高考数学圆锥曲线考点解析

一、考察定义与标准方程

1（2010上海文数）8.动点P到点尸（2,0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则P的

轨迹方程为_y2=8x。

解析：考查抛物线定义及标准方程

定义知P的轨迹是以尸（2,0）为焦点的抛物线，p=2所以其方程为），=8x

2（2010全国卷2理数）（15）已知抛物线C:y2=2px（p＞0）的准线为/,过/（1,0）且斜

率为百的直线与/相交于点A,与C的一个交点为8.若说'=讪，则〃=.

【答案】2

【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.

【解析】过B作BE垂直于准线/于E,•.•■[/=丽，.•4为中点，=又

斜率为6，NBAE=30°,,iBEkTABl,.•1BM|=|BE|,为抛物线的焦点，二

p=2.

22

3（2010天津文数）（13）已知双曲线0-2r=1（。＞0,。＞0）的一条渐近线方程是丫=岛,

ab

它的一个焦点与抛物线V=16x的焦点相同•则双曲线的方程为。

【答案】--^=1

412

【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。

由渐近线方程可知2=百①

a

因为抛物线的焦点为（4,0）,所以c=4②

又③

联立①②③，解得。2=4,〃=12,所以双曲线的方程为土一匕=1

412

【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解，注意双曲线中c最大。

4.（2009山东卷文）设斜率为2的直线/过抛物线V=ax（a，0）的焦点F,且和y轴交于点

A,若△OAF（O为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为（）.

A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x

【解析】：抛物线y2=ox（aH0）的焦点F坐标为（q,0）,则直线/的方程为y=2（x-q）,

44

它与y轴的交点为A(0,,所以aOAF的面积为@||0|=4,解得a=±8.所以抛物线

2242

方程为y2=±8x,故选B.

答案:B.

【命题立意】：本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面

积的计算.考查数形结合的数学思想，其中还隐含着分类讨论的思想，因参数。的符号不定而

引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况，这里加绝对值号可以做

到合二为一.

二、考察〃力,c,e(或P)之间的关系(知二求二)

1(2010辽宁文数)(9)设双曲线的一个焦点为尸，虚轴的一个端点为8,如果直线尸8与

该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为

(A)V2(B)V3(C).(D)为

22

22

解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：二-4=l(a>08>0),

a

则一个焦点为F(c,0),B(0,b)

一条渐近线斜率为：直线总的斜率为：上，...及=(1c

acac

22

c-a-ac=0f解得e=—="十］.

a2

22

2(2010天津理数)(5)已知双曲线二一2r=l(a>0/>0)的一条渐近线方程是广氐，

ab

它的一个焦点在抛物线V=24x的准线上，则双曲线的方程为

,2222

(A)土-工=1(B)土-匕=1

36108927

2222

©盍啧=1(D)上-匕=1

279

【答案】B

【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的儿何性质与标准方程，属于容易题。

依题意知《

3(2010辽宁理数)(7)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为1,P为抛物线上一点,PAL,A为

垂足.如果直线AF的斜率为那么|PF|=

(A)40(B)8(C)SVJ(D)16

【答案】B

【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，

考查了等价转化的思想。

【解析】抛物线的焦点F(2,0),直线AF的方程为y=-J5(x-2),所以点A(-2,46)、

尸(6,46)，从而|PF|=6+2=8

4(2010广东文数)7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的

离心率是

A&B—C.2D,1

5555

解：设长轴为2°,短轴为2b,焦距为2c,则2a+〃=2x2i

印a+c=3=(a+c)，==4(a*-c‘)

整理得：5c3+2ac-3a'=0,即+2e-3=0ne=£或e=-1皓)，选B

5(2010安徽理数)5、双曲线方程为/-2丁=1,则它的右焦点坐标为

A、与0B、(昌。]C、件,()]D、(V3,0)

13

【解析】双曲线的"=112=±,,2=2c=—,所以右焦点为

222

【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用

=/+从求出c即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为从=1或

从=2,从而得出错误结论.

22

6.(2009宁夏海南卷理)双曲线二-乙=1的焦点到渐近线的距离为

412

(A)273(C)也

|V3x4-0|

解析：双曲线宁-3空的焦点(4,0)到渐近线〉=氏的距离为1==26，选

三、考察焦点三角形

22

1(2010浙江理数)(8)设可、居分别为双曲线三-2r=1(。＞0,。＞0)的左、右焦点,若

CTh

在双曲线右支上存在点P，满足归尸2|=恒居|，且6到直线班的距离等于双曲线的实轴

长，则该双曲线的渐近线方程为

(A)3x±4y=0(B)3x±5y=0(C)4x±3y=0(D)5x±4y=0

解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形J

中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关3^/

系，可知答案选C,本题主要考察三角与双

曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综

合运用知识能力的考察，属中档题

FpF,是双曲线「一4=1(a>0,b>0)的

2(2010浙江文数)(10)设0为坐标原点,

ab

焦点，若在双曲线上存在点P,满足NFFF^GO。，IOPI=J7a,则该双曲线的渐近线方

程为

(A)x±6y=0(B)Gx±y=0

(C)x±V2y=0(D)V2x±y=0

解析：选D,本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，儿

何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题

3(2010全国卷1文数)(8)已知耳、鸟为双曲线C:尤2-y2=1的左、右焦点，点p在c

上，P鸟=60°,则

IP4口PF2\=

(A)2(B)4(C)6(D)8

【命题意图】木小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通

过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.

【解析1】.由余弦定理得

2

_（I故HP用），2|心耳用2=1_于+2冏||P段-（2码-

’21P用陀6|22\PF]\PF2\

Ip4口PF21=4

【解析2】由焦点三角形面积公式得：

SA泮=〃的9=12的与=6=；|尸用归入忖1160。=；|产制|「用手

乙乙乙乙乙

I尸耳口尸居1=4

4（2010全国卷1理数）（9）已知耳、鸟为双曲线C:V-y2=i的左、右焦点，点〃在C

上，N片/鸟=60°,则尸到x轴的距离为

（A）（B）（C）石（D）

22

分析：利用双曲线中焦点三角形的面积公式本题将很快得到解决.也可利用取曲线的几何性质、第二定义、余弦定

理来推导，不过速度会大打折扣.一一八

解：设P到X轴的距离为d,利用焦点三角形面积公式，

邑郎=b2〈ot等％=|-2c-d,解得d=。故选B.一

四、考察圆锥曲线的焦点弦

1（2010山东文数）（9）已知抛物线>2=2px（p>0）,过其焦点且斜率为1的直线交抛物

线与A、B两点,若线段A3的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为

(A)x=l(B)x=-1

(C)x=2(D)x=-2

答案：B

2.（2009全国卷I理）已知椭圆。:、+丁=1的右焦点为F，右准线为/,点46/,线段

Ab交C于点3,若FA=3所，则|AE|

(A).V2(B).2(C).y/3(D).3

解:过点B作8M_L/于M,并设右准线/与X轴的交点为N,易知FN=1.由题意丽=3丽,

7

故IBM[=,].又由椭圆的第二定义得|如口=F半)？=]-.•」AF|=&.故选A

五、考察代点法(设点的坐标，代入圆锥曲线的方程)

1(2010福建文数)11.若点。和点尸分别为椭圆三+匕=1的中心和左焦点，点P为椭

43

圆上的任意一点，则丽市A的最大值为

A.2B.3C.6D.8

【答案】C

22

【解析】由题意，F(T,0),设点P(x。,%),则有微-+会=1,解得为2=3(1—

因为而=(%+1,%)，丽=(%,%),所以而•可=%(%+1)+为2

22

而•而=/(/+1)+3(1-9)=工+/+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为

玉)=一2,因为—24玉)42,所以当/=2时，0「・尸「取得最大值1+2+3=6,选C。

【命题意图】本题考查椭圆的方程、儿何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的

单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。

2(2010福建理数)7.若点0和点产(―2,0)分别是双曲线彳―>2=l(a>0)的中心和左焦

a

点，点P为双曲线右支上的任意一点,则丽•丽的取值范围为()

A.[3-26,+8)B.[3+2百,+8)C.[--,+oo)D.[—,+<»)

44

【答案】B

【解析】因为尸(一2,0)是已知双曲线的左焦点，所以/+1=4,即/=3,所以双曲线方

N2

程为y-y2=l，设点P(%,为)，则有5-一%2=1(/？逝)，解得

2

y0--l(^0>V3)，因为FP=(x0+2,y0),OP=(x0,y0),所以

OP-FP=九o（%0+2）+y0~=龙o（九0+2）H——1=—+2XQ—1,此二次函数对应的抛物

线的对称轴为/=一1，因为X。？百，所以当尤0=6时，丽•所取得最小值

gx3+26-1=3+26,故而•府的取值范围是［3+2省,+8）,选B。

【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次

函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运

算能力。

六、考察圆锥曲线的性质与第二定义

226

1（2010全国卷2理数）（12）已知椭圆C:「+2r=1（心心0）的离心率为半，过右焦

点F且斜率为-A>0）的直线与C相交于A、8两点.若赤=3而，则％=

（A）1（B）V2（C）V3（D）2

【答案】B

【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.

【解析】设直线1为椭圆的看准线，e为离心率，过A,B分别作AA”BB1垂直于1,A”

由第二定义得,1AA卜粤网由

B为垂足，过B作BE垂直于AA,与E,

|必|=幽

AF=3FB

£|BF|；

cosZ-BAE=——j=-"—r=—=^~,sin—BAE=tanziBAE=V2

|AB|4|BF|2e33

即k==0,故选B.

一+/

2（2010四川理数）（9）椭圆=1（。>/?>0）的右焦点/，其右准线与x轴的交点

为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点尸，则椭圆离心率的取值范围是

(A)卜用(B)(0,；(C)[V2-1.1)(£»

解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点尸，

即F点到尸点与A点的距离相等

KIIb?

而|以|=----c=—

CC

!PF\£[〃一c,a+c]

于是2e[a—c,a+c]

C

即ac-c2/?2ac+c2

ac-c-<a-c

?.<

a-c"<ac+c

£<i

Ia

=2-1或£/

.aa2

又e£(0,1)

故ee刖

答案：D

2y2

3(2010江西理数)15.点4(玉)，为)在双曲线彳x一以=1的右支上，若点A到右焦点的距

离等于2%，则%=-

【答案】2

【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取a=2.c=6,C=e=r=3",

d

2玉)=3(%----)=>x=2

c0

X2y21

(2010福建文数)13.若双曲线二-二=l(b>0)的渐近线方程式为y=±±X,则b等

4b2