等腰三角形-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）

专题22等腰三角形

【知识要点】

等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。

等腰三角形性质：

1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）

等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边“）.

等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。

等边三角形性质和判定：

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。

（-4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（补充：

（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。

（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线

【考查题型】

考查题型一等腰三角形的定义

【解题思路】考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情

况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.

典例1.（2020・贵州黔南布依族苗族自治州•中考真题）已知等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,则

它的周长为（）

A.9B.17或22C.17D.22

【答案】D

【提示】分类讨论腰为4和腰为9,再应用三角形的三边关系进行取舍即可.

【详解】解：分两种情况：

当腰为4时，4+4<9,所以不能构成三角形；

当腰为9时，9+9>4,9-9<4,所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22.

故选：D.

变式1-1.（2020•广西玉林市•中考真题）如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方

向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A,B,C三岛组成一个（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形

【答案】A

【提示】先根据方位角的定义分别可求出NC4£>=35o,NBAZ）=80o,NCBE=55。，再根据角的和差、

平行线的性质可得N5AC=45。，ZAB£=1OO°,从而可得NABC=45。，然后根据三角形的内角和定

理可得NC=90°,最后根据等腰直角三角形的定义即可得.

【详解】由方位角的定义得：ZC4D=35°,ABAD=80°,Z.CBE=55°

ABAC=NBAD-ACAD=80°-35°=45°

由题意得：AD//BE

ZABE=180。—NBAD=180。—80。=100°

ZABC=ZABE-ZCBE=100°-55°=45°

NBAC=NABC=45°

由三角形的内角和定理得：ZC=180°-ABAC-ZABC=90°

：OABC是等腰直角三角形

即A,B,C三岛组成•个等腰直角三角形

故选：A.

变式1-2.（2020•青海中考真题）等腰三角形的一个内角为70。，则另外两个内角的度数分别是（）

A.55°,55°B.70°,40。或70°,55°

C.70°,40°D.55°,55°或70°,40°

【答案】D

【提示】先根据等腰三角形的定义，分70。的内角为顶角和70°的内角为底角两种情况，再分别根据三角

形的内角和定理即可得.

【详解】（1）当70°的内角为这个等腰三角形的顶角

iono_7仆＞

则另外两个内角均为底角，它们的度数为^小。

（2）当70。的内角为这个等腰三角形的底角

则另两个内角一个为底角，一个为顶角

底角为70°,顶角为180P—7（r-7（r=40°

综上，另外两个内角的度数分别是55°,55。或70。,40°

故选：D.

变式1-3.（2020・湖南张家界市•中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程/一6X+8=0

的两根，则该等腰三角形的底边长为（）

A.2B.4C.8D.2或4

【答案】A【提示】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边

长，即可得出答案.

【详解】解：X2—6x+8=0

（x—4）（x—2）=0

解得：x=4或x=2,

当等腰三角形的三边为2,2,4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；

当等腰三角形的三边为2,4,4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，

所以三角形的底边长为2,故选：A.

考查题型二根据等边对等角求角度

典例2.（2020・广西中考真题）如图，是□。的弦，/C与I。相切于点力,连接。4,OB,若NO=

130°,则/历1C的度数是（）

C

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】B

【提示】利用切线的性质及等腰三角形的性质求出/O/C及/0/8即可解决问题.

【详解】解：•••「c与。。相切于点a

J.ACLOA,

.../O4C=90。，

"：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA.

VZ0=130°,

180°—NO

：.ZOAB==25°,

2

.,.N8/C=NO/C-/048=90。-25。=65。.故选：B.

变式2-1.（2020•甘肃兰州市•中考真题）如图，ABUCD,AD=CD,Nl=65。，则N2的度数是

（）

A.50°B.60°C.65°D.70°

【答案】A【提示】利用平行线的性质结合等腰三角形的性质求出/CAD,再根据三角形内角和定理求出

Z2.

【详解】解：；AB〃CD,.,.Z1=ZACD=65O,

VAD=CD,.*.ZDCA=ZCAD=65°,

.,./2=180。-65。-65。=50。.故选：A.

变式2-2.（2020•山东临沂市•中考真题）如图，在DABC中，AB=AC,乙4=40°，CD//AB,则

NBCD=()

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【提示】先根据等腰三角形的性质得到NB的度数，再根据平行线的性质得到NBCD.

【详解】解：VAB=AC,ZA=40a,AZB=ZACB=70°,

VCD//AB,AZBCD=ZB=70°,故选D.

变式2-3.（2020•浙江温州市•中考真题）如图，在AABC中，ZA=40°,AB=AC,点D在AC边上，以

CB,CD为边作nBCDE,则NE的度数为（）

【答案】D【提示】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出NC的度数，再根据平行四边形

的性质解答即可.

【详解】解：•.•N/=40°,AB=AC,

:.NABC=NC=70。,

•••四边形ABCD是平行四边形，

NE=NC=70°.

故选：D.

考查题型三根据三线合一求解

典例3.（2020•广东深圳市•中考真题）如图，已知BC=6,尺规作图痕迹可求出8Q=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B【提示】根据尺规作图的方法步骤判断即可.

【详解】由作图痕迹可知AD为ZBAC的角平分线，而AB=AC,

由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，」.BD=3,故选B

变式3-1.（2020•铜仁市•中考真题）已知等边三角形一边上的高为2后，则它的边长为（）

A.2B.3C.4D.4石

【答案】C【提示】根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解即可.

【详解】根据等边三角形的三线合一性质：

设它的边长为X,可得：X2--+（2逐）2,

解得：x=4,x=-4（舍去），

故选：C.

变式3-2.（2020•四川中考真题）已知：等腰直角三角形/8C的腰长为4,点〃在斜边48上，点尸为该

平面内一动点，且满足PC=2,则PW的最小值为（）

A.2B.20-2C.272+2D.272

【答案】B【提示】根据等腰直角三角形的性质得到斜边/8=4&.由已知条件得到点P在以C为圆

心，PC为半径的圆上，当点尸在斜边的中线上时，的值最小，于是得到结论.

【详解】解：•••等腰宜角三角形/8C的腰长为4,

斜边48=4拉，

,••点尸为该平面内一动点，且满足PC=2,

.•.点尸在以C为圆心，尸C为半径的圆上，

当点尸在斜边的中线上时，尸加的值最小，

•••△/8C是等腰直角三角形，

：.CM=^-AB=2yf2

'：PC=2,

:.PM=CM-CP=2显-2,

考查题型四格点中画等腰三角形

典例4在如图所示的网格纸中，有48两个格点，试取格点C,使得△ABC是等腰三角形，则这样的格

点C的个数是（）

【答案】C【提示】分ZB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与N、8顶点相对的顶点，连接即

可得到等腰三角形，是底边时、根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，垂直平分线

上的格点都可以作为点C,然后相加即可得解.

【详解】

分情况讨论：

①48为等腰△/8C的底边时，符合条件的C点有4个；

②AB为等腰ZS/BC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.

故选C.

变式4-1.（2020•山东枣庄市一模）如图，A、B是4x5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是

1,图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（）

【答案】B【详解】解：A、B是4x5网格中的格点,

AB=722+32=A^3，

同理可得，AC=BD=AC=V13-

所求三角形有：［ABD,OABC,CABE.如图:

故选B.

变式4-2.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1.已知A、B是两格点，若DABC为等腰三角

形，且SAABC=L5,则满足条件的格点C有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B【解析】试题提示：如下图，ABC为等腰三角形，点C的位置一共有6种可能，其中满足面

积为1.5的，只有C5和C6.

考查题型五根据等角对等边证明等腰三角形

典例5.要使得AABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（）

A.ZA=50°,ZB=60°B.ZA=50°,ZB=100°C.ZA+ZB=90°D.ZA+-ZB=90°

2

【答案】D【提示】根据三角形的内角和是180。结合选项中的条件能够证得有两个角相等即为等腰三角

形.

【详解】解：A、71=50°,8=60。,

匚匚C=180°-匚2=70°,

所以口/彳B/C,

所以△/BC不是等腰三角形；

B、口口/=50。，05=100°,

口匚C=180°-L]/-C]8=30°,

所以□/丹琼」C,

所以△/8C不是等腰三角形；

C、/+口8=90。不能判定A/BC是等腰三角形；

1

D、A+-8=90°,

2

则2U+OS=180°,

□□J+D5+nC=180°,

A=C,

所以A/BC是等腰三角形.

故选D.

变式5-1.（2020・无锡市模拟）下列能断定AABC为等腰三角形的是（）

A.ZA=40°,ZB=50°B.ZA=2ZB=70°

C.ZA=40°,ZB=70°D.AB=3,BC=6,周长为14

【答案】C【提示】根据三角形内角和计算角的度数，判断三角形中是否有相等的角；根据三角形的周长

计算是否有相等的边即可判断.

【详解】A./©=180。-4（）。-50。=90。，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误；

B、,."ZA=2ZB=70°,

ZB=35°,

AZC=75°,没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误；

C、ZC=180°-400-70°=700,有相等的角，则是等腰三角形，本选项正确；

D、VAB=3,BC=6,周长为14,

.•.AC=14-6-3=5,没有相等的边，则不是等腰三角形，本选项错误；

故选C.

变式5-2.如图，在AABC中，AB=AC,BO、CO分别平分/ABC、ZACB,DE经过点O,且

DE〃BC,DE分别交AB、AC于D、E,则图中等腰三角形的个数为（）

A

A.2B.3C.4D.5

【答案】D【提示】根据等腰三角形的判定定理，即可得到答案.

【详解】：在△ABC中，AB=AC,

.♦.△ABC是等腰三角形，ZABC=UACB,

VDE/7BC,

ADE=ZABC,ZAED=ACB

二ADE=ZAED,

.♦.△ADE是等腰三角形，

•.•BO、CO分别平分NABC、ZACB,

11

.\ZOBC=-ABCOCB=-ACB

22

.\ZOBC=EOCB]

.•.△OBC是等腰三角形，

：DE〃BC,BO、CO分别平分NABC、ZACB,

，ZDBO=riOBC=ZDOBnnECO=llOCB=EOC

AADBO,ZiECO是等腰三角形，

，图中由5个等腰三角形，

故选D.

考查题型六根据等角对等边求边长

典例6.（2020•山东青岛市•中考真题）如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF,EF

与AC交于点。若AE=5,3/=3,则AO的长为（）

_3__

A.亚B.C.2旧D.4正

【答案】C【提示】先证明AE=AF，再求解A5,AC,利用轴对称可得答案.

【详解】解：由对折可得：ZAFO=NCFO,AF=CF,

•••矩形A83

:.AD//BC,ZB=90°,

:.ZCFO=ZAEO,

ZAFO^ZAEO,

AE=AF=5=CF,

;BF=3,

AB=^AF2-BF2=4,BC=8

AC=VAB2+BC2=J16+64=4石，

由对折得：QA=0C='AC=26.

2

故选C.

变式6-1.（2020•山东济宁市•中考真题）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后

到达海岛B处.灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42。方向上，在海岛B的北偏西84。方向上.则海岛B到

灯塔C的距离是（）

A.15海里B.20海里C.30海里D.60海里

【答案】C

【提示】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出NC=NCAB=42。，根据等角对等边得出BC=AB,

求出AB即可.

【详解】解：：根据题意得：ZCBD=84°,ZCAB=42°,

:.ZC=ZCBD-ZCAB=42°=ZCAB,

；.BC=AB,

VAB=15海里/时x2时=30海里，

二BC=30海里，

即海岛B到灯塔C的距离是30海里.

故选c.

变式6・2.（2020•河北九年级其他模拟）如图，在日ABCD中，AB=8,BC=5,以点A为圆心，以任意长

为半径作弧，分别交AD、AB于点P、Q,再分别以P、。为圆心，以大于;P0的长为半径作弧，两弧在

ND48内交于点连接力〃并延长交CC于点E,则CE的长为（）

A.3B.5C.2D.6.5

【答案】A

【提示】根据作图过程可得得AE平分NDAB；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明

ZDAE=ZDEA,证出AD=DE=5,即可得出CE的长.

【详解】解：根据作图的方法得：AE平分NDAB,

AZDAE=ZEAB,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

ADC//AB,AD=BC=5,

AZDEA=ZEAB,

AZDAE=ZDEA,

/.AD=DE=5,

.•.CE=DC-DE=8-5=3；

故选A.

考查题型七等腰三角形性质与判定的综合

典例7.（2020•浙江绍兴市•中考真题）问题：如图，在中，BA=BD.在8。的延长线上取点E,

C,作△/EC,使E/=EC,若N8/E=90°,/8=45。，求ND4C的度数.

答案：□DACC450

思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“22=45°”去掉，其余条件不变，那么/D4c的度数会改变

吗？说明理由；

(2)如果把以上“问题”中的条件“N8=45°”去掉，再将"NB4E=9Q°”改为“NBAE=〃。”,其

余条件不变，求/D4c的度数.

【答案】(1)NO4c的度数不会改变，值为45°；(2).

【提示】

(1)根据等腰三角形的性质得到/ZED=2NC,①求得/D4E=90°-/BAD=90°-(45°+ZC)=

45°-ZC,②由①，②即可得到结论；

(2)设,根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论.

【详解】

解：(1)/D4c的度数不会改变；

"：EA=EC,

：.ZXE£)=2ZC,J

VZBAE=90°,

：.ZBAD=^-[180°-(90°-2ZC)]=45°+ZC,

；.ND4E=90°-ZBAD^90a-(45°+ZC)=45°-ZC,□

由「，口得，ZDAC^ZDAE+ZCAE=45'>；

(2)设N/8C="?°,

则(180°-m°)=90°-—m°,ZAEB=18OQ-n°-m°,

22

AZDAE=na-ZBAD=n°-90°+—m°,

2

,:EA=EC,

：.ZCAE=—ZAEB=90°-—n°-—mQ,

222

/.ZDAC=ZDAE+ZCAE=nQ-90°+—m°+90°-—n°-—m°=—n°.

2222

变式7-1.（2020•江苏淮安市•中考真题）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得

NCA6=30。，NABC=45。，AC=8千米，求A、8两点间的距离.（参考数据：0al.4，

上=1.7，结果精确到1千米）.

【答案】A、B两点间的距离约为11千米.

【提示】

如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD、AD的长，再根据等腰直角三角形的判

定与性质可得BD的长，然后根据线段的和差即可得.

【详解】

如图，过点C作。于点D

•.•在对△ACO中，ZCAD=3Q°,AC=8千米

.-.CD=1AC=|X8=4（千米），AD=」AC2-CD2=荷-4?=4后（千米）

•.•在出口3。。中，ZDBC=45°

RtQBCD是等腰直角三角形

I3D=8=4千米

=A£>+50=473+4®4xl.7+4=10.8«ll（千米）

答：A、8两点间的距离约为11千米.

变式7-2.（2020•辽宁鞍山市•中考真题）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN

为立柱的一部分，灯臂AC,支架BC与立柱MN分别交于/,8两点，灯臂AC与支架交于点C,

已知/MAC=60。，ZACB=15°,AC=40cm,求支架BC的长.（结果精确到1cm,参考数据:

>/2«l,414.石。1.732，76«2.449）

【答案】49cm

【提示】

过点C作CD_LMN,垂足为D,分别解4ACD和ABCD,即可得到结果.

【详解】

解：过点C作CDLMN,垂足为D,

VZMAC=60°,ZACB=15°,

AZABC=60o-15°=45°,ZACD=30°,

.".△BCD是等腰直角三角形，

*.*AC=40cm,

A在RtAACD中，AD=-AC=20cm,

2

•*-CD=V402-202=2()6cm,

在RtABCD中，BC=y/2CD=2076®49cm,

支架BC的长为49cm.

N

图2

考查题型八等边三角形的性质

典例8.（2020•福建中考真题）如图，面积为1的等边三角形ABC中，。，笈口分别是4台，BC,CA

的中点，则AD斯的面积是（）

234

【答案】D

【提示】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形，即可判断一个的面积是

4

【详解】；瓦尸分别是AB,BC,CA的中点，且AABC是等边三角形，

AADF^ADBE^AFEC^ADFE,

...△DEF的面积是

4

故选D.

变式8-1.（2020•山西中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花.图①中的

摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到

AC=BD=12cm,C，。两点之间的距离为4c〃?，圆心角为60°,则图中摆盘的面积是（）

图①图②

22

A.80/rcmB.40/rcmC.24兀dD.2^cm2

【答案】B

【提示】先证明△COD是等边三角形，求解OC,。。，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得答

案.

【详解】解：如图，连接CD，

OC=OD,ZCOD=6Q°,

.•□COD是等边三角形，

•••CO=4,

/.oc=OD=4,

•.•AC=5。=12,

.•.04=03=16,

所以则图中摆盘的面积S扇畴。厂S扇形诩=嗤产-端£=40万加.

故选B.

变式8・2.（2019•甘肃天水市•中考真题）如图，等边口。43的边长为2,则点3的坐标为（）

A.（1,1）B.（1,73）C.（73,1）D.（布,邪）

【答案】B

【提示】过点B作于”点，由勾股定理求出BH的长，即可求出点B的坐标.

【详解】过点8作于"点，口045是等边三角形，

OH=\,8/7=5/22/2=5

点8的坐标为（1,、8）.

故选B.

考查题型九等边三角形的性质与判定的综合

典例9.(2020•内蒙古中考真题)如图，一个人骑自行车由/地到C地途经8地当他由Z地出发时，发现

他的北偏东45。方向有一电视塔尸，他由力地向正北方向骑行了30km到达8地，发现电视塔尸在他北

偏东75。方向，然后他由8地向北偏东15。方向骑行了6km到达C地.

北

二》

A

(1)求力地与电视塔尸的距离；

(2)求C地与电视塔P的距离.

【答案】⑴AP=3+36;⑵6

【提示】

(1)由题意知：匚A=45。，□NBC=15°,NBP=75°,过点B作BELAP于点E,求出AE=BE=3；

(2)先利用三角函数求出BP=6,继而根据方位角求得□CBP=60。，结合BC=6,即可证得BCP是等边三

角形，从而求得答案.

【详解】

(1)由题意知：A=45°,NBC=15°,NBP=75°,

过点B作BEAP于点E,如图，

在RtCJABE中，匚ABE=90°-45°=45°,

AE=BE,

AB=3近，

AE=BE=3,

在Rt匚BEP中，EBP=1800-ABE-nNBP=60°,

PE=BEtan60°=36，

AP=AE+PE=3+3B

（2）BE=3,ZBEP=90°,EBP=60°,

BE/

BP=----------=6,

cos60°

XDCCBP=QNBP-DNBC=75°-15°=60°,BC=6,

匚匚BCP是等边三角形，

□CP=BP=6.

变式9-1.（2020•内蒙古鄂尔多斯市•中考真题）（1）（操作发现）

如图1,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，口A6c的三个顶点均在格点上.

①请按要求画图：将口48。绕点A顺时针方向旋转90。，点B的对应点为点8',点C的对应点为点

C.连接53';

②在①中所画图形中，ZAB'B=°.

（2）（问题解决）

如图2,在R/DA6C中，BC=1,/C=90。，延长CA到D,使CD=1,将斜边AB绕点A顺时针旋转

90。到AE,连接DE,求NADE的度数.

（3）（拓展延伸）

如图3,在四边形ABCD中，AE1BC,垂足为E,NBAE=/ADC,BE=CE=1,CD=3,AD=kAB（k

为常数），求BD的长（用含k的式子表示）.

图1图2图3

【答案】(1)①见解析，②45；(2)135°；(3),4&2+9

【提示】

(1)①根据旋转角，旋转方向画出图形即可.

②只要证明AABB，是等腰直角三角形即可.

(2)如图2,过点E作EHLCD交CD的延长线于H.证明△ABC^^EAH(AAS)即可解决问题.

(3)如图3中，由AELBC,BE=EC,推出AB=AC,将4ABD绕点A逆时针旋转得到AACG,连接

DG.则BD=CG,只要证明NGDC=90。，可得CG=后了二7"，由此即可解决问题.

【详解】

解：(1)①如图，aABC即为所求.

图1

②由作图可知，AABB，是等腰直角三角形,

,NAB'B=45°,

故答案为45.

(2)如图2中，过点E作EHLCD交CD的延长线于H.

图2

ZC=ZBAE=ZH=90°,

/.ZB+ZCAB=90°,ZCAB+ZEAH=90°,

.♦.NB=/EAH,

,.・AB=AE,

AAABC^AEAH(AAS),

ABC=AH,EH=AC,

VBC=CD,

・・・CD=AH,

・・・DH=AC=EH,

・・・NEDH=45。，

.\ZADE=135O.

(3)如图③中，VAE1BC,BE=EC,

・・・AB=AC,将AABD绕点A逆时针旋转得到AACG,连接DG.则BD=CG,

G

图③

\'ZBAD=ZCAG,

AZBAC=ZDAG,

VAB=AC,AD=AG,

JNABC=NACB=NADG=NAGD,

AAABC^AADG,

・.,AD=kAB,

；・DG=kBC=2k,

VZBAE+ZABC