同并且相同字母的指数主次三项式，常数项是

也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同1.

类项.

知识点二：整式的运算

⑴合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结失分警示：去括号时，如果

3整式果作为系数，字母与字母的指数不变.括号外面是符号，一定要变

的加⑵去括号法则：若括号外是“+”，则括号里的各号，且与括号内每一项相

项都不变号；若括号外是“一”，则括号里的各项

减运乘，不要有漏项.

都变号.

算例：—2(3a—2b—1)=—

⑶整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.

6a+4b+2・

⑴同底数骞的乘法：•=*；⑴计算时，注意观察，善

⑵塞的乘方：俨=；其中都于运用它们的逆运算解

⑶积的乘方：(严=二；

4.募运在整数决问题.例：已知22,则

算法(4)同底数幕的除法：・=w(awO).3x2mx26.

则(2)在解决塞的运算时，

有时需要先化成同底

数.例：2m.423m.

5整式⑴单项式X单项式：①系数与同底数骞分别相乘；

②只有一个字母的照抄.

的乘失分警示：计算多项式乘以

⑵单项式X多项式：m().

除运⑶多项式X多项式：()().多项式时，注意不能漏乘，

算⑷单项式:单项式：将系数、同底数幕分别相除.不能丢项，不能出现变号

⑸多项式小单项式：①多项式的每一项除以单项错.

式；②商相加.例：(2a-l)(b+2)=2+4a

—b—2.

(6平方差公式：(5+Z?)(a—b)=a2-kP.注意乘法公式的逆向运用

)乘完全平方公式：(a±Z?)2=a2±2+变形及其变形公式的运用

法公式：

公a22=(a±b)2+2(O2-(a22)]/2

式

6.混合注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简

例：⑴2-⑶⑶-io?.

运算求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算.

知识点五：因式分解

⑴定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式.

(1)因式分解要分解到最后

(2)常用方法：①提公因式法：++=m(a+b+c).

结果不能再分解为止，相

2

Z因式②公式法：^——=(a+6)(a—h);

222同因式写成塞的形式；

分解a±2+t>=(a±Z?).

⑶一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②提(2)因式分解与整式的乘法

公因式后，看是否能用公式法分解；③检查各因互为逆运算.

式能否继续分解.

第3讲分式

知识点一：分式的相关概念关键点拨及对应举例

，分式(1)分式：形如JU,6是整式，且8中含在判断某个式子是否为分式

D

的概时，应注意：(1)判断化简之

有字母,6W0)的式子.

急间的式子；(2)九是常数，不是

(2)最简分式：分子与分母没有公因式的分字母.例：下列分式：①;②；

式.③;④，其中是分式是②③④;

最简分式③.

(1)无意义的条件：当4=0时,分式4无意义；失分点警示：在解决分式的值

D

2分式⑵有意义的条件：当BW0时,分式4有意义；为0,求值的问题时，一定要

D

的意(3)值为零的条件：当2=0,3会。时，分式4注意所求得的值满足分母不为

——B

义0.

=0.

例：当的值为0时，贝！|乂=」.

由分式的基本性质可将分式进

(1)基本性质：(。力0).

3基本

(2)由基本性质可推理出变号法则为：行化简：

性质

;•例：化简：==.

X+1

知识点三：分式的运算

分式通分的关键步骤是找出分

4.分式⑴约分(可化简分式)：把分式的分子与分母中式的最

的公因式约去，

的约即；简公分母，然后根据分式的性

分与⑵通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，质通分.

通分把异分母的分式化为同分母的分式，即例：分式与的最简公分母为

x(x2-1).

5.分式⑴同分母：分母不变，分子相加减.即±=;

例：=-1.

的加⑵异分母：先通分，变为同分母的分式，再加

减法减.即±=.

6.分式⑴乘法：.=；⑵除法：=等；

be例：=；；=2y;

的乘

⑶乘方：出=务为正整数).

m=旦.

除法

失分点警示：分式化简求值问

⑴仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否

题，要先将分式化简到最简分

7.分式分解因式，若能，就要先分解后约分.

式或整式的形式,再代入求值.

的混合⑵含有括号的运算：注意运算顺序与运算律的

代入数值时注意要使原分式有

运算合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算

意义.有时也需运用到整体代

加减，若有括号，先算括号里面的.

入.

第4讲二次根式

知识点一：二次根式关键点拨及对应举例

(1)二次根式的概念：形如3>0)的式子.失分点警示：当判断分式、二

(2)二次根式有意义的条件：被开方数大于次根式组成的复合代数式有

或等于0.意义的条件时，注意确保各部

有关概

(3)最简二次根式：①被开方数的因数是整分都有意义，即分母不为0,

念

数，因式是整式(分母中不含根号)；②被开方数大于等于0等.例：

被开方数中不含能开得尽方的因数或因若代数式有意义，则x的取值

式范围是X>1.

(1)双重非负性：利用二次根式的双重非负性

2二次根

①被开方数是非负数，即a>0；解题：

式的性

②二次根式的值是非负数，即&>().(1)值非负:当多个非负数的

质

与为。时，可得各个非负

注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、数均为。.如&+1db-l0,

偶骞、算式平方根、二次根式.

贝1」1,1.

（2）被开方数非负:当互为相

反数的两个数同时出现在

二次根式的被开方数下

时，可得这一对相反数的

数均为。.如已知

Ja-lJl-a，则10.

⑵两个重要性质：

①（）2=且值>0）；②==；例：计算：

⑶积的算术平方根：瓢=&.相（心0,

,3.142=3,14；&-2)2=2;

心0）;

（4）商的算术平方根：多（a>0,b>0）.V24=j=2;

知识点二：二次根式的运算

3二次根

先将各根式化为最简二次根式，再合并被开

式的加例：计算：72-^+732=3>/2.

方数相同的二次根式.

减法

4.二次根(1)乘法：4a.y[b=4ab{a>Q,Z?>0)；注意：将运算结果化为最简二

式的乘次根式.

(2)除法：先监(a>0,b>0).

除法例：计算：=1；4.

5二次根运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，运算时，注意观察，有时运用

式的混合再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号乘法公式会使运算简便.

运算里面的（或先去括号）.例：计算：（0+1）（亚-1）=1_.

第二单元方程（组）与不等式（组）

第5讲一次方程（组）

知识点一：方程及其相关概念关键点拨及对应举例

⑴性质1：等式两边加或减同一个数或同一个

整式,所得结果仍是等式.即若a=⑦贝ija士。失分点警示：在等式的两边

=b±c.

同除以一个数时，这个数必

⑵性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除

等式的须不为0.

数不能为0），所得结果仍是等式.即若a=b,

基本性质例：判断正误.

则=,（C¥=O）.

⑴若，则.（X）

⑶性质3：（对称性）若，则.

（2）若，贝I」.（M）

（4）性质4：（传递性）若，则.

⑴一元一次方程：只含有二个未知数，并且未

知数的次数是1,且等式两边都是整式的方在运用一元一次方程的定

程.义解题时，注意一次项系

2关于方

⑵二元一次方程：含有两个未知数，并且含有数不等于0.

程的基本未知数的项的次数都是1的整式方程.

例：若⑵4是关于x

概念⑶二元一次方程组：含有两个未知数的两个一

次方程所组成的一组方程.的一元一次方程，则a的

⑷二元一次方程组的解：二元一次方程组的两值为0.

个方程的公共解.

知识点二：解一元一次方程与二元一次方程组

3解一元（1）去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不失分点警示：方程去分母

一次方程要漏乘常数项；时，应该将分子用括号括起

的步骤⑵去括号：括号外若为负号，去括号后括号内来，然后再去括号，防止出

各项均要变号；现变号错误.

⑶移项：移项要变号；

(4)合并同类项：把方程化成(awO);

(5)系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方

程的解.

思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次

方程.

已知方程组，求相关代数式

方法：

4.二元一的值时，需注意观察，有时

⑴代入消元法:从一个方程中求出某一个未知

次方程组不需解出方程组，利用整体

数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进

的解法思想解决解方程组.例：

行求解；

已知则的值为4.

(2)加减消元法：把两个方程的两边分别相加或

相减消去一个未知数的方法.

知识点三：一次方程(组)的实际应用

⑴审题：审清题意，分清题中的已知量、未知(1)设未知数时，一般求

量；什么设什么，但有时为了方

5列方程

⑵设未知数；便，也可间接设未知数.如

(组)

(3)列方程(组)：找出等量关系，列方程(组)；题目中涉及到比值，可以设

解应用题

⑷解方程(组)；每一份为x.

的一般步

⑸检验：检验所解答案是否正确或是否满足符(2)列方程(组)时，注

骗

合题意；意抓住题目中的关键词语，

⑹作答：规范作答，注意单位名称.如共是、等于、大(多)多

少、小(少)多少、几倍、

几分之几等.

(1)利润问题：售价=标价X折扣，销售额=售价X销量，利润=售价-进价，

禾润率=禾4润/进价X100%.

(2)利息问题：利息=本金X利率X期数，本息与=本金+利息.

6.常见题

(3)工程问题：工作量=工作效率X工作时间.

型及关

(4)行程问题：路程=速度X时间.①相遇问题：全路程=甲走的路程+乙

系式

走的路程；

②追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同

地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.

第6讲一元二次方程

知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例

⑴定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是例：方程数"+2=0是关

1•一元

2的整式方程.于x的一元二次方程，

二次方

(2)一般形式：2++c=0(a#0),其中2、、。分别叫做则方程的根为二L

程的相

二次项、一次项、常数项，ab.。分别称为二次

关概念

项系数、一次项系数、常数项.

2一元(1)直接开平方法：形如()2①>0)的方程，可直接解一元二次方程时，注

二次开平方求解.意观察，先特殊后一

方程(2)因式分解法：可化为()()=0的方程，用因式分般，即先考虑能否用直

的解解法求解.接开平方法与因式分

法(3)公式法:一元二次方程2++。=0的求根公式为解法，不能用这两种方

(加-4>0).法解时，再用公式法.

⑷配方法：当一元二次方程的二次项系数为1,一次例：把方程x2+63=0

项系数为偶数时，也可以考虑用配方法.变形为()2的形式后，

36.

知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

例：方程一+2》-1=0的

(1)当A=b2-4ac>0时，原方程有两个不相等的实数根.

判别式等于3,故该方

3.根的(2)当/="一4枇/时，原方程有两个相等的实数根.

程有两个不相等的实

判别

(3)当/=廿_4公£0时，原方程没有实数根.数根；方程公+2»3=0

式

的判别式等于二3,故

该方程没有实数根.

(I)基本关系：若关于X的一元二次方程203#0)与一元二次方程两根

有两个根分别为用、与，则的21热.注意运用根与系相关代数式的常见变

数关系的前提条件是4AO.形：

*4.根与

(2)解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根(x1+l)(x2+l)1x2+(x12)

系数

22=2

的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有X12、+112(X12)-2X1X2,

的关

X1X2的式子，再运用根与系数的关系求解.等.

系

失分点警示

在运用根与系数关系

解题时，注意前提条件

时△ZdX).

知识点三：一元二次方程的应用

(1)解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二

次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意

义；⑥作答.

(2)应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面

积问题等方面应用.

4.歹U—1

①平均增长率(降低率)问题：公式：6=a(l±A)n,运用一元二次方程解

元二

a表示基数，x表示平均增长率(降低率)，刀表示决实际问题时，方程一

次方

变化的次数，b表示变化刀次后的量；般有两个实数根，则必

程解

②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本X须要根据题意检验根

应用

100%;是否有意义.

题

③传播、比赛问题：

④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；

b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运

用面积之间的关系列方程.

第7讲分式方程

知识点一：分式方程及其解法关键点拨及对应举例

例：在下列方程中，①f+l=o；②

分母中含有未知数的方程叫做分式方

1.定义X+y=-4；③，其中是分式方程的

程.

是③

方程两边同

基本思路”一式方程

/土Zk

整式方程

2.解分式例：将方程转化为整式方程可得：

方程l-2=2(x-l).

解法步骤：

⑴去分母，将分式方程化为整式方程；

⑵解所得的整式方程；

⑶检验：把所求得的X的值代入最简公

分母中，若最简公分母为0,则应舍去.

例：若分式方程有增根，则增根为

3.增根使分式方程中的分母为0的根即为增根.

1.

知识点二：分式方程的应用

4.列分式在检验这一步中，既要检验所求未

方程解知数的值是不是所列分式方程的

(1)审题；⑵设未知数；⑶列分式方程；

应用题解，又要检验所求未知数的值是不

(4)解分式方程；(5)检验：(6)作答.

的一般是符合题目的实际意义.

步骤

第8讲一元一次不等式(组)

关键点拨及对应举

知识点一：不等式及其基本性质

例

(1)不等式：用不等号(>,>,<,&或均表示不

1•不等

等关系的式子.例："a与b的差不大

式的

(2)不等式的解：使不等式成立的未知数的值.于1”用不等式表示为

相关

(3)不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值a—b<1.

概念

范围.

牢记不等式性质3,注

2不等

性质1：若a>b,则a±c>b±c',意变号.

式的

性质2：若a>>0,则>，如：在不等式一2x>4

CC

基本

性质3：若a><0,则<,巴中，若将不等式两边同

CC

性质

时除以一2,可得xv2.

知识点二：一元一次不等式

用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项例：若7nxm+2+3>o是关于

3定义的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一X的一元一次不等式，

次不等式.则m的值为-L

(1)步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；

失分点警示

系数化为1.

系数化为1时，注意系

(2)解集在数轴上表示：

4.解法数的正负性，若系数是

na0ci0a"0a

负数，则不等式改变方

x>ax>ax<a

向.

x<a

知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法

5定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一(1)在表示解集时

起，就组成一个一元一次不等式组.“>”，表示

先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公含有，要用实心圆点

5解法

共部分表示；

假设av表示不包含要用空心

解集数轴表示口诀

b圆点表示.

x>b_______.大大取大（2）已知不等式（组）

h

的解集情况，求字母

x《a小小取小

系数时，一般先视字

aWx大小，小大中间

7.不等d__1____

h母系数为常数，再逆

4b找

式组

用不等式（组）解集

解集

的定义，反推出含字

的类

母的方程，最后求出

型

大大，小小取不字母的值.

无解「L.

ah

T如：已知不等式（1）x

VI的解集是X>-1,

则a的取值范围是a

<1.

知识点四：列不等式解决简单的实际问题

8.列不（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；注意：

等式列不等式；解不等式；验检是否有意义.列不等式解决实际问题

解应（2）应用不等式解决问题的情况：中，设未知数时，不应

用题a.关键词：含有“至少（>）”、"最多（<）”、“不带“至少”、“最多”等

低于（》）"、“不高于（&）”、“不大（小）于"、字眼，与方程中设未知

“超过（>）”、“不足（V）”等；数一致.

b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方

案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方

案

第9讲平面直角坐标系与函数

关键点拨及对应

知识点一：平面直角坐标系

举例

（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴

点的坐标先读横

1.相关概构成平面直角坐标系.

坐标（X轴），再读

念（2）几何意义：坐标平面内任意一点"与有序实数对（x,

纵坐标（y轴）.

切的关系是一一对应.

（1）各象限内点的坐标的符号特（1）坐标轴上的

第二象限2-第一象限

_（+，+）

征（如图所示）：一:111广点不属于任何

-3-2-1O123

第三象限-1_第四象限

点H）在第一象限QX^O,yL—工-（+，—）象限.

>0;（2）平面直角坐

2点的坐点K）在第二象限QX^O,y>0;标系中图形的

标特征点F（）在第三象限oxWO,y<0;平移，图形上所

点尸（）在第四象限=x?0,y<0.有点的坐标变

⑵坐标轴上点的坐标特征：化情况相同.

①在横轴上Qy=0;②在纵轴上=x=0；③原点=x=0,

y=o.