勾股定理(全课时)教案 2022-2023学年人教版数学八年级下册

17.1勾股定理全本教案（共3课时）

第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

L了解勾股定理的文化背景，了解利用拼图验证勾股定理的方

法.

2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算.

【过程与方法】

1.在勾股定理的探索过程中，经历观察一一猜想一一归纳一一验

证的数学发现过程.

2.发展合情推理的能力,体会数形结合思想、由特殊到一般的数

学思想、分类讨论思想.

【情感态度与价值观】

通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价

值;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心，激

发学生的民族自豪感和爱国情怀.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时共3课时

四、教学重难点

【教学重点】

探索和验证勾股定理,并能应用其进行简单的计算.

【教学难点】

用拼图的方法验证勾股定理.

五、课前准备

教师：课件、三角尺、直尺、方格纸、三角模型等.

学生：三角尺、铅笔、练习本、方格纸、三角模型.

六、教学过程

（一）导入新课（出示课件2）

引导学生观察勾股定理相关图片，引出本节要学知识

（二）探索新知

1.出示课件4-10,探究勾股定理的认识与证明

相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家做客，发现朋友家

用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们

也来观察一下图案，看看你能发现什么数量关系？

学生1回答：直角三角形的两条直角边和斜边都是正方形的边

学生2回答：斜边正方形的边长最大.

教师问：三个正方形A,B,C的面积有什么关系？

教师依次展示下列问题:

看图完成下面的题目:

(1)A中含有一个小方格，即A的面积是个单位面积.

(2)B的面积是个单位面积.

(3)C的面积是个单位面积.

学生1回答：(1)A中含有9个小方格，即A的面积是9个单位

面积.

学生2回答：（2）B的面积是2个单位面积.

学生3回答：（3）C的面积是四个单位面积.

教师问：三个正方形A,B,C的面积有什么关系？

学生回答：图1中三个正方形A,B,C的面积之间的数量关系

是:SA+SB=SC

教师问：SA+SB=SC在图2中还成立吗？

学生讨论后回答：仍然成立.

教师问：你是如何得到结果的呢？

学生回答:A的面积是16个单位面积.B的面积是9个单位面积.C

的面积是25个单位面积.

教师问：你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流交流.

学生回答：如下图所示:

教师问：至此，我们在网格中验证了：直角三角形两条直角边上

的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SC.去掉网格结

论会改变吗？

学生回答：不会.

教师问：式子SA+SB=SC能用直角三角形的三边Q、b、C来表示吗？

师生一起解答：如图所示：

教师问：去掉正方形结论会改变吗?

学生回答：不会.

教师问：那么直角三角形三边。、b、C之间的关系式是什么呢?

学生回答：«2+b2=c2

教师：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为C,

那么t/2+b2=c2.

如何利用拼图证明呢？

师生一起看数学家的证明：

是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜

想还不能把问题彻底搞清楚.

这就需要我们对一般的直角三角形进行证明.下面我们就一起来

探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的.

教师依次展示各种证明方法：

(1)赵爽拼图证明法：

以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正

方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子.你能做到吗？

试试看.

小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方

形，拼成一个新的正方形.

剪、拼过程展示：(出示课件11)

教师问：如何进行证明呢？

师生共同讨论后解答如下：

证明：大正方形=c2，S小正方形=(b-加；

二•S大正方形=4#S三角形+S小正方形，

.\c2=4X-a/7+(b-Q)2=6f2+b2

2

(2)毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图

示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.(出示课件13)

教师问：观看拼图过程演示后，你能证明吗？

师生共同讨论后解答如下：

证明：

***s大正方形二(a+b)二。2+£+2出),

S大正方形=4S宜角三角形+S小正方形

=4X-ab+c2

2

=c?+2ab,

Q-+b2+2ab=c?+2ab，

a2+b2=c2.

(3)美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.

如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：tz2+b2=c2.

b

教师问：你能证明上边的问题吗?

学生讨论后回答：

证明：

,.'S梯形(a+b)(a+b),

S«jf^=-tzb+-«b+-c2,

/.a2+b2=c2.

教师总结归纳；(出示课件16)

勾股定理

如果直角三角形两直角边分别为。、b,斜边为C,那么"+b2=c2.

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

公式变形

勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方

和等于斜边的平方.

出示课件18,学生口答，教师订正。

考点1:利用勾股定理求直角三角形的边长

如图，在RtZ^ABC中，NC=90°.（出示课件19）

(1)若a=b=5,求c;

(2)若a-1,c=2,求b.

师生共同讨论解答如下：

解：(1)据勾股定理得

c=Jk+6。=<5+5，==5v2;

(2)据勾股定理得

5二-a2—Jj2

出示课件20,学生自主练习后口答，教师订正.

考点2：勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长

在RtaABC中，ZC=90°.(出示课件21)

(1)若a：b=l：2,c=5,求a;

(2)若b=15,NA=30°,求a,c.

学生独立思考后，师生共同解答.

解：(1)设斫x,b=2x,根据勾股定理建立方程得X2+(2X)2=52,

解得(舍去)=B

⑵Z.A—30°力=15,c=2a.

因此设行x,c=2x,根据勾股定理建立方程得（2x）2-x2=E,

解得、•二〉&（舍去）

,T=-5X/3

:.a=5+,c=IOA/J.

总结点拨：（出示课件21）

已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方

程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.

出示课件22,学生自主练习后口答，教师订正.

教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么

样吧。

（三）课堂练习（出示课件23-27）

练习课件第23-27页题目，约用时20分钟.

（四）课堂小结（出示课件28）

内容

如果直角三角形的两直角边长分别为mb,斜边

勾股定理

长为c,那么a2+b2=c2.

1.在直角三角形中

注意2.看清哪个角是直角

3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要

分类讨论

（五）课前预习

预习下节课（17.1第2课时）的相关内容.

会用勾股定理解决实际问题.

七、课后作业

教材第24页练习第1,2题.

八、板书设计

勾股定理第1课时

1.探索勾股定理

2.勾股定理的证明

考点1考点2

3.例题讲解

九、教学反思

成功之处：本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应

的教学目标.把学生的探索和验证活动放在首位，一方面要求学生在

老师的引导下自主探索，合作交流，另一方面要求学生对探究过程中

用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，达到培养能力的目的.整

节课以“问题情境一一分析探究一一得出猜想一一实践验证一一总结

升华”为主线，使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程,努力做到

由传统的数学课堂向实验课堂转变.

不足之处：在教学过程中，高估了学生证明勾股定理的能力,主要

困难在于一些学生不能对图形进行正确的割补.对图形的割补过程没

有给学生详细的呈现.

补救措施：适当增加学生拼图的时间，通过实践操作，画图分析,

独立分析证明思路,正确完成证明过程.

17.1勾股定理

第2课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.能应用勾股定理计算直角三角形的边长.

2.能应用勾股定理解决简单的实际问题.

3.能说出勾股定理,能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的

实际问题.

【过程与方法】

1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想,

培养学生解决现实问题的意识和能力.

2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,进一步体会勾股

定理的应用方法.

【情感态度与价值观】

在例题分析和解决过程中，让学生感受勾股定理在实际生活中的

应用.同时在学习过程中体会获得成功的喜悦，提高学生学习数学的

兴趣和信心.

二、课型

新授课

三、课时

第2课时共3课时

15/32

四、教学重难点

【教学重点】

运用勾股定理解决实际问题.

【教学难点】

勾股定理的灵活运用.

五、课前准备

教师：课件、三角尺、直尺等.

学生：三角尺、铅笔、直尺、练习本、三角形模型.

六、教学过程

（-）导入新课（出示课件2）

波平如镜一湖面，3尺高处出红莲.

亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.

离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲.

请君动脑想一想，湖水在此深几尺？

示意图见课件，就是求AD的长

教师：这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题，学完本节

课知识后，自己再想想怎么计算此题吧！

（二）探索新知

1.出示课件4-6,探究勾股定理解决线段长度问题

教师问：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方

16/32

形薄木板能否从门框内通过？为什么？

学生答：不能，因为木板的长3m大于2m,宽2.2m大于1m.

教师问：木板能横着或竖着从门框通过吗？

学生答：不能.

教师问：这个门框能通过的最大长度是多少？

学生讨论后回答：如图所示，小于线段AC的长度才可以.

m

17/32

教师问：怎样判定这块木板能否通过木框？

学生回答：求出斜边AC的长，与木板的宽比较.

师生一起解答：

解：在RtZ\ABC中，根据勾股定理，

AC2=AB2+BC2=l2+22=5.

AC=V5^2.24.

因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.

出示课件7,学生自主练习后口答，教师订正.

2.出示课件8-9,探究勾股定理解决线段移动问题

教师问：如图，一架2.6米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙A0上,

这时A0为2.4米.求梯子的底端B距墙角0多少米？

学生回答：

解：(1)在RtZ\AOB中，根据勾股定理,

0B2=AB-0A2=2.6-2.42=1.

OB=1.

18/32

答：梯子的底端B距墙角。为1米.

教师问：如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也

外移0.5米吗？

学生回答：在Rt^COD中，根据勾股定理，

0D2=CD-0C2=2.6-（2.4-0.5）2=3.15.

0D=V3J5^1.77.BD=OD-OB^1.77-1=0.77

答：梯子底端B也外移约0.77米.

出示课件10,学生自主练习后口答，教师订正.

教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么

样吧。

（三）课堂练习（出示课件12-19）

练习课件第12-19页题目，约用时20分钟.

（四）课堂小结（出示课件20）

用勾股定理计算时,要先画好图形,并标好图形,理清各边之间的

关系,再灵活运用勾股定理计算.在利用勾股定理进行有关计算和证

明时,要注意运用方程的思想;求直角三角形有关线段的长,有时还要

运用转化的数学思想,或利用添加辅助线的方法构造直角三角形,再

运用勾股定理求解.

（五）课前预习

预习下节课（17.1第3课时）的相关内容.

知道如何在数轴上标出无理数及构造直角三角形表示出无理数.

19/32

七、课后作业

教材第26页练习第1,2题.

八、板书设计

勾股定理第2课时

1.解决线段长度问题

2.解决线段移动问题

3.例题讲解

九、教学反思

成功之处：本节课运用勾股定理解决实际问题,整节课注重基础,

通过分类探索，由浅入深,注重讲练结合，引导学生独立分析，自主学

习，提高学生运用勾股定理解决简单问题的能力.虽然只是勾股定理

的实际应用这一知识点，但是涉及生产生活的各个方面，受时间约束

无法一一列举,本课中的三个例子缺乏开放性.

补救措施：在问题设计上，进一步注意层次性、开放性，并增加每

一类题目的变式训练题,提高学生分析问题和解决问题的能力.同时,

在后续学习中加强与勾股定理的综合运用训练.

20/32

17.1勾股定理

第3课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.利用勾股定理,能在数轴上找到表示无理数的点.

2.进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用

勾股定理解决简单的实际问题.

【过程与方法】

1.经历在数轴上寻找表示无理数的点的过程,发展学生灵活运用

勾股定理解决问题的能力.

2.在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，

发展学生的动手操作能力和创新精神.

3.在解决实际问题的过程中，学会与人合作,并能与他人交流思

维过程和结果,形成反思的意识.

【情感态度与价值观】

1.在利用勾股定理寻找数轴上表示无理数的点的过程中，体会勾

股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志,建

立自信心.

2.在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑

和独立思考的习惯.

二、课型

新授课

21/32

三、课时

第3课时共3课时

四、教学重难点

【教学重点】

能利用勾股定理在数轴上表示无理数.

【教学难点】

利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段.

五、课前准备

教师：课件、三角尺、直尺、圆规等.

学生：复习尺规作图的有关知识,准备三角板、直尺、圆规、铅

笔.

六、教学过程

（一）导入新课（出示课件2）

欣赏课件中海螺的图片：

在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，如第七届国际数

学教育大会的会徽.

这个图是怎样绘制出来的呢？这就是今天我们探究的问题.

（二）探索新知

22/32

1.出示课件4-5,探究证明“HL”

教师问：在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和

一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你

能证明这一结论吗？

教师展示问题：

已知：如图，在RtZkABC和RtZkA'B'C中，NC=NC'=90°，

AB=A'B',AC=A'C.

求证：Z^ABC丝AA'B'C'.

学生讨论后回答：

证明：在Rt^ABC和Rt^A'B,C'中，ZC=ZCZ=90°,根据

22

JZB，-A,C/.

VAB=A/B',

AC=A'C,

.,.BC=B'C.

.,.△ABC^AA7B'C(SSS).

2.出示课件6-8,探究利用勾股定理在数轴上确定无理数

23/32

教师问：你能在数轴上表示出鱼的点吗？呢？

师生一起解答：（出示课件6）放幻灯片，展示作图过程.

教师问：用同样的方法作V4,V5,V6,呢？

学生答：如下图所示（放映幻灯片，展示作图过程）

总结点拨：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在

数轴上画出表示该无理数的点.

教师问：长为VII的线段是直角边的长都为正整数的直角三角形

的斜边吗？

教师依次展示学生的解答如下：

学生1解答：

月/?

/卜皈=243

1

学生2解答：

24/32

学生3解答:

教师总结如下，其中后两种符合要求.

教师问：根据上面问题你能在数轴上画出表示的点吗？

师生总结如下：

步骤：

1.在数轴上找到点A,使0A=3;

2.作直线1J_OA,在1上取一点B,使AB=2;

3.以原点。为圆心，以0B为半径作弧，弧与数轴交于C点，则

点C即为表示后的点.

25/32

总结点拨(出示课件9)

利用勾股定理表示无理数的方法：

(1)利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正数的直

角三角形的斜边.

(2)以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交

点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理

数.

考点1：利用勾股定理在数轴上确定无理数的点

在数轴上作出表示g的点.(出示课件10)

师生共同讨论解答如下：

解：作法：

(1)在数轴上找到点A,使0A=l；

(2)过点A作直线垂直于0A,在直线上取点B,使AB=4,那么

0B=V17;

(3)以原点。为圆心，以0B为半径作弧，弧与数轴交于点C,

则0C="7.

如图，在数轴上，点C为表示旧的点.

26/32

出示课件11,学生自主练习后口答，教师订正.

3.出示课件12-13,探究利用勾股定理在网格上做长度为无理数

的线段

教师问：在5X5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,

请在给定网格中以A出发分别画出长度为鱼，遍，遮的线段AB.

教师展示答案如下：

学生1回答：

加=拒

学生2解答:

27/32

.484

学生3解答:

加=店

教师追问：如图为4X4的正方形网格，以格点与点A为端点，你

能画出几条边长为国的线段？

学生讨论后回答：如图所示:

总结点拨：（出示课件13）

勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构

成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.

考点1：利用勾股定理在网格上作线段

如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的

直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为遥的线段？（出示

28/32

课件14）

学生独立思考后，师生共同解答.

解：如图所不，有8条.

总结点拨：（出示课件14）

一个点一个点地找，不要漏解.

出示课件15,学生自主练习后口答，教师订正.

4.利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度

如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠,

使点B落在CD边上的夕处，点A的对应点为A',且夕C=3,求

AM的长.（出示课件16）

学生独立思考后，师生共同解答.

解：连接BM,MB'.设AM=x,

29/32

在Rt^ABM中，AB2+AM2=BM2.

在RtZ\MDB'中，MD2+DB/2=MB